re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 GEOMETRIE DANS L ESPACE Table des matières I Volumes de l espace I. Cylindres............................................. I. Cônes............................................... I.3 Spère............................................... II Calcul vectoriel de base 3 II. Repère de l espace........................................ 3 II. Calcul vectoriel.......................................... 4 II.3 Colinéarité............................................ 4 III Barycentre, produit scalaire et produit vectoriel 5 III. Barycentre............................................ 5 III. Produit scalaire.......................................... 5 III.3 Produit vectoriel......................................... 6 Tout téorème de Géométrie plane s applique dans n importe quel plan de l espace. I Volumes de l espace I. Cylindres Cylindre à base polygonale : prisme Cylindre à base circulaire : r Volume du prisme = aire de la base auteur Volume du cylindre = π r --
re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 Prismes particiliers : Un parallélépipède rectangle a toutes ses faces rectangles. Un cube a toutes ses faces carrées. Volume = longueur largeur auteur Volume = côté côté côté I. Cônes Cône à base polygonale : pyramide Cône à base circulaire : r Volume de la pyramide = aire de la base auteur 3 Volume du cône = π r 3 I.3 Spère Une spère de centre O et de rayon r est l ensemble de tous les points de l espace situés à la distance r du point O Surface de la spère = 4 π r O r Volume de la spère = 4 3 π r3 --
re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 II Calcul vectoriel de base II. Repère de l espace Définition On appelle repère de l espace tout quadruplet (O; ı ; j ; k ) constitué d un point O de l espace et de trois vecteurs non coplanaires (Ox) est l axe des abscisses, (Oy) l axe des ordonnées et (Oz) l axe des côtes Lorsque les droites (Ox), (Oy) et (Oz) sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit ortogonal Si de plus ı = ı = k =, le repère est dit ortonormal Soit (O; ı ; j ; k ) un repère de l espace Téorème Pour tout point M de l espace il existe un unique triplet (x;y;z) tels que OM = x i + y j + z k x On dit alors que le point M a pour coordonnées (x;y;z) et l on note M y z Exemple Donner les coordonnées des points du parallélépipède rectangle dans le repère (O; ı ; j ; k ) On prendra i = OP, j = OS et k = OR V U R Q k S j T O i P O P Q R S T U V -3-
re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 II. Calcul vectoriel Téorème On considère deux points de l espace : A AB a pour coordonnées x A y A z A x B x A y B y A z B z A et B x B y B z B le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées x B + x A y B + y A z B + z A si le repère est ortonormal, AB = AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ) Exemple Dans le repère (O; ı ; j ; k ) de l espace, on a A 5 3, B 6 et C 7 AB 5 6 + 3 = 6 9 AC 7 5 + 3 = 5 3 3 ( 6) AB 3 9 = 8 7 AB + AC 6 + 9 + 5 = 4 4 3 I = m[ab] = 3 +5 6 3 + AB = AB = ( 6) + 9 + = 7 II.3 Colinéarité Définition Dire que deux vecteurs u et v sont colinéaires signifie que les vecteurs ont même direction Téorème 3 Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ tel que u = λ v Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires Exemple 3 Les vecteurs u 3 et v Les vecteurs u 3 et v 6 9 sont colinéaires car v = 3 u 3 4 6 ne sont pas colinéaires car = 4 ( 3) = 6-4-
re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 III Barycentre, produit scalaire et produit vectoriel III. Barycentre Tout comme dans le plan, le barycentre est défini par : Définition 3 On appelle barycentre de deux points pondérés (A,α) et (B,β) avec α + β le point G tel que : α GA + β GB = Exemple 4 Soient les points A 3 et B 4. Calculer les coordonnées de G, barycentre de (A, ) et (B, ) Le point G vérifie : GA + GB = Grâce à la relation de Casles, on obtient : ( GO + OA) + ( GO + OB) = GO = OB + OA OG = OA + OB Donc : G + 4 3 + = 7 + ( ) III. Produit scalaire Définition 4 On considère les deux vecteurs u x y et v z x y, le produit scalaire de u et de v est le réel : z u. v = xx + yy + zz Téorème 4 Soient deux vecteurs u et v non nuls et trois points O, A et B tels que u = OA et v = OB Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (OA) et (OB) sont perpendiculaires u v = u et v sont ortogonaux : on notera u v Exemple 5 Soient les vecteurs u 3 et v 4, alors 7 u. v = 4 + 3 + 7 = u et v sont donc ortogonaux -5-
re STI C8 : Géométrie dans l espace 6/7 III.3 Produit vectoriel Orienter l espace, c est coisir un trièdre de référence Oxyz Tous les trièdres du même type que Oxyz sont dits d orientatin directe, les autres sont indirects Définition 5 Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est le vecteur noté u v tel que : Si u et v sont colinéaires, u v = Si u et v ne sont pas colinéaires, u v est ortogonal à u et à v le sens de u v est tel que le trièdre ( u ; v ; u v ) soit de sens direct u v = u v sin( u ; v ) Propriété Soit les deux vecteurs u x y et v z x y, le produit vectoriel de u et de v a pour coordonnées : z yz zy u v zx xz xy yx Exemple 6 Calculer le produit vectoriel de u 3 et v 4 7 u v 3 ( 7) 4 ( 7) = 3 4-6-