DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES Cours Terminale S 1. Divisibilité dans Z 1) Multiples et diviseurs d un entier relatif a) Définition Définition 1 : Soient a et b deux entiers. On dit que a divise b si, et seulement s il existe un entier k tel que b = ka. On dit aussi que a est un diviseur de b. On dit encore que b est un multiple de a. a divise b s écrit a \ b. b) Exemple 6 divise 42 car 42 = 7 6 avec 7 entier ; 6 est un diviseur de 42, et 42 est un multiple de 6. c) Remarques La définition ci-dessus conduit à écrire, lorsque a et b sont non nuls, les deux équivalences suivantes : «a est multiple de b» équivaut à «b est diviseur de a» équivaut à «il existe q entier tel que a = bq». 2) Propriétés Propriétés 1 : 1 divise a pour tout entier a. a divise a pour tout entier a. Si a divise b et b divise c, alors a divise c ; on dit que la relation de divisibilité est transitive. On peut aussi énocer : S i b est un multiple de a et si c est un multiple de b, alors c est un multiple de a. Si a divise b et m est entier, alors a divise mb. Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c et plus généralement a divise mb + nc, où m et n sont des entiers quelconques. Démonstrations : 1 divise a car a = a 1. a divise a car a = a 1. Si a divise b et b divise c, alors il existe des entiers k et k tels que b = ka et c = k b. On en déduit c = k (ka) = (k k)a. Comme k k est un entier en tant que produit de deux entiers, on en déduit que a divise c. Si a divise b, alors il existe un entier k tel que b = ka. Alors, mb = mka = (mk)a, soit a divise mb, car mk est un entier. Si a divise b et a divise c, il existe des entiers k et k tels que b = ka et c = k a. Donc mb + nc = mka + nk a = (mk + nk )a. Le nombre mk + nk est un entier comme somme de produit d entiers, donc a divise mb + nc. 3) Application : résolution d une équation diophantienne Déterminer les entiers x et y tels que x 2 y 2 = 9. On peut d abord remarquer que si, x et y sont solutions alors x et y sont aussi solutions. On peut donc rechercher uniquement les naturels x et y tels que x 2 y 2 = 9. On sait que x 2 y 2 = (x y)(x + y). Ainsi, x y et x + y sont des diviseurs de 9. 1

Or l ensemble des diviseurs de 9 est : {-9 ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 9}. Comme x 2 y 2 est positif, x > y et donc x y et x + y sont strictement positifs, et x y x + y. D où : Si x y = 1, alors x + y = 9, et par addition, 2x = 10, soit x = 5 et y = 4 ; Si x y = 3, alors x + y = 3, soit 2x = 6, d où : x = 3 et y = 0. En tenant compte de la remarque initiale, il y a donc six couples de solutions : (5 ; 4) ; (-5 ; -4) ; (-5 ; 4) ; (5 ; -4) ; (3 ; 0) et (-3 ; 0). 2. Division euclidienne des entiers On étudie dans ce paragraphe de façon approfondie la division entre deux nombres entiers de notre école primaire. 1) Théorème Théorème 1 : Soit a un entier naturel non nul, il existe un unique entier q et un unique entier r tels que a = bq + r, avec o r < b. Démonstration : Existence On considère les multiples de b :, - kb, - (k - 1)b,, - 2b, - b, 0, b, 2b,, kb, (k + 1)b, avec k entier naturel non nul. Si a un multiple de b dans Z, a est un élément de la liste ci-dessus et il existe un entier relatif q tel que : a = bq (1). Si a n est pas un multiple de b dans Z, il existe des multiples de b inférieurs à a et d autres supérieurs à a. Soit bq le multiple de b immédiatement inférieur à a, on peut écrire : bq < a < b(q + 1) (2). On réunit les cas (1) et (2) en un seul par la double inégalité : bq a < b(q + 1). La double inégalité : bq a < b(q + 1) équivaut à 0 a bq < b. Posons r = a bq, on obtient a = b.q + r avec 0 r< b. Unicité Démontrons que l écriture obtenue est unique. Supposons qu il existe q et r d une part, q et r d autre part tels que : a = bq + r (3) avec 0 r< b et a = b q + r (4) avec 0 r' < b. Supposons de plus, par exemple, qur r > r. Des relations (3) et (4), on déduit que r r = b.(q q) (5). La relation (5) et r > r signifie que r r est un multiple non nul de b. Or, c est impossible puisque 0 r< r' < b ; par suite, r r est nécessairement nul donc r = r et q = q. 2) Définition Définition 2 : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de a par b, c est déterminer q et r tels que : a = b.q + r avec 0 r< b Les entiers a, b, q et r sont appelés respectivement dividende, diviseur, quotient et reste de la division euclidienne. 3) Exemples 65 22< 1473< 65 23. On a : 1473 = 65 22+ 43. 65 ( 23) < 1473< 65 ( 22). On a : 1473 = 65 ( 23) + 22. 4) Remarques Si 0 a< b, le quotient est nul et le reste est égal à a. Si le reste est nul, le nombre a est multiple de b et q s appelle alors quotient exact de a par b. 2

5) Propriétés Propriétés 2 : b divise a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul. On peut étendre le théorème au cas où a est un entier et b entier non nul : il existe un unique entier q et un unique entier r tels que : a = bq + r, avec 0 r < b. Exemple : 19 = (-5) (-3) + 4, avec 0 4 < 5, donc la division euclidienne de 19 par (-5) a pour quotient -3 et pour reste 4. 6) Applications a) Application 1 Le reste de la division euclidienne de 557 par la naturel b est 89. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient. On a 557 = bq + 89, avec b 89. 468 D où bq = 468. Et ainsi q <, soit q 5. 89 Or 468 = 2 2 3 2 13. ainsi, q peut valoir 1, 2, 3 ou 4. Les valeurs corrspondantes de b sont 468, 234, 156 et 117. b) Application 2 Montrer que tout entier n non divisible par 5 a un carré de la forme : 5p + 1 ou 5p 1 (avec p entier). Puisque n n est pas divisible par 5, le reste de sa division euclidienne par 5 est 1, 2, 3 ou 4. On opère donc en distinguant quatre cas distincts : c est un raisonnement par disjonction des cas. D où : Si n = 5k + 1 (k є Z), alors n 2 = 25k 2 +10k + 1. Soit n 2 = 5(5k 2 + 2k) + 1 = 5p + 1, en posant p = 5k 2 + 2k ; p est un entier comme somme de produit de deux entiers. Si n = 5k + 2 (k є Z), alors n 2 = 5(5k 2 + 4k + 1) 1 = 5p 1, en posant p = 5k 2 + 4k + 1. Si n = 5k + 3 (k є Z), alors n 2 = 5(5k 2 + 6k + 2) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k 2 + 6k + 2. Si n = 5k + 4 (k є Z), alors n 2 = 5(5k 2 + 8k + 3) - 1 = 5p - 1, en posant p = 5k 2 + 8k + 3. Dans tous les cas, le carré de n est de la forme 5p + 1 ou 5p 1. 4. Congruences dans Z 1) Définition Définition 4 : Soit n un naturel non nul. On dit que a et b sont congrus modulo n ssi a et b ont même reste dans la division euclidienne par n. On note : a b (n), ou bien a b (modulo n). On dit aussi que a est congru à b modulo n. On en déduit : a est congru à r modulo n, avec 0 r < n ssi r est le reste de la division euclidienne de a par n. Exemple : 25 14 (11), car le reste de la division de 25 et 14 par 11 est le même : 3. De même : 25 3 (11). 2) Théorème Théorème 3 : Soit a et b deux entiers et n un naturel non nul ; a et b ont même reste dans la division euclidienne par n ssi a b est divisible par n. 3

Démonstration : Supposons que a et b aient le même reste r dans la division euclidienne par n. Donc : a = nq + r et b = nq + r, avec q et q entiers et 0 r < n. Alors : a b = n(q q ). Comme q q est un entier, on en déduit que a b est divisible par n. Réciproquement : supposons à présent que a b est divisible par n : il existe k entier tel que a b = kn. Soit r le reste de la division euclidienne de b par n. On a donc l égalité : b = nq + r, avec q entier et 0 r < n. Alors : a = b + kn = nq + r + kn = (q + k)n + r, avec 0 r < n. Puisque q + k est un entier, ceci prouve que la division euclidienne de a par n donne pour quotient q + k et pour reste r. D où a et b ont bien même reste dans la division euclidienne par n. On peut écrire également : a et b sont congrus modulo n ssi a b est divisible par n. 3) Propriétés Propriétés 6 : (1) a est divisible par n ssi a 0 (n). (2) n 0 (n). (3) a a (n). (4) Si a b (n) et b c (n), alors a c (n) ; on dit que la relation de congruence modulo n est transitive. (5) Si a b (n) et a b (n), alors a + a b + b (n). (6) Si a b (n) et a b (n), alors aa bb (n). (7) Si a b (n) et p є N *, alors a p b p (n). Démonstrations : (2) n a pour reste 0 dans la division euclidienne par n, donc n 0 (n). (3) a et a ont bien le même reste dans la division euclidienne par n. (4) Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n et b et c aussi, alors a et c ont même reste dans la division euclidienne par n. (5) Si a b (n) et a b (n), alors il existe des entiers q et q tels que a b = qn et a b = q n. Par addition, (a + a ) (b + b ) = qn + q n = (q + q )n. Ainsi, (a +a ) (b + b ) est divisible par n, ce qui prouve que a + a et b + b sont congrus modulo n. (6) Si a b (n) et a b (n), alors il existe des entiers q et q tels que a b = qn et a b = q n. Par produit, aa = (b + qn)(b + q n). D où aa bb = (bq + b q + qq n)n ; comme bq + b q + qq n est un entier, aa bb est divisible par n, ce qui montre que aa et bb sont congrus modulo n. 4) Applications a) Application 1 Déterminer l ensemble E des entiers x tels que x + 5 3 (8). Déterminer l ensemble F des entiers x tels que 3x 5 (8). On se sert de la compatibilité de la congruence avec l addition. x + 5 3 (8) x + 5 5 3 5 (8) x -2 (8) x 6 (8), car 2 est congru à 6 modulo 8. 4

D où E est l ensemble des entiers de la forme 8k + 6, avec k entier. On fait un tableau de valeurs prises par 3x quand x est égal aux 8 restes possibles modulo 8 : x 0 1 2 3 4 5 6 7 3x 0 3 6 1 4 7 2 5 On a : 3x 5 (8) x 7 (8). Donc F est l ensemble des entiers de la forme 8k + 7, avec k entier. b) Application 2 Déterminer le reste de la division euclidienne par 3 de 2 n, n étant un naturel. En déduire le reste de la division par 3 de 2 14607. 2p p Si n = 2p (p naturel), alors 2 = 4. Or 4 1 (3), d où 4 p 1 (3). 2p+ 1 p Si n = 2p + 1, alors 2 = 4 2. D où 2 2p + 1 1 2 (3) 2 (3). Ainsi, le reste de la division euclidienne de 2 n par 3 est 1 si n est pair, et 2 si n est impair. 14 607 est impair, donc le reste de la division par 3 de 2 14607 est 2. c) Application 3 Déterminer les entiers n tels que l entier N = n 2 3n + 6 soit divisible par 5. n ne peut être congru qu à 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5. Si n 0 (5), alors N 1 (5). Si n 1 (5), alors N 4 6 + 6 (5) 4 (5). Si n 2 (5), alors N 4 6 + 6 (5) 4 (5). Si n 3 (5), alors N 9 9 + 6 (5) 1 (5). Si n 4 (5), alors N 16 12 + 6 (5) 10 (5). D où N 0 (5). Ainsi, N est divisible par 5 pour les entiers n tels que n est congru à 4 modulo 5, c est-à-dire pour les entiers de la forme 5k + 4, avec k є Z. 5. Critères de divisibilité Le calcul des congruences permet d obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les principaux. 1) Propriétés Propriétés 7 : 1. Un entier est divisible par 10 s il se termine par 0. 2. Un entier est divisible par 2 s il se termine par un chiffre pair. 3. Un entier est divisible par 5 s il se termine par 0 ou 5. 4. Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. 5. Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9. 6. Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est divisible par 4. Démonstrations : Soit N= anan 1...a 2a1. n Cela signifie que N s écrit de la forme a n 10 +... + a2 10 + a1 10+, les coefficients a i étant des entiers compris entre 0 et 9 (a n non nul). 2 5

prop. 1 : 10 0 (10), d où 10 p 0 (10) ; donc N a 0 (10). N est divisible par 10 ssi a 0 est divisible par 10, c est-à-dire a 0 est nul. prop. 2 : 10 0 (2), d où 10 p 0 (2) ; donc N a 0 (2). N est divisible par 2 ssi a 0 est divisible par 2, c est-à-dire pour a 0 égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, car 0 a 0 9. prop. 3 : 10 0 (5), d où 10 p 0 (5) ; donc N a 0 (5). N est divisible par 5 ssi a 0 est divisible par 5, c est-à-dire pour a 0 égal à 0 ou 5, car 0 a 0 9. prop. 4 : 10 1 (3), d où 10 p 1 (3) ; donc N a (3). Ce qui montre le résultat annoncé, car a est bien la somme des chiffres de N. prop. 5 : 10 1 (9), d où 10 p 1 (9) ; donc N a (9). Ce qui montre le résultat annoncé, car a est bien la somme des chiffres de N. prop. 6 : 10 2 (4), d où 10 p 0 (4) pour p 2 ; donc N 10a 1 + a 0 (4). Or, 10a 1 + a 0 n est autre que a 1 a 0, donc N est divisible par 4 ssi a 1 a 0 est divisible par 4. 2) Applications a) Application 1 Déterminer les naturels a et b tels que le nombre N= 6a9b soit divisible par 45. N doit être divisible par 5, donc b = 0 ou b = 5. N doit être aussi divisible par 9, donc la somme de ses chiffres doit être divisible par 9, c està-dire 15 + a + b est divisible par 9. Si b = 0, 15 + a + b = 15 + a, et 15 + a est divisible par 9 ssi 15 + a = 18, soit a = 3. En effet, 0 a 9, d où 15 15 + a 24. Si b = 5, 15 + a + b = 20 + a, et 20 + a est divisible par 9 ssi 20 + a = 27, soit a = 7. En effet, 0 a 9, d où 20 20 + a 29. Ainsi, si le problème a des solutions, ces solutions ne peuvent être que les couples (3 ; 0) et (7 ; 5). Pour a = 3 et b = 0, N = 6 390 et on vérifie que 6 390 est bien divisible par 45. Pour a = 7 et b = 5, N = 6 795 et on vérifie que 6 795 est bien divisible par 45. Le nombre N est soit égal à 6 390, soit à 6 795. On verra dans le chapitre suivant une propriété qui nous évitera de faire cette vérification. b) Application 2 En utilisant la congruence 10-1 (11), déterminer un critère de divisibilité par 11. L appliquer aux nombres 25 418 792 et 851 047 932 152. Montrer que, pour tout naturel n, le nombre 25 418 792 3n 5 n est divisible par 11. Soit N= anan 1...a 2a1a 0. Comme 10-1 (11), on en déduit : N ( 1) an+... + a2 (11). On en déduit un critère de divisibilité par 11 : N est divisible par 11 ssi la somme alternée a + a a... est divisible par 11. 1 2 3+ n Pour 25 418 792 : 2 9 + 7 8 + 1 4 + 5 2 = - 8. Or -8 n est pas divisible par 11 ; donc 25 418 792 n est pas divisible par 11. Pour 851 047 932 152 : 2 5 + 1 2 + 3 9 + 7 4 + 0 1 + 5 8 = -11, qui est divisible par 11 ; donc 851 047 932 152 est divisible par 11. D après la question précédente, 25 418 792-8 (11). Or -8 3 (11), d où 6

25 418 792 3 (11). Alors 25 418 792 3n 3 3n (11). Or 3 3n = 27 n et 27 5 (11), d où 25 418 792 3n 5 n (11). Donc 25 418 792 3n 5 n 0 (11). Ce qui montre que cet entier est divisible par 11 quel que soit le naturel n. 7