Cardinal du Groupe Rubik's cube

Cardinal du Groupe Rubik's cube Jean-Karim INTISSAR Abstract L'objectif de ce travail est de calculer le cardinal du Groupe Rubik's cube, c'est-à-dire du groupe des positions accessibles légalement. Pour cela, on a besoin de déterminer le nombre total des congurations de ce groupe. Pour ce faire, nous utiliserons principalement les notions de sous-groupes complémentaires, de produit semi direct de groupes ainsi que le théorème de Lagrange. Ÿ 1. Introduction Les mouvements fondamentaux sur le Rubik's cube sont les rotations des 6 faces. La combinaison de mouvements Soient X et Y deux mouvements. Alors XY dénote faire X, puis faire Y ", par exemple, X 2 = XX faire X deux fois consécutives ". Deux mouvements sont égaux s'ils ont le même eet sur le cube. Dénition 1.1 (Caractérisation d'une conguration) Une conguration (ou un état) du Rubik's cube est déterminée par les positions et les orientatations de ses petits cubes qu'on peut représenter par

le 4-uplet (x, σ, y, τ) avec : - x = (x 1, x 2,..., x 8 ); x i Z/3Z, 1 i 8 : orientations des cubes coins. - σ S 8 : permutations des cubes coins. - y = (y 1, y 2,..., y 12 ); y i Z/2Z, 1 i 12 : orientations des cubes arêtes. - τ S 12 : permutations des cubes arêtes. Dénition 1.2 Une conguration du Rubik's cube est dite valide si elle peut être réalisée à partir du cube résolu par une série de mouvements licites sur celui-ci. Théorème de caractérisation Une conguration est valide si et seulement si (a) ε(σ) = ε(τ), 8 (b) x i 0 (mod 3), (c) i=1 12 y i 0 (mod 2) i=1 où ɛ désigne la signature d'une permutation. C'est-à-dire : l'application de S n dans {1; 1} dénie par σ ɛ(σ) = ( 1) I(σ) où I(σ) est le nombre total d'inversions présentées deux à deux par les éléments de {σ(1);...; σ(n)}, sachant qu'une permutation σ de [[1; n]] est bijective, on a : Pour i < j = ou bien σ(i) < σ(j) ou bien σ(i) > σ(j) dans le second cas on dit que les deux éléments σ(i) et σ(j) présentent une invesion. Dans la suite on notera par : 2

Rub = {(x, σ, y, τ) (Z/3Z) 8 S 8 (Z/2Z) 12 S 12 } vériant les propriétés (a), (b) et (c) ci-dessus, et dont on cherche à déterminer le cardinal. De plus, on notera également G 0 = {(x, σ, y, τ) (Z/3Z) 8 S 8 (Z/2Z) 12 S 12 } vériant uniquement les propriétés (b) et (c) ci-dessus. Ÿ 2. Calcul du cardinal du groupe G 0 - A) Cadre mathématique Dénition 2.1 (Sous-groupes complémentaires dans un groupe) Soient G un groupe (la loi est notée par un point et l'élément neutre par 1), H et K deux sous-groupes de G. On dit que K est un complément de H (dans G) si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (1) H K = 1, (2) HK = G avec HK = {g G; g = h.k, h H, k K} Remarque 2.2 Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (on peut déduire KH = G de HK = G en passant aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G). Dénition 2.3 Soit G un groupe et f un endomorphisme bijectif, i.e.un automorphisme. On note par Aut(G) l'ensemble des automorphismes de G. Proposition 2.4 Soit G un groupe donné, alors Aut(G) est un groupe pour la composition des applications. On démontre que Aut(G) est un sous-groupe du groupe des endomorphismes de G, muni de la composée de deux applications. 3

Dénition 2.5 (Produit semi-direct de deux groupes) Soient (G 1, ) et (G 2, ) deux groupes et P un morphisme de groupes de G 1 dans Aut(G 2 ), c'est-à-dire : P : G 1 Aut(G 2 ) qui à g G 1 P g Aut(G 2 ). Comme Aut(G 2 ) est l'ensemble des automorphismes de G 2, P g est donc une application de G 2 G 2 qui à h G 2 P g (h) G 2. Considérons le produit cartésien G 2 G 1. Munissons G 2 G 1 de la loi suivante : (h, g) P (h, g ) = (h [P (g)(h )], g g ) On vérie ainsi que (G 2 G 1, P ) a une structure de groupe. Ce groupe est alors appelé produit semi-direct (externe) de G 2 et G 1. Il est noté désormais G 2 P G 1 Montrons que que (G 2 G 1, P ) a bien une structure de groupe. Pour cela, vérions les axiomes : P est bien une loi interne. En eet, h G 2, [P (g)(h )] G 2 car P (g) est un automorphisme de G 2. Donc h G 2, h [P (g)(h )] G 2 et de plus (g, g ) (G 1 ) 2, g g G 1 La loi P sur G 0 est associative. En eet : Soient (x, σ, y, τ), (x, σ, y, τ ) et (x, σ, y, τ ). On a : Etape 1 (x, σ, y, τ) P (x, σ, y, τ ) = (x + P (σ 1, x ), σ σ, y + P (τ 1, y ), τ τ ) et (x + P (σ 1, x ), σ σ, y + P (τ 1, y ), τ τ ) P (x, σ, y, τ ) 4

= (x + P (σ 1, x ) + P ((σσ ) 1, x ), (σσ )σ, y + P (τ 1, y ) + P ((ττ ) 1, y ), (ττ )τ ) Etape 2 (x, σ, y, τ ) P (x, σ, y, τ ) = (x + P (σ 1, x ), σ σ, y + P (τ 1, y ), τ et (x, σ, y, τ) P (x + P (σ 1, x ), σ σ, y + P (τ 1, y ), τ τ ) = (x + P (σ 1, x + P (σ 1, x )), σ(σ σ ), y + P ((τ τ ) 1, y + P (τ 1, y )), τ(τ τ )) Comparons composante par composante : On a : x + P (σ 1, x + P (σ 1, x )) = x + P (σ 1, x ) + P (σ 1, P (σ 1, x )) = x + P (σ 1, x ) + P ((σσ ) 1, x ) car P ( σ, P (σ, x)) = P (σ σ, x) pour 2 permutations quelquonques σ et σ σ(σ σ ) = (σσ )σ par l'associativité de la loi de composition. De la même manière pour les deux autres composantes. Soient (e 2, e 1 ) les éléments neutres respectifs de G 2 et G 1. Alors on a : (h; g) P (e 2, e 1 ) = (h [P (g)(e 2 )]; g e 1 ) Comme P g est un automorphisme (endomorphisme bijectif) de G 2 on a P (g)(e 2 ) = e 2 et donc h [P (g)(e 2 )] = h e 2 = h d'autre part g e 1 = g alors on en déduit que : (h; g) P (e 2, e 1 ) = (h, g) Enn, pour le symétrique, on pose h = (P g (h 1 )) 1 et g = g 1 (h 1 et g 1 existent car G 1 et G 2 sont des sous-groupes de G et P g est bijective par dénition), et on vérie que (h, g) P (h, g ) = (e 2, e 1 ) Dénition 2.6 (produit semi-direct interne) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G ( c'est-à-dire pour tout x G et h H alors xhx 1 H) et K un sous-groupe de G. 5

On dit que G est produit semi-direct (interne) de H par K si H et K sont complémentaires. Proposition 2.7 Soient K et H deux sous-groupes complémentaires de G, avec H distingué, h, h des éléments de H et k, k des éléments de K. Si l'on considère l'application P k dénie comme P k : H H qui a h P k (h) = khk 1, alors (hk) P (h k ) = (h(kh k 1 ); kk ). Soient h, h des éléments de H et k, k des éléments de K. Alors (h; k) P (h ; k ) = (h [P (k)(h )]; k k ). Or comme [P (k)(h )] = kh k 1, on en déduit que (h; k) P (h ; k ) = (h kh k 1 ; k k ) Maintenant, vu qu'on a qu'une seule loi de G notée multiplicativement et que H et K ont celle de G, on a donc pour l'instant : G 0 (h; k) P (h ; k ) = (h(kh k 1 ); kk ) - B) Application au Rubik's Cube : du cardinal de G à celui de On commence par donner quelques notations : On note par : G le groupe engendré par tous les mouvements sur le Rubik's Cube légaux et illégaux. H coins le groupe des mouvements laissant invariants les cubies arêtes (ses éléments sont uniquement composés d'une rotation des cubies coins avec une permutation des cubies coins). H rot coins le sous-groupe des mouvements de rotations des coins, il est isomorphe à (Z/3Z) 8. H per coins le sous-groupe des mouvements de permutations des cubies coins 6

à orientation constante, qui n'est autre que S 8. H coins = H rot coins H per coins. ρ coin l'application de H coins dans S 8 qui extrait d'un élément du groupe G de toutes les congurations du Rubik's Cube les permutations des sommets et des arêtes correspondantes. H arêtes le groupe des mouvements laissant invariants les cubies coins. De la même manière on a :Harêtes rot est isomorphe à (Z/2Z) 12, H per arêtes n'est autre que S 12 et H arêtes = Harêtes rot H per arêtes. ρ arête l'application de H arêtes dans S 12 qui extrait d'un élément du groupe G de toutes les congurations du Rubik's cube les permutations des sommets et des arêtes correspondantes. On a alors : 1) H coins et H arêtes sont deux sous-groupes de mouvements complémentaires dans G. 2) H coins est le produit semi-direct de Hcoins rot et de H per coins c'est-à-dire H coins = Hcoins rot H per coins. 3) H coins est isomorphe à (Z/3Z) 8 S 8, par conséquent card(h coins ) = card((z/3z) 8 )card(s 8 ) = 3 8 8! 4) H arêtes est isomorphe à (Z/2Z) 12 S 12, par conséquent card(h arêtes ) = card((z/2z) 12 )card(s 12 ) = 2 12 12! Dans un premier temps, réalisons une approche du cardinal de G : Proposition 2.7 i) Le nombre de fa s cons d'arranger les petits cubies coins est 8! ii) Le nombre de fa s cons d'orienter les petits cubies coins est 3 8 7

i) La fa s con d'arranger un cube coin est une permutation σ S 8 et comme le cardinal de S 8 est card(s 8 ) = 8! alors le nombre de fa s cons d'arranger les petits cubies coins est donc 8! On peut aussi voir ceci comme suit : on a 8 possibilités pour placer le premier cube coin, 7 pour le deuxième et ainsi de suite jusqu'au dernier cube coin qu'on ne peut placer qu'à une seule position. Par conséquent le nombre de fa s cons d'arranger les petits cubes coins est donc 8 7 6 5 4 3 2 1 = 8! ii) Comme on a 8 cubies coins et chacun 3 orientations possibles alors le nombre de fa s cons d'orienter les cubies coins est 3 8 Proposition 2.8 i) le nombre de fa s cons d'arranger les cubies arêtes est 12! ii) le nombre de fa s cons d'orienter les petits cubies arêtes est 2 12 La démonstration est similaire à la précédente en tenant compte qu'on a 12 cubies arêtes et chacun a 2 orientations possibles. Proposition 2.9 Le nombre total des congurations est 8! 3 8 12! 2 12 On eectue le produit des résultats trouvés dans les propositions 1 et 2. Le nombre total des congurations est donc : 8! 3 8 12! 2 12 = 519 039 293 878 272 000 519 10 18 Maintenant, on rappelle qu'on a noté par G 0 = {(x, σ, y, τ) (Z/3Z) 8 S 8 (Z/2Z) 12 S 12 } tel que : 8

8 (b) x i 0 [3] i=1 12. (c) y i 0 [2] i=1 Alors l'ensemble Rub dont on cherche le cardinal n'est autre que : Rub = {(x, σ, y, τ) G 0 ; ε(σ) = ε(τ)} où ε désigne la signature d'une permutation. Dans la suite on va dénir une loi de groupe, en introduisant une application, notée P, sur G 0 telle que Rub soit un sous-groupe distingué de G 0 et on appliquera le théorème de Lagrange pour obtenir le cardinal de Rub. Dénition 2.9 On dénit l'application P de la façon suivante : P : S 8 (Z/3Z) 8 (Z/3Z) 8 qui à (σ, x 1, x 2,..., x 8 ) (x σ(1), x σ(2),..., x σ(8) ) On a donc P (σ, x 1, x 2,..., x 8 ) = (x σ(1), x σ(2),..., x σ(8) ) Si on note par x 1 = x σ(1),..., x 8 = x σ(8) et x = (x 1,..., x 8) et soit σ S 8 alors P agissant sur le couple (σ, x ) s'écrit P (σ, x ) = (x σ (1), x σ (2),..., x σ (8) ) = P (σ, P (σ, x)) où x = (x 1, x 2,..., x 8 ) et on pose : P (σ σ, x) = P (σ, P (σ, x)) De la même manière si P agit sur S 12 (Z/2Z) 12 on écrit : P (τ, y 1, y 2,..., y 12 ) = (y τ(1), y τ(2),..., x τ(12) ) et P (τ τ, y) = P (τ, P (τ, y)) où y = (y 1, y 2,..., y 12 ) 9

Dénition 2.10 On dénit maintenant la loi sur G 0 par : (x, σ, y, τ) (x, σ, y, τ ) = (x + P (σ 1, x ), σ σ, y + P (τ 1, y ), τ τ ) Proposition 2.11 (G 0, ) est un groupe. La loi est : interne. En eet, comme P (σ, x 1, x 2,..., x 8 ) = (x σ(1), x σ(2),..., x σ(8) ) alors P (σ 1, x 1, x 2,..., x 8) = (x σ 1 (1), x σ 1 (2),..., x σ 1 (8) ) et comme x 1+x 2+...+x 8 est un multiple de 3 donc x σ(1) +x σ(2) +...+x σ(8) et x σ 1 (1) + x σ 1 (2),..., x σ 1 (8) le sont aussi et par conséquent x + P (σ 1, x ) est aussi un multiple de 3, on en déduit de la même manière que y + P (τ 1, y ) est un multiple de 2. Puis σ σ et τ τ sont des permutations comme composée de deux permutations respectivement. associative en eet par conséquence des propriétés de P. admet un élément neutre e = (0, id, 0, id) Enn, chaque quadruplet (x, σ, y, τ) admet un inverse par rapport à, donné par : ( P (σ 1, x), σ 1, P (τ 1, y), τ 1 ) 10

Proposition 2.12 card(g 0 ) = card(z/3z) 7 card(s 8 ) card(z/2z) 11 card(s 12 ) = 3 7 8! 2 11 12! Proposition 2.13 Les cubies arêtes peuvent s'interchanger entre eux avec 12! possibilités et chacun a 2 orientations possibles, mais il est impossible de changer l'orientation d'un cube arrête seul (qui sert de référence), ce qui donne 2 11 possibilités. Les cubies coins peuvent s'interchanger entre eux avec 8! possibilités et chacun a 3 orientations possibles, mais de même, il est impossible de changer l'orientation d'un cube coin seul ce qui donne 3 7 possibilités. Par conséquent, on a : card(g 0 ) = card(z/3z) 7 card(s 8 ) card(z/2z) 11 card(s 12 ) = 3 7 8! 2 11 12! Proposition 2.14 Rub est un sous-groupe distingué de G 0. Soit f l'application f dénie par : f : G 0 { 1, 1} qui â (x, σ, y, τ) ε(σ)ε(τ) alors Rub = Ker(f) donc Rub est un sous-groupe de G 0. Rub est un sous-groupe distingué. En eet, soient g = (x, σ, y, τ) G 0 et h = (x Rub, σ Rub, y Rub, τ Rub ) Rub montrons que g 1 h g Rub par dénition de la loi on a : h g = (x Rub + P (σ 1 Rub, x), σ Rub σ, y Rub + P (τ 1 Rub, y), τ Rub τ) et g 1 = ( P (σ 1, x), σ 1, P (τ 1, y), τ 1 ) Alors si on pose x = x Rub +P (σ 1 Rub, x), σ = σ Rub σ, y = y Rub +P (τ 1 Rub, y) et τ = τ Rub τ, on en déduit que : 11

g 1 h g = ( P (σ 1, x) + P (σ, x ), σ 1 σ, P (τ 1, y) + P (τ, y ), τ 1 τ ) En utilisant les propriétés de P on obtient que P (σ 1, x)+p (σ, x ) est un multiple de 3 et que P (τ 1, y)+p (τ, y ) est un multiple de 2 donc les propriés b) et c) du théorème de caractérisation des congurations valides sont vériées. Il nous reste à montrer que ε(σ 1 σ ) = ε(τ 1 τ ) On rappelle qu'on a déni deux morphismes surjectifs de groupes, ρ coins : H coins S 8, et ρ arêtes : H arêtes S 12, qui extraient d'un élément de G les permutations des sommets et des arêtes correspondantes. Pour montrer que ε(σ 1 σ ) = ε(τ 1 τ ), on procède de la façon suivante : ε(ρ coins (g 1 h g))ε(ρ arêtes (g 1 h g)) = ε(ρ coins (g 1 ))ε(ρ coins (h))ε(ρ coins (g))ε(ρ arêtes (g 1 ))ε(ρ arêtes (h))ε(ρ arêtes (g)) car ε, ρ coins et ρ arêtes sont des morphismes = ε(ρ coins (g 1 g))ε(ρ arêtes (g 1 g))ε(ρ coins (h))ε(ρ arêtes (h)) = ε(ρ coins (h))ε(ρ arêtes (h)) car g 1 g = id = 1 car h Rub Donc Rub est un sous-groupe distingué de G 0. Ÿ 3. Expression du nombre de congurations possibles - C) Autour du théorème de Lagrange Dénition 3.1 (Classes à gauche d'un groupe suivant un sous-groupe) Soit G un groupe, muni de la loi multiplicative notée. et H un sous-groupe de G ainsi que g un élément de G. On dénit une relation d'équivalence sur G associée à H : x y [H] x 1 y H. 12

On appelle classe à gauche de g suivant H l'ensemble gh, ie {g.h h H}. L'ensemble {gh g G}, noté G/H, constitue l'ensemble des classes à gauche suivant H de G. Proposition 3.2 Les classes à gauche suivant H de G constituent une partition de G (on rappelle qu'une partition d'un ensemble E est une réunion disjointe de parties de E, non vides et dont l'union est égale à E). Pour tout g G ; il existe un unique indice i I tel que ḡ = ḡ i, donc G = i Ig i Dire que g est dans ḡ j ḡ k signie que g est équivalent à gauche modulo H à g j et g k et donc par transitivité g j et g k sont équivalents, ce qui revient à dire que ḡ j = ḡ k. Les classes à gauche modulo H forment donc bien une partition de G. Proposition 3.3 Toutes les classes à gauche suivant H ont même cardinal que H. Soit g G. Introduisons la fonction de H gh qui àh gh. Cette fonction est évidemment bijective. Or, par théorème, si un ensemble ni est en bijection avec un autre ensemble, alors ces deux ensembles ont le même cardinal. Donc g G, card(gh) = card(h) Dénition 3.4 Si H est un sous-groupe de G ; le cardinal de l'ensemble G/H est noté [G : H] et on l'appelle l'indice de H dans G. Proposition 3.5 G. Soient G un groupe ni d'ordre n 2 (cardinal) et H un sous-groupe de 13

Alors card(g) = card(g/h) card(h) donc l'ordre de H divise celui de G. L'ensemble des classes à gauche suivant H réalise une partition de G et ces classes sont en nombre ni de même cardinal égal à celui de H ; il en résulte que : card(g) = card(g/h) card(h) et card(h) divise card(g). Remarque 3.6 Le théorème de Lagrange peut aussi se traduire par [G : H] = card(g/h) = card(g) card(h) - D) Application au Rubik's cube Proposition 3.7 card(g 0 /Rub) = 2 On dénit une relation déquivalence sur G 0 comme suit : Soient g = (x, σ, y, τ) G 0 et g = (x, σ, y, τ ), on pose : grg = (x, σ, y, τ)r(x, σ, y, τ ) ε(σ)ε(τ) = ε(σ )ε(τ ) et on vérie que le groupe quotient G 0 /Rub est consitué uniquement de deux classes donc son indice est 2. Proposition 3.8 card(rub) = card(g 0) 2 = 3 7 8! 2 10 12! En appliquant le théorème de Lagrange on obtient : card(g 0 ) = card(rub)card(g 0 /Rub)) = 2card(Rub) Et par conséquent :card(rub) = card(g 0) 2 = 37 8! 2 11 12! 2 = 3 7 8! 2 10 12! 14

Remarque 3.9 Sur le groupe G de toutes les congurations (on peut démonter le Rubik's cube), on dénit une relation d'équivalence hrh h et h ont même orbite. On vérie que le groupe quotient G/Rub est consitué uniquement de 12 classes donc son indice est 12. Donc card(rub) = card(g), avec 12 card(g) = 3 8 8! 2 12 12! Conclusion Soit E un ensemble quelconque et soit S(E) l'ensemble des bijections de E sur E. L'action (ou opération) d'un groupe G sur l'ensemble E est la donnée d'un morphisme ρ de G dans S(E). Si ρ est injectif, l'action est dite dèle. Si ρ(g) = id E pour tout g G, l'opération est appelée action triviale. Soit (G, ρ, E) une action de G dans E. Pour tout x E, on dénit l'application ρ x : G E par : ρ x (g) = ρ(g)(x) et on appelle orbite de x : l'ensemble Imρ x = ρ(g)(x) = {ρ(g)(x)/g G} Soit E := G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors, H agit sur G par : h.g = gh. Donc, les orbites de cette action sont les classes gh = {gh/h H}. Ici, la relation d'équivalence associée à l'action coinicide avec celle associée au sous-groupe : x y [H] x 1 y H. Sur le groupe G de toutes les congurations (on peut démonter le Rubik's cube), on dénit l'orbite d'un élément x de G par O x = {y G g Rub : y = g x}. L'orbite de x est l'ensemble des éléments de G associés à x sous l'action de Rub. On peut dénir une relation d'équivalence grg g et g ont même orbite. 15

La relation y est dans l'orbite de x est une relation d'équivalence sur G ; les classes d'équivalences sont les orbites. En particulier, les orbites forment une partition de G. On vérie que le groupe quotient G/Rub est constitué uniquement de 12 classes donc son indice est 12. Il en résulte que card(rub) = card(g) 12 où card(g) = 3 8 8! 2 12 12! Bibliographie [1] Le Rubik's Cube, Groupe de Poche par Pierre Colmez culturemath.ens.fr/maths/.../colmez/rubiks-cube-groupe-de-poche.pdf [2] Théorie mathématique sur le Rubik's Cube - Wikipédia fr.wikipedia.org/wiki/théorie-mathématique-sur-le-rubik's-cube [3] Les mathématiques du cube de Rubik par Matilde N. Lalin Club mathématique, Université de Montréal, Avril 2011 [4] Group Theory via Rubik's Cube par Tom Davis (2006) http ://www.geometer.org [5] The Mathematics of the Rubik's Cube - MIT Introduction to Group Theory and Permutation Puzzles March 17, (2009) web.mit.edu/sp.268/www/rubik.pd [6] Rubik's cube et théorie des groupes par Jérôme Daquin,TIPE (Juin 2010), encadré par M de Bhowick math.univ-lille1.fr/ bhowmik/enseignement/mem.../mem r ubik.pdf 16