IUT Orsy Primitivs t Itégrls r smstr L prolèm d l itégrtio st l u ds plus importts ds mtémtiqus, dor u ss à l otio d itégrl, préisr qulls sot ls fotios itégrls t lls qui l sot ps pris plusiurs sièls. L téori l plus mployé ujourd ui pysiqu st ll iitié pr Mrtor, dévloppé pr Rim (déoupg «trs» vrtils ) t dpuis, omplété pr Stiltjs [STIELTJES Toms J, olldis, 856-894]. U utr téori d l itégrtio plus ffi été dévloppé Fr à l fi du 9 èm sièl pr Hri Lsgu [LEBESGUE Hri Léo, frçis, 875-94] U fço très simplifitri d évitr s téori osist à s itérssr qu à ds fotios otius sur u itrvll t à utilisr l otio d primitiv : st qui st fit trmil t st sur tt s qu ous démrrros. A. Défiitio, propriété fodmtl Défiitio : O ppll primitiv d u fotio f défii ds u itrvll I tout fotio F dérivl ds I t tll qu F ' = f. Rmrqu : Si F st u primitiv d f, tout fotio G défii ds I pr G( ) = F( ) + k st ussi u primitiv d f. Cl sigifi qu u fotio f qui possèd u primitiv ds I possèd u ifiité. Propriété : Si F t G sot ds primitivs d f défiis ds l mêm itrvll I lors il ist u ostt réll k tll qu G( ) = F( ) + k Rmrqu : Si F st u primitiv d f défii ds u itrvll I, lors qul qu soit l oupl d réls ( 0; y 0) où 0 I, il ist u primitiv G tll qu G( 0) = y0. E fft si F( 0 ) = A, o pos k = y0 A t G( ) = F( ) + k qui do G( 0) = F( 0) + k = A + y0 A. Nottio : Si f st u fotio d l vril, o ot prfois Primit( f ) ou plus ourmmt f ( ). u primitiv quloqu d f. B. Rr ds primitivs Ri ous prmt d distigur ls fotios qui ot u primitiv ds utrs mis pourtt il sml risol d psr qu ls fotios «ssz régulièrs» doivt ps trop posr d prolèm. O dmt qu tout fotio otiu ds u itrvll I possèd u primitiv défii sur t itrvll. Atttio, st ps pr qu o st sûr qu u fotio possèd u primitiv qu ll-i st fil à trouvr! Il rst do à friqur ds métods d rr d primitivs. B-I. Primitivs ds fotios élémtirs E s méfit ds smls d défiitio, o put utilisr ls dérivés ous «à l vrs». Si f ( ) = 0 k ( ) Alors F( ) = k k + Cst 2 2 + Cst + + + Cst ( = ) l( ) + Cst Si f ( ) = si( ) os( ) Alors F( ) = os( ) + Cst si( ) Cst + + Cst Pg 27
IUT Orsy r smstr B-II. Primitivs ds fotios ostitués d fotios élémtirs u étt u fotio d primitiv U ds l itrvll I, si f = ku lors, ds I o : F = ku + Cst u t v étt du fotios d primitivs U t V ds l itrvll I, si f = u + v lors, ds I o : F = U + V + Cst u étt u fotio d dérivé u ' ds l itrvll I, + si f = u ' u (v > 0) lors, ds I o : F = u + Cst + u étt u fotio d dérivé u ' t s ult ps ds l itrvll I, + si f = u ' u (v < ) lors, ds I o : F = u + Cst + u étt u fotio d dérivé u ' t grdt u sig ostt ds l itrvll I, si f u u = ' (s = ) lors, ds I o : l( ) Pg 28 F = u + Cst Si f st u fotio otiu qui put s érir u ' v ' u ds u itrvll I, lors sur t itrvll I u primitiv d f st F tll qu F( ) = v u + Cst. Applitio : Ds tout itrvll I u primitiv d f tll qu f ( ) = si( + ) os( + ) st F tll qu F( ) = + Cst. Applitio2 : Ds tout itrvll I u primitiv d f tll qu f ( ) = os( + ) si( + ) st F tll qu F( ) = + Cst. Applitio : Ds tout itrvll I u primitiv d f tll qu f ( ) = + ) st F B-III. + tll qu F( ) = + Cst. Itégrtio pr prtis Alors qu il y u formul d dérivtio pour u produit il y ps d formul dot u primitiv d u produit. Pourtt, u o omprésio d l formul d dérivtio d u produit prmt, lorsqu o r u primitiv d u produit d rmplr tt rr pr u utr prfois plus simpl. O ( uv)' u ' v v ' u = + do ( ) ( ) u ' v = uv ' v ' u t utilist ds primitivs, Primit( u ' v) = Primit uv ' Primit( v ' u) st à dir Primit( u ' v) = uv Primit( v ' u) qui s érit. plus souvt sous l form u '( ). v( ). = u( ). v( ) v '( ). u( ). Ctt formul «do ps d répos» mis idiqu ommt rmplr l rr d u primitiv pr u utr. Ell s ppliqu tout prtiulièrmt u rrs d primitivs ds fotios l form. ;.si( );.os( );.l( )... C. Itégrls défiis C-I. Défiitio lultoir Si f st u fotio d primitiv F ds u itrvll [ ; ] o pos : f ( ). = F ( ) F ( )
IUT Orsy C-II. Itrpréttio : ir lgériqu t ir géométriqu r smstr Lorsqu f st u fotio à vlurs positivs v <, f ( ). orrspod à l ir géométriqu d l surf formé ds poits M ( ; y ) tls qu rvu ds ls ours du r smstr. Pg 29 < <. C résultt sr 0 < y < f ( ) Lorsqu f st u fotio à vlurs égtivs (ou i lorsqu > ), f ( ). orrspod ps à l ir d u surf puisqu l résultt d l itégrl st égtif. Lorsqu f grd u sig ostt ds [ ; ] o ppll «ir lgériqu» d l surf S délimité pr ls droits = ; = ; y = 0 t l our y = f ( ) l omr f ( ).. O put rmrqur qu l otour d S st u our simpl (ss poit doul) t qu l ir lgériqu l sig du ss d prours d otour orité pr l trjt d à sur l ds sisss. Si u fotio f grd ps u sig ostt ds [ ; ], pour lulr l ir géométriqu d l surf S délimité pr ls droits ; ; y 0 [ ; ] sous itrvlls où = = = t l our y = f ( ), o prtg f grd u sig ostt, o lul l ir lgériqu orrspodt à u d s sous-itrvlls, o déduit l ir géométriqu (gmt d sig pour ls irs lgériqus égtivs) t o dditio l rvit à lulr f ( ).. C-III. Propriétés ds itégrls défiis. Si,, sot ds u itrvll où f possèd u primitiv, o : f ( ). = f ( ). + f ( ). Coséqu immédit : f ( ). = f ( ). 2. Si t sot ds u itrvll où f t g possèdt ds primitivs, o : ( ) f ( ) + g( ). = f ( ). + g( ).. Si t sot ds u itrvll où f possèd u primitiv, o : k. f ( ). = k. f ( ). 4. Si t sot ds u itrvll où f t g possèdt ds primitivs, o : dès qu f g pour tout [ ; ] (v < ), f ( ). g( ). 5. Si t sot ds u itrvll où f possèd u primitiv, o : f ( ). f ( ). 6. Si t sot ds u itrvll I où f possèd u primitiv, post ϕ ( ) = f ( t) dt o otit u fotio ϕ otiu ds I t dot l dérivé st f. 7. Si t sot ds u itrvll où f st pir t possèd u primitiv, o : + f ( ). = 2. f ( ). 0
IUT Orsy r smstr 8. Si t sot ds u itrvll où f st impir t possèd u primitiv, o : + f ( ). = 0 9. Si t + T sot ds u itrvll où f possèd u primitiv t si f pour périod T, o : + T f ( ). = f ( ). D. Applitios ds itégrls défiis D-I. Vlur moy, vlur ffi Si f st u fotio itégrl ds [ ; ] o ppll vlur moy d f ds [ ; ] omr m tl qu 0 T l m = f ( ).. Ctt idé ri d mystériu : o r u ostt qui puiss rmplr f ( ) ds l itégrl ss gr l somm. Ls pplitios sot très omruss pysiqu où d omruss qutités sot rpréstés pr ds fotios périodiqus (ods soors, ourts éltriqus ltrtifs, osilltios d u rssort ). Pour s qutités o défiit l vlur ffi v omm l ri d l vlur moy du rré d l fotio sur u itrvll d loguur u périod, st à dir : D-II.. 2 v = f ( ). Fotios défiis pr u itégrl Crtis grdurs pysiqus sot pr tur ds résultts d itégrls. Pr mpl, l volum d liquid otu ds u réipit rvt u déit vril, l qutité d éltriité otu ds u ttri d utomoil oté à u rgur d ttri, l qutité d lur otu ds u orps soumis à u uffg ou à u rfroidissmt D-III. Clul d volums, W L sp étt mui d u rpèr ortoormé ( O, i, j, k ) désig u «solid» los dot l utur vri d à. L progrmm d trmil ffirm lors qu si S( z ) désig l ir d l surf déoupé ds W pr l pl d ot z, l volum d W st l omr V tl qu : V = S( z). dz. Coséqus : Tout prism droit d s B t d utur pour volum B. B. Tout pyrmid d s B t d utur pour volum B. Tout ô d s B t d utur pour volum Tout oul d ryo R pour volum 4 π. R Pg 0
IUT Orsy r smstr E. Géérlistio d l itégrl défii : itégrl géérlisé E-I. Prmièr spè + O défiit l symol f ( ). omm lim f ( ). si tt limit ist. + O défiit d mêm l symol f ( ). omm lim f ( ). si tt limit ist. + O défiit fi l symol f ( ). omm lim f ( ). à oditio qu o puiss trouvr + u rél tl qu séprémt lim f ( ). t lim f ( ). istt. + E-II. Si ( ) Duièm spè f st défii ds ] ; ] f ( ). omm lim f ( ). si tt limit ist. t td vrs + lorsqu, o défiit l symol Ls trois utrs s sot fils à éor si o ompris jusqu là Il st itérsst d voir qulqus otios istoriqus sur sujt l sit ttp://www.roomt.om/ st u vri mrvill t o put y pssr ds urs pssiots (mis oui, mis oui!) Pg