Outils algébriques et numériques 1 Distributivité de la multiplication par rapport à l addition Propriété 1. En cinquième, vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l addition : k (c + d) = k c + k d Propriété 2. Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Théorème 1. Enfin en troisième, vous avez appris trois nouvelles relations, appelées identités remarquables : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Cas particulier : suppression des parenthèses précédées d un plus ou d un moins On peut considérer : D où : Propriété 3. +(a + b) = +1 (a + b) = a + b +(a b) = +1 (a b) = a b (a + b) = 1 (a + b) = a b (a b) = 1 (a b) = a + b Pour enlever les parenthèses autour d une expression précédée d un signe «+», on recopie telle quelle l expression (sans modifier les signes). Pour enlever les parenthèses autour d une expression précédée d un signe, on recopie l expression en inversant tous les signes («+» devient, et devient «+»). 2 Développement - Factorisation On appelle expression algébrique, une expression comprenant à la fois des nombres et des inconnues. 2x + 5 y et (3x 4)(2x + 1) sont des expressions algébriques. On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres. Roussot 1 2012 / 2013
2 (3 + 4) 5 5 et (4 5) 3 sont des expressions numériques. Une expression numérique est aussi une expression algébrique. On appelle somme algébrique, une expression algébrique ne contenant aucune parenthèse et écrite comme sommes ou différences d expressions algébriques. 2x 3 + 4x 1 4x 5 4 2x 2 5x + 2 sont des sommes algébriques. Développer une expression algébrique, c est la transformer en une somme algébrique. Factoriser une expression algébrique, c est la transformer en un produit de sommes algébriques. Vocabulaire : Réduire une somme algébrique, c est regrouper ensemble des termes de mêmes «nature», par exemple : 2x 2 + ab + 4x 5x 2 + 7ab = Ordonner une somme algébrique qui ne comprend qu une variable ou d inconnue (x ou bien y, etc.), c est ranger les termes (après réduction) par ordre croissant ou décroissant de l exposant de la variable (ou inconnue), par exemple : 5x 2 3x + 6x 5 + 2 x 6 = Développement k (c + d) = k c + k d (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Factorisation 3 Exemples 1. Développer et réduire (éventuellement ordonner) chacune des expressions suivantes : a. (1 + 3a) 2 b. 5(x y) c. (2x 3y)(2x + 3) 2. Factoriser chacune des expressions suivantes : a. 10x 2 + 5xy b. x 2 6x + 9 c. 8x 2 121 Roussot 2 2012 / 2013
4 Fractions On ne peut jamais avoir 0 au dénominateur. Le trait de fraction séparant le numérateur (au dessus du trait) et le dénominateur (au dessous du trait) représente la division du numérateur par le dénominateur. Propriété 4. Égalité de fractions (simplification et dénominateur commun) : a b = a k b k et a b = a k b k 21 24 = 6 5 = Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus se simplifier, c est à dire qu il n existe pas un nombre entier qui puisse diviser à la fois le numérateur et à la fois le dénominateur. Je vous rappelle une propriété que vous avez vue en troisième qui est : une fraction est irréductible si et seulement si le pgcd du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Propriété 5. Multiplications de deux fractions : a b c d = a c b d 3 8 6 5 = 2a 3 5b 4a = Cas particulier : a b c = a 1 b c = a b 1 c = a b, par exemple : 3 c 4 5 = Propriété 6. Additions et soustractions de deux fractions : 1. ayant le même dénominateur : a c + b c = a + b c et a c b c = a b c 2. avec des dénominateurs différents : Pour additionner ou soustraire deux fractions n ayant pas le même dénominateur, je commence par les mettre au même dénominateur, puis on applique le 1. 7 6 + 13 6 = 7 5 3 5 = 2a 11 + 6a 11 15 11 = 11 3 5 4 = 2 + 7 5 = a 4 a 6 = Propriété 7. Inverse d une fraction : l inverse de la fraction a b (avec a 0 et b 0) est la fraction b a.. L inverse de 3 11 est Cas particulier : l inverse de a (a 0) est la fraction 1, par exemple, l inverse de 5 est a Propriété 8. Diviser par une fraction : revient à multiplier par l inverse de cette fraction. 5 3 4 = 8 5 7 3 = 3a 5 (6a) = Roussot 3 2012 / 2013
Toutes les propriétés ci-dessus sur les fractions s appliquent aussi avec des écritures fractionnaires (c est à dire quand numérateur ou dénominateur ne sont pas forcément des entiers). 5 Puissances Soit a un nombre quelconque. Pour tout entier n 2, on a : a n = a a a ; n s appelle l exposant de a n. n facteurs Par convention : a 1 = a et a 0 = 1 pour n entier naturel et a 0, a n = 1 a n 1. 5 3 = 2. a 4 = 3. 17 1 = 4. 53 0 = 5. 6 2 = 6. 2 1 = Propriété 9. 1. Pour n et p des entiers et a un nombre non nul : a. a n a p = a n+p b. an a p = an p 2. Pour a et b des nombres non nuls et n un entier : a. (a b) n = a n b n b. ( a b ) n = an b n c. (an ) p = a n p 1. 42 10 42 14 = 2. 895 89 2 = 3. (a 0) a2 a 5 = 4. (561 3 ) 4 = 6. 2 6 5 6 = 7. (3x) 3 = 8. ( b 4 5 ) = 9. ( 1 3 7 ) = 5. (x 3 ) 2 = Propriété 10. Écriture scientifique : Soit x un nombre décimal non nul. Alors il existe un nombre décimal a compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) (1 a < 10) et un entier relatif n tels que x = ±a 10 n. 4567, 89 = 54, 6926 10 8 = 0, 02345 = Roussot 4 2012 / 2013
6 Racines carrées Pour un nombre a positif, on appelle racine carrée de a et on note a l unique nombre positif dont le carré est égal à a. 81 = Propriété 11. Pour a 0, 1. a 0 2. ( a) 2 = a 3. a 2 = a Pour a 0 et b 0, 4. ab = a b Pour a < 0, a 2 = a Pour a 0 et b > 0, a a 5. b = b 1. 36 = 3. 18 = 2. 4 9 = 4. 16 27 = 6 Racines carrées Pour un nombre a positif, on appelle racine carrée de a et on note a l unique nombre positif dont le carré est égal à a. 81 = Propriété 11. Pour a 0, 1. a 0 2. ( a) 2 = a 3. a 2 = a Pour a 0 et b 0, 4. ab = a b Pour a < 0, a 2 = a Pour a 0 et b > 0, a a 5. b = b 1. 36 = 3. 18 = 2. 4 9 = 4. 16 27 =