TRIGONOMETRIE - Cours

CHAPITRE N Cours de Mathématique 1S TRIGONOMETRIE - Cours Partie : Géométrie I - Radian et cercle trigonométrique 1) Le radian Définition : Soit un cercle C de centre O. On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son rayon R. Remarque : Cette définition ne dépend pas du rayon R de l arc. En effet, sur la figure ci-contre le rapport de la longueur de l arc par le rayon correspondant est constant : l r l = r 1 1 Propriété : La longueur d un arc de cercle intercepté par un angle α, exprimé en radian, est donné par : l = Rα La mesure en radian d un angle plein (tour complet) est de radians. Définition : ) Cercle trigonométrique Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d une montre. Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 1

Cours de Mathématique 1S Définition : Dans le plan muni d un repère orthonormé ( O ; i ; j) trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. et orienté dans le sens direct, le cercle 3) Enroulement d'une droite autour du cercle trigonométrique Dans un repère orthonormé( O ; i ; j), on considère le cercle trigonométrique et une droite (d) tangente au cercle en A et orientée telle que ( A ; 3 j) soit un repère de la droite. = N, 35 4 Si l on «enroule» la droite autour du cercle, on associe à tout point N d abscisse x de la droite orientée (d) un unique point M du cercle. La longueur de l arc AM est ainsi égale à la longueur AN. Exemple : Sur le schéma ci-contre le point N(x) d abscisse 3 sur la droite orientée (d), se retrouve, après «4 enroulement» (d) sur le cercle trigonométrique, en M tel que la longueur de l arc AM est égale à AN soit,35. Propriété : Un angle plein (tour complet) mesure radians. Démonstration : La longueur du cercle trigonométrique est égale à. En effet, son rayon est 1 donc P = R = x 1 =. Or la longueur d'un arc et la mesure de l'angle qui l'intercepte sont proportionnelles. Comme 1 radian est la mesure de l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique, on en déduit que la mesure de l'angle plein est égale à radians. 4) Correspondance degrés et radians (d) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel

Cours de Mathématique 1S Ainsi, à radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 360 Mesure en radians 0 6 4 3 Méthode : Passer des degrés aux radians et réciproquement 1) Donner la mesure en radians de l'angle α de mesure 33. ) Donner la mesure en degrés de l'angle β de mesure 3 8 rad.? 3 8 360 33? 1) α = 33 360 = 11 60 ) β = 3 8 360 = 135 5) Plusieurs enroulements de la droite A plusieurs points de la droite orientée on peut faire correspondre un même point du cercle. La droite orientée peut en effet s enrouler plusieurs fois autour du cercle. Exemples : - Ci-contre, les points N et P d abscisses 3 4 et 5 4 correspondent tous les deux au point M. En effet : 3 4 = 5 4 - On pourrait poursuivre le processus dans l'autre sens en effectuant deux tours successifs. Ainsi, les points d'abscisses 3 4 au point M. 19 et correspondent 4 En effet : 3 4 + 4 = 19 4. Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 3

Cours de Mathématique 1S II. Mesure d'un angle orienté et mesure principale 1) Cas d'angles orientés de vecteur de norme 1 On munit le plan d un repère orthonormé O ; i ; j et orienté dans le sens direct. ( ) On considère le cercle trigonométrique de centre O. Au point d'abscisse x de la droite d'enroulement, on fait correspondre le point M du cercle. Au point d'abscisse y de la droite d'enroulement, on fait correspondre le point N du cercle. u et v sont les vecteurs de norme 1 tels que u = OM et v = ON. Définition : Une mesure de l'angle orienté ( u ; v) est la différence y x. Propriété : On note α une mesure de l'angle orienté( u ; v). u ; v est de la forme α + k où k est un entier relatif. Toute mesure de l'angle orienté ( ) Démonstration : On fait correspondre le point M du cercle à deux points d'abscisses x et x' de la droite d'enroulement. On a : x' = x + k 1 où k 1 est un entier relatif. On fait correspondre le point N du cercle à deux points d'abscisses y et y' de la droite d'enroulement. On a : y' = y + k où k est un entier relatif. u ; v. Alors y x et y' x' sont deux mesures de l'angle orienté ( ) y ' x ' = y x + k k = y x + k en posant k = k k 1. Et on a : ( ) 1 ) Cas d'angle orientés quelconques (et non nuls) Soit U et V deux vecteurs non nuls. Soit u et v deux vecteurs unitaires, c'est-à-dire de norme 1, respectivement de U et de V U V Avec u = et v = U V Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 4

Cours de Mathématique 1S Définition : Une mesure de l'angle orienté ( U ; V ) orienté( u ; v). est égale à une mesure de l'angle 3) Mesure principale d'un angle orienté Définition : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle ;. Exemple : Une mesure d'un angle orienté est 5. D'autres mesures sont : 5 - ; 5-4 ; 5-6 ; soit : 3 ; ; - ; est donc la mesure principale de cet angle orienté. III. Propriété des angles orientés 1) Angle nul, angle plat Propriétés : Pour tout vecteur u non nul, on a : u ; u = 0 u ; u = 1) ( ) ) ( ) ) Relation de Chasles Propriété : Pour tous vecteurs u, v et w non nuls, on a : ( u ; v) + ( v ; w) = ( u ; w) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 5

Cours de Mathématique 1S IV. Cosinus et sinus d'un angle 1) Définitions : Dans le plan muni d un repère O ; i ; j et orienté dans le orthonormé ( ) direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le de la droite orientée d abscisse x. sens point N À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l axe des abscisses et à l axe des ordonnées passant par M. Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l abscisse de M et on note cos x. - Le sinus du nombre réel x est l ordonnée de M et on note sin x. Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 cos x 1 sin x 0 Soit u et v deux vecteurs non nuls et x une mesure de l'angle ( u ; v) On a : cos ( u ; v) = cos x et sin ( u ; v) = sin x. 6 3 1 4 3 1 3 0-1 1 0. Définitions : Le cosinus (respectivement le sinus) de l'angle orienté ( u ; v) le sinus) d'une de ses mesures. est le cosinus (respectivement Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 6

) Propriétés Cours de Mathématique 1S Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) 1 cos x 1 ) 1 sin x 1 3) cos x + sin x = 1 cos x cos x k sin x = sin x + k où k entier relatif 4) = ( + ) où k entier relatif 5) ( ) Démonstrations : 1) ) 3) Propriétés démontrées en classe de nde 4) 5) Aux points de la droite orientée d'abscisses x et x + k ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique. 3) Cosinus et sinus d'angles associés Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) cos( x) = cos x et sin( x) = sin x ) cos ( + x) = cos x et sin ( x) 3) cos ( x) = cos x et sin ( x) 4) cos + x = sin x 5) cos x = sin x Démonstrations : + = sin x = sin x et sin + x = cos x et sin x = cos x Par symétries, on démontre les résultats : 1) ) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 7

Cours de Mathématique 1S 3) 4) 5) V. Equations trigonométriques 1) Equation cos x = cos a Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels a + k et a + k où k est un nombre relatif. Démonstration : Par symétrie, on démontre qu'il existe deux points M et N du cercle dont les abscisses sont égales à cos a. i ; OM = a + k i ; ON = a + k avec k un nombre relatif. Ces points sont tels que ( ) et ( ) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 8

Cours de Mathématique 1S M N ) Equation sin x = sin a Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels a + k et a + k où k est un nombre relatif. Démonstration : Par symétrie, on démontre qu'il existe deux points M et N du cercle dont les ordonnées sont égales à sin a. i ; OM = a + k i ; ON = a + k avec k un nombre relatif. Ces points sont tels que ( ) et ( ) N M Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Résoudre dans R les équations suivantes : a) cos x = cos 6 b) sin x = 0,5 a) L'équation cos x = cos 6 a pour solution 6 + k et 6 + k où k est un entier relatif. b) sin x = 0,5 donc sin x = sin 6. L'équation a pour solution 6 + k et + 6 + k = 7 6 + k où k est un entier relatif. Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 9

CHAPITRE N Cours de Mathématique 1S TRIGONOMETRIE - Exercices Partie : Géométrie «Il faut essayer de faire ces exercices sans coup d oeil aux éléments de réponses» Le radian Le radian est l unité du «système international d unité» (SI) pour la mesure des angles. Le nom radian vient du mot radius qui signifie «rayon». Ce terme a été introduit en 1873 par l ingénieur James Thomson (18 189). Radian et cercle trigonométrie EXERCICES 1 Convertir en radians les mesures d angles. a. α = 30 ; β = 10 ; γ = 135 b. α = 75 ; β = 170 ; γ = 1 Convertir en degrés les mesures d angles. c. d. 7 α = rad ; β = rad ; γ = rad 4 5 18 177 α = 1 rad ; β = 3,14 rad ; γ = rad 144 EXERCICES ABCDE est un pentagone régulier de contre O. a. Déterminer en radians les mesures d angles OAB. b. Déterminer en radians les mesures d angles ABC. (On pourra considérer le triangle OCB.) c. Déterminer en radians les mesures d angles ABD. (On pourra considérer le triangle BCD.) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 10

Cours de Mathématique 1S Mesure d un angle orienté, mesure principale EXERCICES 3 A, B, C et D sont des distincts deux à deux. Simplifier les sommes suivantes : S 1 = ( AC, AD) + ( AD, AC) S = ( AD, AB) + ( AC, AD) S 3 = AD, AB + BA, DA ( ) ( ) EXERCICES 4 a. Dans le plan orienté muni du repère ( O, i, j), on donne le point A(1 ; 0). Représenter les points M 1, M,..., M 6 du cercle trigonométrique tels que les angles aient comme mesures respectives : ( OA, OM i ) 9 7 11 19 3 ;, -,, 0, 4 3 b. Déterminer la mesure principale de chacun de ces angles orientés de vecteurs. EXERCICES 5 a. Indiquer, parmi les nombres suivants, ceux qui correspondent aux mesures d un même angle de vecteurs. 3 7 3 7 5 ;,,,,, b. Dans l intervalle [ 0 ; 8 ], combien de mesure différentes existe-t-il pour un angle de vecteurs ayant comme mesure? Justifier. Cosinus et sinus d un angle EXERCICES 6. Le plan orienté est muni d un repère orthonormé direct ( O, i, j) Détermioner : a. sin ( i, j) b. cos ( i, 3 j) c. sin ( i, 5 j) d. cos ( i, i+ j) e. cos ( i j, j) f. cos (4i 7 j, j 6 i) Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 11

Cours de Mathématique 1S EXERCICES 7 Calculer : 3 4 5 A = sin 0 + sin + sin + sin + sin + sin 3 3 3 3 3 3 4 5 B = cos 0 + cos + cos + cos + cos + cos 3 3 3 3 3 EXERCICES 8 Simplifier les expressions suivantes où x est un nombre réel quelconque. cos x + cos x a. ( ) b. ( ) ( ) sin x + sin x + cos x + cos x sin x + sin + x + sin x + + sin x + 3 + sin x + 4 + sin x + 5 c. cos + x + sin x + sin ( x) + cos( x) d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Equations trigonométriques EXERCICES 9 Résoudre dans R les équations trigonométriques suivantes : a. sin x = sin 4 b. cos x = cos 4 c. d. 1 sin x = cos x = 3 EXERCICES 10 3 a. Montrer que cos = sin. 5 10 b. Résoudre dans R les équations trigonométriques : 3 cos x = sin 10 EXERCICES 11 Résoudre dans R les équations d inconnue x. a. b. cos x 1 = 0 4sin x 3 = 0 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 1

Cours de Mathématique 1S TRIGONOMETRIE Eléments de réponses EXERCICES 1 Rappel : = 180 30 3 a. α = = ; β = ; γ = 180 6 3 4 75 5 17 b. α = = ; β = ; γ = 180 1 18 180 c. α = = 45 ; β = 36 ; γ = 70 4 180 86 385 d. α = = 57,3 ; β = = 179,9 ; γ = = 30,6 5 4 EXERCICES a. Mesure de l angle OAB : (Vérifier les propriétés du pentagone régulier). 5 b. Mesure de l angle OBC : 5 3 =. 10 Mesure de l angle ABC 3 3 : =. 10 5 3 c. Mesure de l angle BDC 5 : = 5 Mesure de l angle ABD : 3 =. 10 5 5 EXERCICES 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( AD, DA) ( BA, AB) ( AD, DA) ( DA, AD) ( AD, AD) S 1 = AC, AC où tout autre angle de mesure nulle. S = AC, AD + AD, AB = AC, AB + k S 3 = AD, AB + BA, AB + AB, DA = + = + = où tout autre angle de mesure nulle. EXERCICES 4 a. b. 3 ;,,, 0, 4 3 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 13

Cours de Mathématique 1S EXERCICES 5 7 3 5 a. = = = 3 7 = = b. 4 - Il faut ici déterminer les valeurs (entier) que peut prendre k 1 0 + k 8 0 + k 8, on divise tout par 1 1 1 0 + k 8 0 k 8, on divise tout par 1 15 k 0,5 k 3,75 4 4 Comme k entier, il existe donc 4 mesures différentes pour k valant 0, 1, ou 3 : 5 9 13,,,. EXERCICES 6 a. sin ( i, j) = sin = 1 ; b. cos ( i, 3 j) = cos = 0 c. sin ( i, 5 j) = sin = 1 ; d. cos ( i, i+ j) = cos = 4 3 e. cos ( i j, j) = cos = 4 f. cos (4i 7 j, j 6 i) (un peu plus complexe) = cos = 1, oui, car si l on posait u = 6i j (4i 7 j, j 6 i) = 7 u, u u, u c est à dire. Et alors ( ). Cet angle est le même que pour ( ) cos = 1 EXERCICES 7 A = 0 ; B = 1 EXERCICES 8 a. cos x ; b. sin x ; c. cos x ; d. 0 EXERCICES 9 3 a. x = + k ou x= + k ' ; b. x = + k ou x= + k ' 4 4 4 4 5 5 7 c. x = + k ou x= + k ' ; d. x = + k ou x= + k ' 6 6 6 6 EXERCICES 10 3 a. cos = sin = sin. 4 5 10 b. x = + k ou x = + k ' 5 5 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 14

Cours de Mathématique 1S EXERCICES 11 a. cos x 1 = 0 cos x = ou cos x = x = + k ou x = + k 4 4 3 3 ou x = + k ou x = + k. 4 4 3 3 b. 4 sin x 3 = 0 x = ou x = x = + k ou x = + k 3 3 ou x = + k ou x = + k 3 3 FIN Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 15