Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Ce que dit le programme : Défiitio Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I de R et a = O dit que f est cotiue e a si lim f x f a O dit que f est cotiue sur I si elle est cotiue e tout poit de Graphiquemet, cela sigifie que sa représetatio graphique e présete aucu poit de rupture : o peut la tracer sas lever le crayo Exemples Propriété: Les foctios usuelles sot cotiues sur les itervalles où elles sot défiies Démostratio: admis Attetio : La foctio iverse est pas cotiue sur * *, mais sur tout itervalle coteu das Propriété : Ue foctio dérivable sur u itervalle est aussi cotiue sur cet itervalle Démostratio : Notos I l'itervalle O se doe x I et h 0 tel x + h h 0 ( + f x h f x f ( x + h f ( x = h h f ( x + h f ( x Comme f est dérivable sur I, lim = f '( x h 0 h O e déduit que lim f x + h f x = f ' x 0 = 0 La foctio f est doc cotiue e tout x
Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Attetio : La réciproque est fausse (foctio racie 3 Cotre-exemple O cosidère la foctio Partie Etière, otée E défiie sur R, à valeurs das Z Elle fait correspodre à x R le plus grad etier relatif iférieur ou égal à x, oté E x - 0 Par coséquet, E ( x = x < + Exemples : E ( 4 = 4, E ( 6, = 6, E ( = et E( 4,3 = 5 La foctio partie etière est cotiue sur tout itervalle de la forme [, + [ mais e aucu etier 4 Opératios : Si u et v sot cotiues sur u itervalle I de R, alors les foctios u + v, u v et u ( N sot cotiues sur u alors la foctio est cotiue où v 0 v Si la foctio v est cotiue e a et si la foctio u est cotiue e v(a alors la composée u v est cotiue e a 5 Théorème des Valeurs Itermédiaires : Théorème : [ ] Soit f ue foctio défiie et cotiue sur u itervalle ; de R Pour tout réel k compris etre f a et f b, il existe au mois u réel c a, b tel que f c = k a f(b k f(a b Théorème : Extesio à R Soit f ue foctio défiie et cotiue sur R Si f admet des limites e + et e, alors pour tout réel k strictemet compris etre lim f x et lim f x, x il existe au mois u réel c R tel que f c = k Démostratio : Supposos pour simplifier que lim < lim Si lim f x = +, il existe u réel b tel que f b > k x Si lim f x = α, comme k α il existe u réel b tel que f b > k f x f x De la même faço, o motrerait l'existece d'u réel a tel que f a > k O applique alors le théorème précédet pour obteir le résultat Utilité : Ce théorème permet de prouver l existece d ue (ou plusieurs solutios d ue équatio Il e permet pas de répodre à ue questio du type : «Résoudre f ( x =» Mais à ue questio du type : «Prouver que l équatio f ( x = admet solutio das [- ;0]»
Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page 3 sur 5 Applicatio : Localiser ue solutio «o calculable» pour évetuellemet e détermier ue valeur approchée Il existe diverses méthodes d approximatio d ue solutio : par balayage (tableur ou par dichotomie Utilisatio de la calculatrice Théorème fodametal e l'aalyse : Tout polyôme de degré impair admet au mois ue racie réelle Démostratio (ROC Existece TVI e utilisat l existece d ue valeur positive et d ue valeur égative, les limites état ifiies et de siges cotraires Corollaire: Si f est ue foctio est cotiue strictemet mootoe sur u itervalle,, alors pour tout réel k compris etre f a et f b, l'équatio f x = k admet ue uique solutio das l'itervalle, Démostratio (ROC Existece : TVI Uicité : mootoie Théorème de la bijectio : Si f est ue foctio cotiue strictemet mootoe sur u itervalle I de R, alors elle réalise ue bijectio de I das f I Exemple : f ( x = x 3x sur [ ;] 3 Questios : Dresser le tableau de variatios de la foctio f sur [ ;] Prouver que f ( x = 0 admet exactemet ue solutio das [-,] 3 Doez ue valeur approchée de cette solutio à 0 près Réposes : f '( x = 3x 3 = 3( x = 3( x ( x + x f '( x + 0 0 + f ( x 3 3 Rédactio type du TVI : La foctio f est dérivable et strictemet décroissate sur [- ;] Comme la valeur 0 est bie comprise etre f ( = et f ( = 3, d'après le TVI, il existe u uique x0 [ ;] tel que f ( x0 = 0 3 Avec la calculatrice o obtiet x0 03
Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page 4 sur 5 ANNEXE : Démostratio du TVI avec les suites adjacetes ---------------------------------------------------------- ( a ( b Défiissos deux suites et : O pose a = a et b = b O a doc a < b et k est compris etre f a et f b 0 0 0 0 0 0 a b et k est compris etre f a et f b Supposos que les termes a et b soiet costruits tels que < Défiissos alors par récurrece les termes a et b + + a + b a + b Comme [ a; b ] o peut calculer u = f Si a + b k u, o pose a+ = et b + = b Si a + b k < u, o pose a+ = a et b + = Das tous les cas, a < b et k est compris etre f a et f b ( a ( a ( b + + + + Par costructio, les deux suites et sot adjacetes E effet, La suite ( b a est croissate, la suite ( b est décroissate b a De plus comme das les deux cas b + a+ = = ( b a, la suite est ue suite géométrique de raiso, elle coverge doc vers 0 Les deux suites a et b sot doc covergetes Notos c leur limite commue Comme la foctio f est cotiue et que k est compris etre f a et f b o obtiet doc, e passat à la limite que k = f c NB: O peut supposer que f est croissate pour simplifier " k est compris etre f a et f b " par " f a k f b " C'est plus facile pour le passage à la limite
Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page 5 sur 5 ANNEXE démostratio de la dérivée de la composée ------------------------------------------------------------------ Utilise la cotiuité Théorème: Soiet I, J et K trois itervalles de R,et deux foctios dérivables u : I J et f : J K O peut alors défiir la composée f u de I das K par x f u x ( ( f u ( x = u ( x f ( u( x Cette composée est alors dérivable sur I et sa dérivée est défiie par: ' ' ' Démostratio: A idiquer au chapitre cotiuité, mais pas exigible Soit a O suppose que la foctio u 'est pas costate au voisiage de a Das le cas cotraire, la formule est vérifiée car la composée est costate aussi x a x a u ( x u ( a f ( u( x f ( u( a f ( u( x f ( u( a Pour voisi de,, o peut doc supposer que et : f u x f u a u x u a = = x a x a u x u a x a Comme u est dérivable e a, elle est aussi cotiue e a et doc lim u x = a X u( a ( g ( u( a g ( u( a X u ( a g X Comme g est dérivable e u a, o a lim = g ' u a g u x O e déduit que lim = g '( u ( a x a u( x u( a Comme lim = u '( a, o obtiet le résultat x a (