Chapitre 9 Les nombres complexes - Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré à coefficients réels. Représentation géométrique. Affixe d un point, d un vecteur. ème partie Forme trigonométrique : - module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; - notation exponentielle. Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes. Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels. Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. Connaître et utiliser la relation z z=z Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes. On introduit dans ce chapitre des éléments lui donnant une dimension historique. Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v). La notation exponentielle est introduite après avoir montré que la fonction θ a cos θ + i sin θ vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Les nombres complexes permettent de mémoriser les formules trigonométriques d addition et de duplication vues en première. [SI] Analyse fréquentielle d un système. I. Forme trigonométrique 1.1) Forme trigonométrique d'un nombre complexe Le plan muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v). On rappelle que le repère orthonormé (O ; u ; v) est dit direct si et seulement si l'angle ( u ; v)=+ π. Nous avons vu en 1ère S, qu'à tout point M de coordonnées cartésiennes (x ; y) du plan, on associe les deux nombres réels : r= OM R + (norme du vecteur OM ) et θ=( u ; OM ) (modulo π ) qui n'est autre que l'angle que forme le vecteur OM avec le vecteur de base u de direction [Ox). Si je connais les coordonnées cartésiennes (x;y), je peux calculer les coordonnées polaires : r et θ : {r= x + y cosθ= x r = x x + y sin θ= y r = y x + y Inversement, si je connais les coordonnées polaires (r ;θ) ; je peux calculer les coordonnées cartésiennes (x ; y) : x=r cosθ et y=r sin θ Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/10
Le couple (r ;θ) correspond aux coordonnées polaires du point M dans le plan muni du repère orthonormé direct (O ; u ; v). Nous allons tout simplement traduire cette écriture avec les nombres complexes. Définition 1. A tout point M d'affixe z, du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v), on associe les deux nombres réels : r= OM R + qu'on appelle le module de z et on note r=z ; et θ=( u ; OM ) (modulo π ) qu'on appelle l'argument de z et on note θ=arg( z) [π] (lire modulo π, c'est-à-dire à k π près). Soit z C et M le M d'affixe z, du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v). D'après cette définition, nous pouvons maintenant, réécrire la forme algébrique de z. z=x+iy r=z= OM = x + y x=r cosθ et y=r sinθ ou encore cosθ= x z et sinθ= y z Par conséquent : z=x+iy=r cosθ+i r sin θ = r (cosθ+i sin θ) Définition. Soit M un point du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v). Soit z l'affixe du point M. Alors l'écriture z=r(cosθ+i sin θ) s'appelle la forme trigonométrique de z, avec r=z est le module de z et θ=arg( z)=( u ; OM ) (modulo π ) est l'argument de z (à k π près). Exemples Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : z 1 =1+i ; z =1+i 3 et z 3 = 3+i Pour z 1 =1+i 1er réflexe : Je calcule le module de z 1 =1+i. z 1 = x +y = 1 +1 = ème réflexe : Je calcule cosθ et sinθ : x {cos θ= z = 1 = sin θ= y z = 1 = Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page /10
3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique : 1er cas cosθ=± sinθ=± ème cas cosθ=± 1 sinθ=± 3 3ème cas cosθ=± 3 sinθ=± 1 Nous sommes bien dans le 1er cas et cosθ>0 et sin θ>0. Donc θ= π 4 [π]. Par conséquent z 1 = ( cos ( π 4 ) +i sin ( π 4)) Pour z =1+i 3 : 1er réflexe : Je calcule le module de z =1+i 3 z = x + y = 1 +( 3) = 4= ème réflexe : Je calcule cosθ et sinθ : x {cos θ= z =1 sin θ= y z = 3 3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique : Cette fois, nous sommes dans le ème cas et cosθ>0 et sin θ>0. Donc θ=π 3 [π]. Par conséquent z = ( cos ( π 3 ) +i sin ( π 3 )) Pour z 3 = 3+i : 1er réflexe : Je calcule le module de z 3 = 3+i z 3 = x + y = ( 3) +1 = 4= Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/10
ème réflexe : Je calcule cosθ et sinθ : x {cos θ= z = 3 sinθ= y z =1 3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique : Cette fois, nous sommes dans le 3ème cas et cosθ<0 et sinθ>0. Donc θ= 5 π 6 [π]. Par conséquent z 3 =( cos ( 5π 6 ) +i sin ( 5 π 6 )) Cas particuliers très importants : Soit z un nombre complexe non nul. On pose z= x+iy et arg (z)=θ [π]. Alors : z=x iy est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses : z=z et arg (z)= θ= arg (z) [π] z= x iy est le symétrique de z par rapport à l'origine O : z=z et arg ( z)=θ+π=arg( z)+π [ π] z= x+iy est le symétrique de z par rapport à l'axe des ordonnées : z=z et arg ( z)=π θ=π arg (z) [π] 1.) Propriété des modules et arguments Théorème 1. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; i ; j). Soient z 1 et z deux nombres complexes dont on connaît les formes trigonométriques telles que : z 1 =r 1 (cosθ 1 +i sinθ 1 ) et z =r (cosθ +i sinθ ). Alors : Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 4/10
1 ) z 1 z =r 1 r [cos(θ 1 +θ )+i sin(θ 1 +θ )] ) 1 z = 1 r [cos( θ )+i sin( θ )], z 0 3 ) z 1 z = r 1 r [cos(θ 1 θ )+i sin(θ 1 θ )], z 0 Démonstration : 1 ) z 1 z =r 1 (cosθ 1 +isin θ 1 ) r (cosθ +isin θ ) = r 1 r [cosθ 1 cosθ +i cosθ 1 sinθ +i sinθ 1 cosθ sinθ 1 sinθ ] = r 1 r [(cosθ 1 cosθ sin θ 1 sin θ )+i(cosθ 1 sinθ +sin θ 1 cosθ )] z 1 z =r 1 r [cos(θ 1 +θ )+i sin(θ 1 +θ )] = forme trigonométrique de z 1 z. d'après les formules d'addition de trigonométrie vues en 1ère S. C'est aussi un moyen de "retrouver ces formules". On en déduit immédiatement que : CQFD (1 ) z 1 z =r 1 r =z 1 z et arg (z 1 z )=θ 1 +θ =arg (z 1 )+arg( z ) [π] (1 bis) z =r =z et arg (z )=θ= arg( z) [π] (1 ter) z n =r n =z n et arg (z n )=n θ=n arg (z) [π] pour tout n N ) On suppose que z 0, alors : 1 1 = z r (cosθ +i sinθ ) = 1 1 r cosθ +i sinθ On multiplie par le conjugué du dénominateur, pour obtenir : 1 = 1 cosθ i sin θ z r (cosθ +i sin θ )(cosθ i sinθ ) La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, donc : 1 = 1 cos( θ )+i sin( θ ) z r cos θ +sin θ 1 Ce qui donne : = 1 [cos( θ z r )+i sin( θ )], z 0 CQFD On en déduit immédiatement que, pour tout z 0 : ( ) 1 z = 1 r = 1 z et arg( 1 z ) = θ = arg (z ) [π] 3 ) On suppose que z 0. En utilisant les deux résultats précédents, on a : Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 5/10
z 1 =z z 1 1 donc z 1 z z = z 1 1 z = z 1 1 z =z 1 z De même, pour l'argument : arg( z 1 z ) =arg ( z 1 1 z ) =arg (z 1)+arg( 1 z ) =arg (z 1) arg (z ) [π] CQFD On en déduit immédiatement que : pour tout z 1 et z 0 : (3 ) z 1 z =z 1 z et arg( z 1 z ) =arg( z 1) arg (z ) [π] En résumé : Il suffit de résumer les propriétés ainsi obtenues dans le théorème 1, pour les modules d'une part et pour les arguments d'autre part, en rajoutant quelques Pour tous nombres complexes z 1 et z 0 : (1 ) z 1 z =z 1 z et arg (z 1 z )=arg (z 1 )+arg (z ) [π] ( ) 1 z = 1 z (3 ) z 1 z =z 1 z et arg( 1 z ) = θ = arg (z ) [π] et arg( z 1 z ) =arg( z 1) arg (z ) [π] Cas particuliers très importants : Soit z un nombre complexe non nul. On pose z=x+iy et arg (z)=θ 4 ) z=0 (ssi) z=0 5 ) z est un nombre réel positif (ssi) z=z (ssi) z=x R + 5 bis) z est un nombre réel négatif (ssi) arg (z)=0 [π] (ssi) z= z (ssi) z=x R (ssi) arg (z)=π [π] 6 ) z est un imaginaire pur à coefficient positif [π] (ssi) z=iy, y R + (ssi) arg (z)= π [π] 6 bis) z est un imaginaire pur à coefficient négatif (ssi) z=iy, y R (ssi) arg (z)= π [π] Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 6/10
1.3) Application à la géométrie Théorème. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; i ; j). Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectifs z A, z B et z C. Alors : 1 ) z A =OA= OA et arg (z A )=( u, OA) [π] ) z B z A =AB= AB et arg (z B z A )=( u, AB) [π] 3 ) z z C A A z B z = AC AB et arg( z C z A z B z A) =( AB, AC) [π] Démonstration : 1 ) Immédiat, par définition. ) Par définition, Pour tous points A et B du plan, il existe un point M et un seul d'affixe z M, tel que OM = AB. Donc z M = z B z A. Les deux égalités en découlent : z B z A =z M =OM =AB et arg (z B z A )=arg (z M )=( u ; OM )=( u ; AB). 3 ) D'après le théorème 1 et la propriété précédente, nous avons : d'une part : z z C A A z B z =z z C A z B z A = AC AB et d'autre part : arg( z C z A z B z A) =arg (z C z A ) arg( z B z A ) =( u, AC ) ( u, AB) =( u, AC )+( AB, u) =( AB, u)+( u, AC) =( AB, AC) d'après la relation de Chasles. Exemple d'application : 1 ) Déterminer l'ensemble E 1 des points M d'affixes z dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v) vérifiant l'égalité z 3+i=5 (1) ) Déterminer l'ensemble E 1 des points M d'affixes z dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v) vérifiant l'égalité z 3+i=z+1 i () 3 ) Soient A, B et C trois points d'affixes z A =3 i, z B = 1+i et z C =6+i dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v). 3.a) Calculer le module et l'argument de Z= z C z A z B z A 3.b) En déduire la nature du triangle ABC. Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 7/10
1 ) Soit A le point d'affixe z A =3 i. On a les équivalences suivantes : z 3+ i=5 (ssi) z z A =5 (ssi) AM = 5 (ssi) M C (A ;5). Conclusion : E 1 est le cercle de centre A et de rayon r = 5. ) Soit A le point d'affixe z A =3 i et B le point d'affixe z B = 1+i On a les équivalences suivantes : z 3+i=z+1 i (ssi) z z A =z z B (ssi) AM = BM (ssi) M est équidistant de A et de B (ssi) M appartient à la médiatrice du segment [AB]. Conclusion : E est la médiatrice du segment [AB]. 3.a) Soient A, B et C trois points d'affixes z A =3 i, z B = 1+i et z C =6+i. On a : Z= z C z A (6+i) (3 i) = z B z A ( 1+i) (3 i) = 3+4i 4+3i = 3+4i i 4+3i = 3+4 i i (4 i+3) =1 i = i Par conséquent : Z=1 et arg (Z)= π [π]. AC 3.b) D'une part, Z=1 équivaut à AB =1 équivaut à AB = AC. Ce qui signifie que le triangle ABC est isocèle en A. D'autre part : arg (Z )= π équivaut à ( AB; AC )= π [π]. Ce qui signifie que les vecteurs AB et AC sont orthogonaux. Donc, le triangle ABC est rectangle en A. Conclusion : Le triangle ABC est isocèle-rectangle en A. II. Forme exponentielle.1) Étude d'une fonction particulière On considère la fonction définie sur R et prend ses valeurs dans C de la manière suivante f : θ a f (θ) = cos θ + i sin θ. D'après le 1 du théorème 1, nous avons : cos (θ +θ' ) + i sin (θ +θ' ) = (cos θ + i sin θ) (cos θ' + i sin θ' ). Par conséquent, on a : Pour tous θ, θ' R : f (θ+θ ')= f (θ) f (θ' ) Ceci signifie que la fonction f vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Donc, il existe un nombre k tel que, pour tout θ R : f (θ)=e k θ, avec k = f ' (0). On calcule f ' (θ) = sin θ + i cos θ et k = f ' (0)=i. Par suite : pour tout θ R : f (θ ) = e iθ et par suite e iθ = cos θ + i sin θ. Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 8/10
.) Forme exponentielle d'un nombre complexe Définition 1. Pour tout nombre θ R, on note : e iθ = cos θ + i sin θ. Par conséquent, tout nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ ) de module r et d'argument θ s'écrit sous la forme : z = r e iθ (Attention r 0 et θ R ) Cette écriture s'appelle la forme exponentielle ou la notation exponentielle du nombre complexe z. D'après le théorème 1, nous pouvons énoncer sous la forme exponentielle, les mêmes propriétés écrites sous la forme trigonométriques : Théorème 3. Pour tous nombres r, r 1, r R + et θ,θ 1, θ R, on a : 1 ) e i θ =1 et arg (e i θ )=θ. Nous avons bien sûr : e i 0 =e 0 =1 ) r 1 e iθ 1 r e i θ =r 1 r e i (θ 1 +θ ) 3 ) r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Démonstration : Ce sont des conséquences directes du théorème n 1. Corollaires 1 ) Formule de MOIVRE : Pour tout θ R et n Z : (e i θ ) n =e i nθ ou encore (cosθ+i sin θ) n =cos(nθ)+i sin(n θ) ) Formules d'euler : cosθ= ei θ +e i θ et sin θ= ei θ e i θ 3 ) Formules trigonométriques : Pour tous réels a et b, on a : Formules d'addition : Formules de duplication : a) cos(a+b)=cosa cosb sin a sin b c) cos( a)=cos a sin a b) sin(a+b)=sin a cosb+cosa sin b d) sin( a)=sin a cos a Démonstration : 1. a) Nous démontrons d'abord le résultat pour n N. On fait un raisonnement par récurrence. Pour chaque entier n, on appelle P n la proposition logique P n : [ (e i θ ) n =e i n θ ]. i Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 9/10
i) Initialisation. Pour n = 0, (e i θ ) 0 =1=e 0 =e i 0 θ Donc P 0 est vraie. (On aurait pu commencer également à n = 1). ii) Hérédité. Soit n N. Supposons que P n est vraie. C'est-à-dire : (e i θ ) n =e i n θ. Mais alors : (e i θ ) n+1 =(e i θ ) n e i θ par définition des la puissance (n+1) (e i θ ) n+1 =e i nθ+i θ d'après l'hypothèse de récurrence (e i θ ) n+1 =e i n θ+i θ d'après la propriété ) du théorème 3 D'où : (e i θ ) n+1 =e i(n+1)θ en mettant θ en facteur. Donc P n+1 est vraie. Par conséquent : Pour tout n N : (e i θ ) n =e i n θ. 1. b) Montrons maintenant que le résultat est vrai pour n Z et n < 0. On pose n' = n. Alors n ' N. On peut donc appliquer la propriété avec n' > 0. On a : (e i θ ) n = 1 (e i θ ) = 1 n (e i θ ) = 1 1 n θ n' i n' θ= e e i nθ=ei. CQFD Conclusion. : Pour tout n Z : (e i θ ) n =e i n θ. ) Formules d'euler : On calcule d'abord e i θ =cosθ i sinθ=e i θ On sait que : e i θ =cosθ+i sinθ (1) et e i θ =cosθ i sinθ () En additionnant membre à membre (1)+(), nous obtenons : e i θ +e iθ = cosθ. D'où le résltat : cosθ= eiθ +e i θ En soustrayant membre à membre (1)+(), nous obtenons : e i θ e iθ = isin θ. D'où le résltat : sinθ= eiθ e i θ i CQFD 3 ) On écrit : e ia =cos a+i sin a et e i b =cos b+i sin b D'après le théorème 3, on a d'une part : e i(a+b) =cos(a+b)+i sin(a+b) (3) et d'autre part : e i(a+b) =(cos a+i sin a)(cos b+i sinb) En développant le produit et en regroupant les parties réelle et imaginaire, on obtient: e i(a+b) =(cos a cosb sin a sin b)+i (sin a cosb+cosa sin b ) (4) Les deux nombres complexes définis dans (3) et (4) sont égaux. Donc, par identification, leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.d'où le résultat : a) Re( e i(a+b) ) = cos(a+b)=cosa cosb sin a sin b b) Im( e i(a+b) ) = sin(a+b)=sin a cosb+cosa sin b. CQFD Pour les formules de duplication, il suffit de prendre b=a dans les formules ci-dessus. OUF! Term. S Ch. 9. Les nombres complexes Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 10/10