Université de Paris Est Créteil Mathématiques financières IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012 1. Le problème des partis 1 Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret Le chevalier de Meré, philosophe et homme du monde s intéressant aux jeux de hasard, proposa durant l été 1654, le problème suivant à Blaise Pascal (1623 1662), connu comme le second problème du chevalier de Méré ou problème des partis : «Deux joueurs (disons Primus et Secundus) engagent chacun 32 pistoles dans un jeu de pile ou face ; empochera les 64 pistoles celui d entre eux qui, le premier, aura obtenu trois succès, consécutifs ou non. Ils jouent une première manche, Primus gagne ; ils sont à ce moment obligés de se séparer, la partie ne sera jamais terminée. Comment partager équitablement l enjeu entre eux?» Correction en TD. 2. On considère un marché à une période comprenant 2 actifs. Le premier est appelé actif sans risque et son processus de prix est noté S 0. Le deuxième est appelé actif à risque et son prcessus de prix est noté S. La date du début de la période est t = 0 et la date de fin est t = T. L évolution de l actif sans risque est donnée par la relation St 0 = (1 + R) t/t, R > 0. L actif à risque peut prendre quant à lui plusieurs valeurs à la date T : P{S T = S k } = p k, k {1,..., M}, où M 2 est un entier et où les S k sont notés dans l ordre croissant. Un straddle de maturité T est un actif contingent dont le flux (payoff) à la date T est { h(st ) = S(T ) K si S T > K où K > 0. h(s T ) = K S(T ) si S T < K, (a) Qu est-ce que l hypothèse d absence d opportunité d arbitrage (A.O.A.) implique sur les valeurs de R et S k, k = 1,..., M? En supposant les {S k } rangés dans l ordre croissant S 1 S M, l A.O.A. implique que nécessairement S 1 S 0 (1 + R) S M. En effet dans le cas contraire, par exemple, S 0 (1 + R) < S 1, la stratégie suivante : long du sous-jacent S au prix S 0, puis short de S 0 0-coupon conduit à un portefeuille en date T de valeur S 1 (1 + R)S 0. C est donc une stratégie d arbitrage. De même, si S 0 (1 + R) > S M, la stratégie : short S et long 0-coupon pour un montant S 0 fournit un arbitrage. (b) Quelles conditions doit satisfaire un portefeuille constitué des deux actifs de façon à reproduire le payoff du straddle? Est-il toujours possible de trouver un tel portefeuille? 1. In Les probabilités, Albert Jacquard, Que sais-je?, P.U.F.. 1
Soit x la quantité d actifs risqué et y la quantié d actif sans rique dans le portefeuille à t = 0. Soit V 0 la valeur du portefeuille à t = 0, soit V 0 = xs 0 + y. Toute stratégie (x, y) de réplication doit satisfaire les relations : V T = xs k + y(1 + R) = h(s k ) = (S k K) + + (K S k ) +, 1 k M. D où M relations et 2 inconnues (x, y). Pour M = 2, on peut toujours trouver une et une seule solution. Ce n est pas toujours possible de trouver une solution (x, y) à ce problème dès que M 3. En raisonnant uniquement sur les deux premières relations, on obtient x = (h(s 2 ) h(s 1 ))/(S 2 S 1 ), c.-à-d. le taux de variation de la fonction h entre S 1 et S 2 (le delta!). Cette quantité doit rester la même si l on raisonne sur d autres lignes du système (S 3 et S 4, S M 1 et S M, etc). Or le payoff ici à pour taux de variation +1 à droite de K et 1 à gauche de K. Pour obtenir une unique solution x il faut alors que toutes les valeurs possibles de S à l échéance soit du même côté de K : soit S k K pour tout k, soit S k K pour tout k. Dans le premier cas, la solution est x = 1 et y = K/(1 + R). Dans le dernier cas, la solution est x = 1 et y = K/(1 + R). Mais hormis ces cas particuliers, en général, il n y a pas de solution. (c) Que signifie-t-on par «probabilité risque neutre» associé à l évènement {S T = S k }? Cette quantité est noté q k. Quelles sont les propriétés de q k, k = 1,..., M? On appelle probabilités risque-neutre tout jeu de probabilités {q k } attaché aux scénarii {S T = S k } pour lequel l actif risqué actualisé est une martingale, c.-à-d. que q k = P{S T = S k } pour tout k = 1,..., M et ( ) E(S T ) = q 1 S 1 + + q M S M = (1 + R)S 0. (0 q i 1 et q 1 + + q M = 1). (d) Exprimer le prix à t = 0 de l option de flux h(s T ) en t = T en fonction des q k et de R. En théorie de pricing risque-neutre, le prix de l option de payoff h est la moyenne pondérée par les probabilités risque-neutre et actualisée du payoff à l échéance, soit V 0 = 1 1 + R Eh(S T ) = 1 ( ) q 1 h(s 1 ) + + q M h(s M ). 1 + R (e) Montrer que le straddle peut être répliqué en utilisant une option de Call et une option de Put. On remarque qu en effet h(s T ) = (S T K) + + (K S T ) +, c.-à-d. que le payoff à la maturité vaut la somme du payoff d un Call et du payoff d un Put de même prix d exercice K. Pour répliquer l option, il suffit donc de répliquer un Call et un Put de même prix d exercice. 2
(f) En utilisant la relation de parité Call/Put, montrer que le straddle peut être répliqué en utilisant une option de Call et les deux actifs du marché. La relation de parité s écrit dans le contexte présent : Call Put = S 0 K/(1 + R). En effet, (S T K) + (K S T ) + = S T K, en prenant l espérance, on obtient E(S T K) + E(K S T ) + = E(S T ) K. En utilisant la relation ( ) (voir question c)) et en divisant par 1 + R, on obtient la relation cherchée. Le prix de l option straddle peut donc s exprimer uniquement en fonction du Call et du sous-jacent : V 0 = Eh(S T )/(1 + R) = Call + Put = 2 Call S 0 + K/(1 + R). Le straddle peut donc être répliqué en vendant deux Call de même prix d exercice, achetant une unité d actif risqué et plaçant une quantité K au taux 1 + R. On suppose dans la suite que M = 2, S(0) = 100, S 1 = 95, S 2 = 105, R = 0.03 et K = 99. (g) Les conditions d A.O.A. sont-elles vérifiées? On vérifie 95 103 105. (h) Trouver dans ce cas un portefeuille répliquant le straddle et donner la valeur à t = 0 du straddle. En utilisant les résultats de la question (b), on obtient et x = (h(s 2 ) h(s 1 ))/(S 2 S 1 ) = (6 4)/(10) = 0.2, y = h(s 2) x S 2 1 + R = (6 0.2 105)/(1.03) = 15/1.03 = 14.56. Pour déterminer le prix de l option, on peut utiliser la formule de réplication : V 0 = xs 0 + y = 0.2 100 15/1.03 = 5.44. (i) Un investisseur estime la valeur du straddle par l espérance sous la probabilité historique (p k, k = 1, 2) de son payoff. Montrer comment, en prenant contact avec l investisseur, on peut construire une stratégie d arbitrage. (j) Exprimer le prix du straddle en fonction de q 1 et q 2. Comparer la valeur obtenue avec celle de la question (h). On peut calculer le prix V 0 en utilisant la formule de la question (d) : V 0 = (q 1 4 + q 2 6)/(1 + R), 3
où les probabilités q k, k = 1, 2 sont les probabilités risque-neutre. On les calcule en résolvant le système : q 1 95+q 2 105 = 103 (relation ( )), q 1 +q 2 = 1. Il vient q 1 = 0.2, q 2 = 0.8. On obtient donc le prix V 0 = (0.2 4 + 0.8 6)/(1.03) = 5.44. On vérifie que l on obtient bien le même prix. 3. On considère les trois exemples suivants de marchés à une période. Dans les trois cas, l actif sans risque S 0 est le même (taux r = 1/9 11%). Les marchés 1 et 2 ont chacun un actif risqué, noté S 1, et le marché 3 possède deux actifs risqués, notés S 1 et S 2. On considère les trois marchés indépendemment les uns des autres. Marché 1 Marché 2 Marché 3 60/9 5 60/9 40/9 20/3 20/3 40/3 5 5 40/9 10 80/9 40/9 30/9 80/9 1 10/9 1 10/9 1 10/9 (a) Pour les marchés 1 et 2, trouvez une probabilité risque-neutre, c.-à-d. celle pour laquelle la valeur actualisée moyenne de l actif risqué vaut S 0 = 5. Marché 1 On cherche p telle que p 20 + (1 p)40 3 9 = (1 + r) S 0 = 50/9. On en tire p = 1/2. Marché 2 On cherche (p, q, r) telles que { 20/3 p + 40/9 q + 30/9 r = 50/9, p + q + r = 1. Il existe une infinité de solutions (p, q, r) possibles. Elles s expriment en fonction de r comme p = 1 2 + r 2, q = 1 2 3r 2. Avec la contrainte 0 p, q, r 1. Dans les deux cas, le modèle est libre d arbitrage mais non complet (pas unicité). 4
(b) Existe-t-il une telle probabilité pour le marché 3 (c.-à-d. pour laquelle la valeur actualisée moyenne des actifs risqués S 1 et S 2 vaut respectivement S 1 0 = 5 et S 2 0 = 10)? Dans le cas contraire, on dit qu il y a opportunité d arbitrage. Est-ce le cas pour le marché 3 et si oui, pouvez-vous trouver une opportunité d arbitrage? On cherche (p, q, r) telles que 60/9 p + 60/9 q + 40/9 r = 50/9, 40/3 p + 80/9 q + 80/9 r = 100/9, p + q + r = 1. Le système admet une unique solution (p, q, r) = (1/2, 0, 1/2). Le système est libre d arbitrage et complet. 4. On se place dans un modèle binomial dont les paramètres sont s = 8 (le spot), u = 2, d = 1/2 et r = 1/4. On étudie un put américain d échéance N = 3 et de prix d exercice K = 9. (a) Calculer le processus de valeur théorique du put. (b) Calculer le plus petit et le plus grand temps d arrêt où il est optimal pour l acheteur d exercer le put américain. Combien y-a-t-il en tout de temps d arrêt? (c) Sans faire les calculs numériques, expliquer la stratégie de couverture du vendeur du put américain. Pas traité en cours cette année. 5. On considère un marché à deux périodes, dans lequel sont négociés : un actif sans risque rapportant un taux r = 5% et un actif risqué dont le prix S t évolue selon l arbre suivant : 120 110 100 105 90 S0 S1 S2 (a) Quels sont les quatre scénarios possibles de l évolution de l actif risqué sur les deux périodes? 80 Les quatres scénarios sont uu := {S 0 = 100, S 1 = 110, S 2 = 120}, ud := {S 0 = 100, S 1 = 110, S 2 = 105}, du := {S 0 = 100, S 1 = 90, S 2 = 105} et dd := {S 0 = 100, S 1 = 90, S 2 = 80}. (b) Soit p 1, p 2, p 3, p 4 les probabilités des quatre scénarios. Exprimer E(S 2 S 1 = 110) et E(S 2 S 1 = 90) en fonction des p i. 5
Calculons tout d abord P (S 1 = 100) et P (S 1 = 90). Une application directe du cours donne P (S 1 = 110) = P (S 1 = 110, S 2 = 120) + P (S 1 = 110, S 2 = 105) De même, on a = P (uu) + P (ud) = p 1 + p 2. P (S 1 = 90) = p 3 + p 4. Revenons à la question, par définition de l espérance conditionnelle, on a E(S 2 S 1 = 110) = 120 P (S 2 = 120 S 1 = 110)+105 P (S 2 = 105 S 1 = 110). Or, par définition de la probabilité conditionnelle, on a P (S 2 = 120 S 1 = 110) = P (S 2 = 120, S 1 = 110) P (S 1 = 110) De même, on obtient Bilan : P (S 2 = 105 S 1 = 110) = P (S 2 = 105, S 1 = 110) P (S 1 = 105) E(S 2 S 1 = 110) = 120 Le même raisonnement donne E(S 2 S 1 = 90) = 105 p 1 p 2 + 105. p 1 + p 2 p 1 + p 2 p 3 p 4 + 80. p 3 + p 4 p 3 + p 4 = p 1 p 1 + p 2. = p 2 p 1 + p 2. (c) Ce modèle est-il sans arbitrage? Si oui donner les probabilités risque-neutres. Ce modèle est-il complet? On peut chercher à déterminer des probabilités risque-neutre, c.-à-d.un jeu de probabilités p 1, p 2, p 3, p 4 pour lesquelles l actif risqué actualisé est une martingale, c.-à-d.telles que E(S 1 ) = (1+r) S 0 (une équation), E(S 2 S 1 ) = (1+r) S 1 (2 équations). Il reste l équation p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1. Ce qui en fait 4 au total. Les 3 premières s écrivent 110 (p 1 + p 2 ) + 90 (p 3 + p 4 ) = 100 (1 + r) p 1 p 2 120 + 105 = 110 (1 + r) p 1 + p 2 p 1 + p 2 p 3 p 4 105 + 80 = 90 (1 + r). p 3 + p 4 p 3 + p 4 En multipliant par (p 1 + p 2 ) la 2eme et par p 3 + p 4 la 3eme, on obtient le système linéaire suivant de 4 équations à 4 inconnues : 110 p 1 + 110 p 2 + 90 p 3 + 90 p 4 = 105, 4.5 p 1 10.5 p 2 = 0, 10.5 p 3 14.5 p 4 = 0, p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1. 6
On en tire les solutions p 1 = 0.525, p 2 = 0.225, p 3 = 0.145, p 4 = 0.105. Il existe un unique jeu de probabilités : le marché est donc libre d arbitrage (par l existence) et complet (par l unicité). Pour la suite, on prendra les probabilités suivantes : p 1 = 0.525, p 2 = 0.225, p 3 = 0.145, p 4 = 0.105. (d) Déterminer le prix à l instant t = 0 : d un put européen de prix d exercice 110, qui arrive à échéance à la fin de la deuxième période ; On calcule, sous la probabilité risque-neutre, E(Z)/(1+r) 2 où Z = (110 S 2 ) +. On obtient E(Z)/(1 + r) 2 = (5(p 2 + p 3 ) + 30p 4 )/(1 + r) 2 4.53. d un call américain de prix d exercice 105, qui arrive à échéance à la fin de la deuxième période. De même, on pose Y = (S 2 105) +. Le prix demandé est la moyenne actualisée sous proba risque neutre de Y, soit (e) On considère l option dont le payoff est E(Y )/(1 + r) 2 = 15p 1 /(1 + r) 2 7.14 H = (S 2 S 1 ) + + (S 1 S 0 ) +. Déterminer la stratégie de réplication de cette option à l instant t = 0. C est typiquement une option trajectoire dépendante (sa valeur à l échéance dépend de la trajectoire du sous-jacent et pas seulement de sa valeur à l échéance (cas vanille)). D un point de vue de l acheteur, cela correspondrait à un besoin de couverture face à une hausse constante du sous-jacent. On note V t la valeur de l option à la date t. Notons toutefois que celleci peut dépendre de la trajectoire suivie par le sous-jacent. Par exemple, V 2 = H en S 2 = 105 peut prendre deux valeurs selon les événements ud ou du : V 2 = 10 sur ud et V 2 = 15 sur du. Calculons les stratégies de proche en proche en commençant par l avantdernière date t = 1. S 1 = 110 : Ici la valeur V 1 = E(H S 1 = 110)/(1 + r) = (20 p 1 + 10 p 2 )/(1 + r), soit V 1 = 12.14. On cherche aussi une stratégie d allocation (x, y) telle que V 1 = xs 1 + y, et { x 120 + y(1 + r) = 20 x 105 + y (1 + r) = 10 On trouve x = 20 10 120 105 = 2/3 et y = V 1 x 110 = 61.19. 7
S 1 = 90 : On a V 1 = E(H S 1 = 90)/(1 + r) = 15 p 3 /(1 + r) = 2.07. Le même raisonnement donne x = 0.6 et y = V 1 x 90 = 51.93. S 1 = 100 : On cherche (x, y) tel que V 0 = x 100 + y = E(H)/(1 + r) 2 = (20 p 1 + 10 p 2 +15 p 3 )/(1+r 2 ) = 13.54. Le même raisonnement que plus haut donne (cf. aussi Lecture 3, p.29) x = 12.14 2.07 110 90 = 0.503, y = V 0 100 x = 36.81. 8