PYRAMIDE I- Vue en perspective et définitions: Soit un polygone (ici le pentagone ABCDE) et S un point n'appartenant pas au plan de ce polygone. En joignant S à chacun des sommets du polygone on obtient une pyramide. Le polygone ABCDE est la base de la pyramide Le point S est le sommet de la pyramide Le segment [SH] (perpendiculaire au plan du polygone) est la hauteur de la pyramide Les faces (triangulaires) SAB, SBC, SCD, SDE, SEA sont les faces latérales de la pyramide Pour nommer une pyramide on écrit le nom de son sommet, suivi du nom de sa base. La pyramide ci-dessus se nomme SABCDE II- Pyramide régulière: On dit qu'une pyramide est régulière si; - sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, hexagone régulier,...) - son sommet appartient à l'axe de ce polygone régulier (droite perpendiculaire au plan de ce polygone et passant par le centre du cercle circonscrit à ce polygone) Remarque: Si une pyramide est régulière, ses faces latérales sont des triangles isocèles Exemple: Les pyramides d'egypte sont des pyramides régulières à base carrée. III- Patron d'une pyramide: Exemple 1: SABC est un tétraèdre régulier (pyramide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux) Le patron est formé de quatre triangles équilatéraux 1
Exemple 2 SABCD est une pyramide telle que ABC, SAB, SAC soient des triangles rectangles en A avec AC = 5cm, AB = 4 cm, SA = 3 cm On trace d'abord, en respectant les dimensions données, les triangles rectangles ABC, SAB, SAC Pour tracer le triangle SBC on utilise le compas, en reprenant les longueurs BS et CS sur les triangles SAB et SAC déjà tracés. 2
Exemple 3 On trace un segment [SH] de longueur 6 cm, puis, sur la perpendiculaire en H à ce segment, on reporte au compas la longueur HA (prise sur la figure ci-dessus) SABCD est une pyramide régulière à base carrée, avec AB = 4 cm et SH = 6 cm 1) Construire en vraie grandeur le carré ABCD et le triangle SAH 2) Tracer le patron de cette pyramide On trace le carré ABCD, et à l'extérieur de ce carré les triangles isocèles SAB, SBC, SCD, SDA, la longueur SA étant prise au compas sur le triangle SAH tracé précédemment. 3
IV- Calculs dans une pyramide: Exemple: 1) On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B: AC 2 = AB 2 + BC 2 En remplaçant AB et BC par 5,1 et en effectuant les calculs, on trouve: AC 2 = 52,02 Donc AC = 52, 02 7,2 cm H est le milieu de [AC], car les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu. Donc AH = 7,2 : 2 = 3,6 cm 2) On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle SAH rectangle en H SA 2 = SH 2 + AH 2 En remplaçant SA par 6,7 et AH par 3,6 et en effectuant les calculs, on trouve: SH 2 = 31,93 Donc SH = 31, 93 5,7 cm SABCD est une pyramide régulière à base carrée, avec AB = 5,1 cm et SA = 6,7 cm 1) Calculer AC, puis AH 2) Calculer SH (Tous les résultats seront arrondis au mm) 4
V- Volume d'une pyramide: Le volume d'une pyramide se calcule par la formule: V = (Aire de base x hauteur) / 3 Exemples: Calculer le volume des pyramides suivantes: SABCD est une pyramide telle que ABC, SAB, SAC soient des triangles rectangles en A avec AC = 6cm, AB = 4,5 cm, SA = 3, 7cm L'aire de la base est égale à (6 x 4,5) / 2 = 13,5 cm 2 Le volume est donc: V = (13,5 x 3,7) / 3 = 16,65 cm 3 SABCD est une pyramide régulière à base carrée, avec AB = 5 cm et SH = 7,8 cm L'aire de la base est égale à 5 x 5 = 25 cm 2 Le volume est donc: V = (25 x 7,8) / 3 = 65 cm 3 5
VI - Exercices: Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 SABCD est une pyramide régulière à base carrée, avec AB = 4, 8 cm et SH = 7, 1 cm 1) Calculer AC, puis AH 2) Calculer SA (Tous les résultats seront arrondis au mm) Le pentagone ABCDE a pour aire 123 cm 2, et SH = 11 cm Calculer le volume de cette pyramide. SABCD est une pyramide régulière à base carrée, avec AB = 7 cm et SH = 12,6 cm Calculer le volume de cette pyramide 6
PYRAMIDE - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: 1) On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B: AC 2 = AB 2 + BC 2 En remplaçant AB et BC par 4,8 et en effectuant les calculs, on trouve: AC 2 = 46,08 Donc AC = 46, 08 6, 8 cm H est le milieu de [AC], car les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu. Donc AH = 6,8 : 2 = 3,4 cm 2) On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle SAH rectangle en H SA 2 = SH 2 + AH 2 En remplaçant SH par 7,1 et AH par 3,4 et en effectuant les calculs, on trouve: SA 2 = 61,97 Donc SA = 61, 97 7,9 cm Exercice 2: V = (123 x 11) / 3 = 451 cm 3 Exercice 3: L'aire de la base est égale à 7 x 7 = 49 cm 2 Le volume est donc: V = (49 x 12,6) / 3 = 205,8cm 3 7