Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-1 Sommaire 1 Fonctions R p R, Dérivées Premières 1 11 Application de classe C 1 sur U 1 12 Différentielle 2 13 Développement limité à l ordre 1 2 14 Gradient, dérivée selon un vecteur 2 15 Algèbre C 1 U,R 3 16 Fonctions composées 3 2 Fonctions R p R de Classe C 2 4 21 Application de classe C 2 sur U 4 22 Théorème de Schwarz 4 23 Formule de Taylor-Young à l ordre 2 5 24 Extremums 5 3 Fonctions R p R de Classe C k 7 31 Fonctions R p R de Classe C k 7 32 Algèbre C k U,R 7 4 Fonctions Vectorielles R R p 7 41 Dérivée d une fonction R R p 7 42 Développement limité 8 43 Dérivée de : x λ x F x 8 44 Dérivée d un produit 8 5 Fonction Vectorielle R n R p, classe C 1 9 51 Fonction de classe C 1 9 52 Différentielle 10 53 Cas où F : R n R n, Jacobien 10 54 Composée de fonctions de classe C 1 10 55 Fonction R n R n, classe C 1 11 6 Compléments 11 61 Les mathématiciens du chapitre 11 62 Avec Maple 11 Dans tout ce chapitre, quand on utilise l expression de classe C k, on suppose à priori que k 1 1 Fonctions R p R, Dérivées Premières Dans cette partie, toutes les fonctions sont supposées définies sur un ouvert U de R p On travaillera toujours sur ce domaine U, sur lequel on a donc une application 11 Application de classe C 1 sur U Définition : f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, on appelle dérivée partielle de f par rapport à la ième variable, au point u = x 1, x 2,, x p : x i x1, x 2,, x p = lim t xi f x1, x 2,, t,, x p f x1, x 2,, x i,, x p t x i si cette limite existe Sinon, on dit que f n admet pas de dérivée partielle par rapport à la ième variable, au point u = x 1, x 2,, x p On parle parfois de dérivée partielle première Quand il n y a que 2 ou 3 variables on note souvent les dérivées partielles, x, y, au lieu de ou même g z x i ρ, g θ Mais, on n oubliera pas, en cas d ambiguïté, qu il s agit des dérivées par rapport à la première, la seconde, ou la ième variable Définition : f est de classe C 1 sur U un ouvert de R p f admet p dérivées partielles continues sur U C est à dire : i {1, 2,, p}, est définie et continue sur U x i
13-2 Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 12 Différentielle d une application de classe C 1 sur U Définition : f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, on appelle différentielle de f en u = x 1,x 2,,x p, l application linéaire notée d fu : R p R dx1, dx 2,, dx p u dx 1 + u dx 2 + + u dx p noté le plus souvent, pour alléger les notations : d f = dx 1 + dx 2 + + dx p Dans le cas de 2 ou 3 variables, on note souvent la différentielle de f en x 0,y 0,z 0 : dx, dy, dz x x 0, y 0, z 0 dx + y x 0, y 0, z 0 dy + z x 0, y 0, z 0 dz ou bien : d f = x dx + y dy + z dz 13 Développement limité à l ordre 1 de f de classe C 1 sur U f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, u = x 1,x 2,,x p U f admet un développement limité à l ordre 1 en u et o du f u + du = f u + d f u du + o du avec lim du 0 du = 0 C est à dire pour 3 variables par exemple : f x + dx, y + dy, z + dz = f x, y, z + x,y,z dx + x,y,z dy + x,y,z dz + o dx, dy, dz x y z Démonstration : On le montre pour 3 variables La démonstration repose sur le théorème des accroissements finis Pour cela, il faut faire varier les variables une à la fois f x + dx, y + dy, z + dz f x, y, z = f x + dx, y + dy, z + dz f x, y + dy, z + dz avec α,β,γ ]0,1[ D où, par continuité des dérivées partielles : + f x, y + dy, z + dz f x, y, z + dz + f x, y, z + dz f x, y, z = x + α dx, y + dy, z + dz x + x, y + β dy, z + dz + x, y, z + γ dz y z f x + dx, y + dy, z + dz f x, y, z = x, y, z dx + o dx, dy, dz x Il ne reste qu à regrouper les o en un seul o dx, dy, dz + x, y, z dy + o 0, dy, dz + x, y, z dz + o 0, 0, dz y z 14 Gradient, dérivée selon un vecteur Définition : f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, u = x 1, x 2,, x p U
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-3 On appelle gradient de f en u, noté Grad u f le vecteur : u u u Ce gradient a une grande importance dans l étude des courbes d équation f x, y = 0 ou des surfaces d équation f x, y, z = 0 dans un repère orthonormal Définition : f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, u = x 1,x 2,,x p U On appelle dérivée de f suivant le vecteur V : Grad u f V = u v 1 + u v 2 + + u v p v 1 v 2 v p en u le produit scalaire 15 Algèbre C 1 U,R Théorème : L ensemble des applications de classe C 1 sur U un ouvert de R p, à valeur réelle, muni de La somme des applications Le produit d une application par une constante a une structure d algèbre commutative Le produit de deux applications Démonstration : On montre que c est une sous-algèbre de C 0 U,R Clairement, C 1 U,R est stable par combinaison linéaire et stable par produit par application des propriétés équivalentes pour les fonctions d une variable, et contient la fonction constante 1 élément neutre du produit 16 Différentielle et dérivées partielles de fonctions composées On écrit le théorème pour une fonction de 3 variables L énoncé pour une fonction de p variables s en déduit facilement x, y, z : R R de classe C 1 sur I f : R 3 R de classe C 1 sur U contenant xi yi zi F est de classe C 1 sur I, et : F : R R définie par t I, Ft = f xt, yt, zt t I, F t = x x t + y y t + z z t df Ou encore, en utilisant la notation différentielle : dt = dx x dt + dy y dt + dz z dt Bien sûr, toutes les dérivées partielles sont prises en xt, yt, zt et les dérivées en t
13-4 Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel Démonstration : On écrit la démonstration pour une fonction de 2 variables seulement! F t + dt F t = f xt + dt, yt + dt f xt, yt = f x t + dx dy dt + o dt, y t + dt + o dt f xt, yt dt dt = dx x dt + o dt + dy dt y dt + o dt dt dx dy + o dt + o dt, dt + o dt dt dt = dx x dt + dy y dt + x o dt + y o dt + o dt = dx x dt + dy y dt + o dt On écrit ce théorème pour la composée de fonctions de plusieurs variables avec 2 et 3 variables Ceci est bien sûr arbitraire, le théorème s applique avec p et q variables f : R 3 R de classe C 1 sur U un ouvert de R 3 { u, v, w : R 2 R de classe C 1 sur V un ouvert de R 2 V R F : x, y V, u x, y, v x, y, w x, y U x, y f u x, y, v x, y, w x, y est de classe C 1 sur V et : F x = u u x + v v x + w w x F y = u u y + v v y + w w y On a aussi changé les notations parce qu il faut pouvoir s adapter! Démonstration : Quand on fixe y, on se retrouve exactement dans les hypothèses du théorème précédent Ce qui donne F F De même, on fixe x pour obtenir x y 2 Fonctions R p R de Classe C 2, Dérivées Secondes 21 Application de classe C 2 sur U Définition : f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, on dit que f est de classe C 2 sur U les p applications,,, sont de classe C 1 sur U L application 2 f est la ème dérivée partielle de la ième dérivée partielle se note i x i Il y a donc à priori p 2 dérivées partielles secondes 22 Théorème de Schwarz On admettra ce théorème important f de classe C 2 sur U i, j {1,2,,p}, 2 f x i = 2 f x i On dit que pour f de classe C 2, les dérivées partielles secondes croisées sont égales
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-5 23 Formule de Taylor-Young à l ordre 2 f de classe C 2 sur U, un ouvert de R p, u U Alors f u + du = f u + + 1 2 u dx 1 + u dx 2 + + u dx p u dx 1 + u dx 2 + + u dx p [2] + o du 2 Avec, [2] qui est un pseudo-carré où, au lieu d avoir des produits de dérivées partielles, on a des composées dx 1 + dx 2 + + [2] dx p = 2 f dx j dx i x 1 i, j n j x i = n 2 f i=1 xi 2 24 Extrémums d une application de classe C 2 sur U dx 2 i + 2 1 i< j n 2 f x i dx j dx i On va d abord chercher une condition nécessaire d existence d un extrémum pour une application de classe C 1 sur U f : R p R, définie sur U, un ouvert de R p, de classe C 1 sur U, u U, u en extrémum local de f Alors, d f u = 0, c est à dire : u = u = = u = 0 Une condition nécessaire pour que f de classe C 1 sur U, admette un extrémum est que toutes les dérivées partielles sont nulles Définition : Un point u de U tel que toutes les dérivées partielles sont nulles est un point critique de f Démonstration : Si on a un extrémum, f u + du f u = A est de signe constant pour du assez petit C est à dire que : A = u dx 1 + u dx 2 + + u dx p + o du est de signe constant Si la partie régulière est non nulle, pour du assez petit, la quantité A donnée est du signe de cette partie régulière Mais en changeant du en du, cette partie régulière est changée en son opposé La quantité A change donc de signe Ce qui prouve que la partie régulière est nulle : u dx 1 + u dx 2 + + u dx p = 0 pour tous dx 1, dx 2,, dx p Ce qui prouve que les x i u sont tous nuls f de classe C 2 sur U, un ouvert de R 2, x 0,y 0 U, un point critique de f On pose : r = 2 f x 0, y 0, s = 2 f x y x 0, y 0, t = 2 f y 2 x 0, y 0 Si s 2 rt < 0 x 0, y 0 est un extrémum minimum pour r > 0, maximum pour r < 0 Si s 2 rt > 0 x 0, y 0 est un col Si s 2 rt = 0 on ne peut pas conclure, il faut chercher le signe de f x, y f x 0, y 0 au voisinage de x 0, y 0 Démonstration : On utilise la formule de Taylor-Young à l ordre 2 On note dx = x x 0 et dy = y y 0 f x, y f x 0, y 0 = x dx + y dy + 1 2 x dx + [2] y dy + o dx 2 + dy 2
13-6 Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel = 1 2 x dx + [2] y dy + o dx 2 + dy 2 = 1 r dx 2 + 2s dx dy + t dy 2 + o dx 2 + dy 2 2 On pose : = 4 s 2 rt Si < 0, r dx 2 + 2s dx dy + t dy 2 ne change strictement pas de signe, donc pour dx, dy assez petit, f x, y f x 0, y 0 ne change pas de signe On a un bien un extrémum Si > 0, r dx 2 + 2s dx dy + t dy 2 change strictement de signe, donc pour dx, dy assez petit, f x, y f x 0, y 0 change de signe On a ici un col Si = 0, tout dépend du signe de o dx 2 + dy 2 lorsque r dx 2 + 2s dx dy + t dy 2 s annule Comme on ne connait pas ce signe, on ne peut pas conclure En pratique, z = f x, y une fonction de classe C 2 sur U un ouvert de R 2 x, y = 0 On cherche les points critiques, qui vérifient : x x, y = 0 y Les extrémums sont à chercher parmi les points critiques On calcule les expressions théoriques de r,s, et t En chaque point critique x 0, y 0, on calcule r = 2 f x 0, y 0 s = 2 f x y x 0, y 0 t = 2 f y 2 x 0, y 0 Si s 2 rt < 0 x 0, y 0 est un extrémum minimum pour r > 0, maximum pour r < 0 Si s 2 rt > 0 x 0, y 0 est un col Si s 2 rt = 0 on ne peut pas conclure, il faut chercher le signe de f x, y f x 0, y 0 selon d autres moyens Exemple : Cherchons sur R 2 les extrémumx de f : x,y x 3 + y 3 On cherche d abord les points critiques x = 3x2 = 0 x = 0, y = 3y2 = 0 y = 0 Il n y a qu un seul point critique 0,0 2 f = 6x = 0 = 2 f r en 0,0, = 0 = 2 f s en 0,0, = 6y = 0 = t en 0,0 x2 x y y2 En 0,0, s 2 rt = 0, le théorème ne permet pas de conclure Mais f x,y f 0,0 = x 3 + y 3 et f x, y f 0,0 = x 3 y 3 exprssion de signe opposé Ainsi f x,y f 0,0 change de signe au voisinage du point critique : 0,0 est un point col On va ici donner deux exemples sous forme de surfaces où 0,0 est un point critique, on a aussi représenté la fonction nulle qui donne un plan C est la figure 1, page ci-contre Les fonction étudiées sont respectivement x 2 + y 2 où r = 2, s = 0, t = 2, s 2 rt = 4 x 2 y 2 où r = 2, s = 0, t = 2, s 2 rt = 4
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-7 x*x+y*y 0 x*x-y*y 0 Point ballon minimum Point col Figure 1 Les deux points critiques 3 Fonctions R p R de Classe C k, Dérivées d ordre supérieur 31 Fonctions R p R de Classe C k sur U un ouvert de R p Définition : f : R p R est de Classe C k sur U un ouvert de R p, avec k 1, f est de classe C 1 et toutes les dérivées partielles sont de classe C k 1 Le théorème de Schwarz appliqué un certain nombre de fois permet de calculer n importe quelle dérivée partielle en dérivant dans n importe quel ordre, dans la limite de k dérivations 32 Algèbre C k U,R C k U,R a une structure d algèbre commutative, sous algèbre de C 1 U,R Démonstration : La démonstration est élémentaire On a clairement la stabilité par combinaison linéaire, la stabilité par produit et la présence dans C k U,R de l application constante 1 41 Dérivée d une fonction R R p, classe C k 4 Fonctions Vectorielles R R p Définition : F : R R p, définie sur I un intervalle de R avec : F x = f 1 x, f 2 x,, f p x qu on notera en ligne ou en colonne selon les cas On dit que F est de classe C k sur I f 1, f 2,, f p sont de classe C k sur I On note d ailleurs, pour x I : F x = On fait de même pour les dérivées d ordre supérieur f 1 x, f 2 x,, f p x ou simplement : F = f 1, f 2,, f p C k I,R p, l ensemble des applications de classe C k définies sur I, à valeur dans R p, muni de la somme de 2 applications et du produit d une application par une constante, est un espace vectoriel sur R
13-8 Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel Démonstration : C est encore une fois clairement un sous espace vectoriel de A k I,R p C k I,R p est bien non vide application nulle et stable par combinaison linéaire Il suffit d appliquer le théorème pour les applications à valeur réelle à chaque coordonnée 42 Développement limité Définition : On dit que F admet un développement limité à l ordre n en x 0 chacune des p coordonnées de F admet un développement limité à l ordre n en x 0 F de classe C k au voisinage de x 0 admet un développement limité d ordre k au voisinage de x 0 De plus, on a F x = F x 0 + x x 0 F x 0 + x x 0 2 F x 0 + + x x 0 k F k x 0 + x x 0 k ε x x 0 1! 2! k! avec ε x x 0 0 quand x x 0 On notera que F, F,, F k et ε sont des fonctions vectorielles Cette formule s appelle encore formule de Taylor-Young à l ordre k Démonstration : F est de classe C k au voisinage de x 0, d où chaque f i est de classe C k au voisinage de x 0 Chaque f i admet donc un dl k au voisinage de x 0 et enfin F admet un dl k au voisinage de x 0 43 Dérivée d une fonction du type : x λ x F x Théorème : Soit λ : I R et F : I R p une fonction scalaire et une fonction vectorielle de classe C k sur I I R p Alors G : est de classe C k sur I x λ x F x De plus, on a la formule de Leibniz : λf k = F 0 = F k Ck i λi F k i i=0 Démonstration : On applique les théorèmes correspondants à chacune des coordonnées avec la convention habituelle λ 0 = λ et : x λ x f j x 44 Dérivée d un produit scalaire, d un produit vectoriel Le principe est simple, un produit scalaire, ou le produit vectoriel dans ce cas, on est en dimension 3 se dérivent comme des produits Théorème : Soit F,G : I R p, deux fonctions vectorielles de classe C k sur I I R Soit s : Alors s est de classe C k sur I x F x G x s x = F x G x + F x G x s k x = k Ck i Fi x G k i x i=0 Démonstration : On vérifie la formule pour s Ensuite, il suffit de procéder par récurrence, comme on l a fait lors de la dé monstration de la formule de Leibniz pour les fonctions à valeur réelle s x = f 1 x g 1 x + f 2 x g 2 x + + f p x g p x s x = f 1 x g 1 x + f 1 x g 1 x + f 2 x g 2 x + f 2 x g 2 x + + f p x g p x + f p x g p x = f 1 x g 1 x + + f p x g p x + f 1 x g 1 x + + f p x g p x = F x G x + F x G x
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-9 Théorème : Soit F,G : I R 3, deux fonctions vectorielles de classe C k sur I I R 3 Soit V : Alors V est de classe C k sur I x F x G x V x = F x G x + F x G x V k x = k Ck i Fi x G k i x i=0 Démonstration : On vérifie la formule pour V, en effectuant le calcul sur chacune des coordonnées, ce qui ne pose aucun problème Ensuite, il suffirait de procéder par récurrence pour obtenir la formule de Leibniz ax αx On pose : F x = bx, et aussi : G x = βx cx γx bxγx cxβx On a donc : Vx = cxαx axγx axβx bxαx b xγx + bxγ x c xβx cxβ x Ce qui donne : V x = c xαx + cxα x a xγx axγ x a xβx + axβ x b xαx bxα x b xγx c xβx bxγ x cxβ x = c xαx a xγx + cxα x axγ x = F x G x + F x G x a xβx b xαx axβ x bxα x En résumé, dans tous les cas, un produit se dérive comme un produit 5 Fonction Vectorielle R n R p, classe C 1 51 Fonction de classe C 1 Définition : Soit F : R n R p, définie sur U un ouvert de R n On dit que F est de classe C 1 sur U i {1, 2,, p}, f i : R n R les applications coordonnées de F, sont de classe C 1 sur U
13-10 Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel j {1, 2,, n} : F = 1 2 p est aussi une fonction R n R p 52 Différentielle d une fonction de classe C 1, matrice jacobienne Définition : Soit F : R n R p, de classe C 1 sur U un ouvert de R n La différentielle de F en u, notée df u, est l application linéaire : R n R p df u : dx 1, dx 2,, dx n F dx 1 + F dx 2 + + F dx n x n Coordonnée par coordonnée, on a la différentielle de chaque f i en u Définition : La matrice jacobienne de F en u est la matrice dans la base canonique de la différentielle de F en u Toutes les dérivées partielles étant prises en u, la matrice jacobienne de F en u est : 1 1 1 x n 2 2 2 J F u = x n p p p x n 53 Cas où F : R n R n, Jacobien Définition : en u Dans le cas où n = p, le déterminant de la matrice jacobienne de F en u est appelé jacobien de F 54 Composée de fonctions de classe C 1 F : R n R m de classe C 1 sur U un ouvert de R n G : R m R p de classe C 1 sur V un ouvert de R p G F est de classe C 1 sur U et, F U V J G F = J G J F J G F u = J G F u J F u Démonstration : On appelle f 1,, f m et g 1,, g p les composantes de F et de G On note u = x 1,, x n et : F u = y 1,, y m = f 1 u,, f m u = f 1 x 1,, x n,, f m x 1,, x n g 1 y 1,, y m g 1 f 1 x 1,, x n,, f m x 1,, x n G F u = = = g p y 1,, y m g p f 1 x 1,, x n,, f m x 1,,x n h 1 x 1,, x n h p x 1,, x n
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-11 Ces composantes sont clairement de classe C 1 Pour alléger les notations, on ne précise plus en quels points on prend ces dérivées partielles En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on a : h i = g i 1 + g i 2 + + g i m gi =, g i,, g i y 1 y 2 y m y 1 y 2 y m On reconnait bien sûr le produit de la ième ligne de la matrice jacobienne de G par la jème colonne de la matrice jacobienne de F Ce qui est bien l élément ième ligne, jème colonne de la matrice jacobienne de G F 1 2 m 55 Fonction R n R n, classe C 1 F : R n R n de classe C 1 sur U un ouvert de R n F : U V bijective F 1 : V U de classe C 1 sur V u U, et v = F u J F 1 v = J F u 1 La matrice jacobienne de F 1 en v = F u est l inverse de la matrice jacobienne de F en u Démonstration : On a : F 1 F = Id La matrice jacobienne de l identité en tout point est I n D où : J F 1 v J F u = I n ce qui donne le résultat Ceci prouve d ailleurs au passage que, dans ces conditions, la matrice jacobienne est inversible Corollaire : Dans les mêmes conditions, le jacobien de F 1 en v = F u est l inverse du jacobien de F en u Si on a X, Y = F x, y, le jacobien de F en x, y se note 61 Les mathématiciens du chapitre D X, Y D x, y 6 Compléments Schwarz Hermann Amandus 1843-1920 Il est l auteur du théorème qui porte son nom, et aussi du théorème de Cauchy-Schwarz Ses travaux portent aussi sur les équations de Laplace, les fonctions harmoniques et la théorie du potentiel 62 Avec Maple Comme il y a des vecteurs et des matrices, on a besoin du package linalg C est jacobian qui permet de calculer une matrice jacobienne Si elle est carrée, son déterminant est le jacobien C est grad qui permet de calculer un gradient de fonction de plusieurs variables Celui-ci possède des options pour le calcul direct en coordonnées sphérique ou cylindriques Je vous renvoie à l aide Maple