VIBRATIONS NON LINÉAIRES

VIBRATIONS NON LINÉAIRES MASTER (MS) 2 SC MODÉLISATION ET SIMULATION EN MÉCANIQUE DES STRUCTURES ET DES SYSTÈMES COUPLÉS Cyril Touzé IMSIA Institut des Sciences Mécaniques et Applications industrielles ENSTA-Paristech - CNRS- EDF - CEA cours 7

PLAN DU COURS NOTION DE STABILITÉ - BIFURCATIONS DES CYCLES LIMITES AU CHAOS TEMPOREL DU CHAOS TEMPOREL À LA TURBULENCE D ONDES

SYSTÈMES DYNAMIQUES Théorie des systèmes dynamiques : problèmes d évolution Ẏ = F(Y, λ, t), avec : Y E : espace des phases (dimension n, souvent R n ). F : champ de vecteur (non linéaire). λ : vecteur de paramètres (dimension p)

SYSTÈMES DYNAMIQUES Théorie des systèmes dynamiques : problèmes d évolution Ẏ = F(Y, λ, t), avec : Y E : espace des phases (dimension n, souvent R n ). F : champ de vecteur (non linéaire). λ : vecteur de paramètres (dimension p) Système autonome si F ne dépend pas explicitement du temps: Ẏ = F λ (Y).

POINTS FIXES ET STABILITÉ Étude d un système dynamique : prédire l ensemble des trajectoires possibles du système (problèmes aux conditions initiales). Première étape : connaître l ensemble des points fixes (états permanents) du système! Y 0 points fixes ssi F (Y 0 ) = 0.

POINTS FIXES ET STABILITÉ Étude d un système dynamique : prédire l ensemble des trajectoires possibles du système (problèmes aux conditions initiales). Première étape : connaître l ensemble des points fixes (états permanents) du système! Y 0 points fixes ssi F (Y 0 ) = 0. Deuxième étape : déterminer la stabilité des points fixes. Stabilité : soit une petite perturbation autour du point fixe: Alors Y(t) = Y 0 + Y (t) Ẏ = Y 0 + Ẏ = F(Y 0 + Y ) [ ] F = F(Y 0 ) + Y + O(Y 2 ), Y Y 0

POINTS FIXES ET STABILITÉ Étude d un système dynamique : prédire l ensemble des trajectoires possibles du système (problèmes aux conditions initiales). Première étape : connaître l ensemble des points fixes (états permanents) du système! Y 0 points fixes ssi F (Y 0 ) = 0. Deuxième étape : déterminer la stabilité des points fixes. Stabilité : soit une petite perturbation autour du point fixe: Alors Y(t) = Y 0 + Y (t) Ẏ = Y 0 + Ẏ = F(Y 0 + Y ) = F(Y 0 ) + [ F Y ] Y 0 Y + O(Y 2 ),

POINTS FIXES ET STABILITÉ Étude d un système dynamique : prédire l ensemble des trajectoires possibles du système (problèmes aux conditions initiales). Première étape : connaître l ensemble des points fixes (états permanents) du système! Y 0 points fixes ssi F (Y 0 ) = 0. Deuxième étape : déterminer la stabilité des points fixes. Stabilité : soit une petite perturbation autour du point fixe: Alors Y(t) = Y 0 + Y (t) Ẏ = Y 0 + Ẏ = F(Y 0 + Y ) = F(Y 0 ) + [ F Y ] Y 0 Y + O(Y 2 ), Soit finalement Ẏ = [ ] F Y + O(Y 2 ), Y Y 0

POINTS FIXES ET STABILITÉ L évolution de la perturbation est gouvernée au premier ordre par: dy [ ] F = LY, avec L =. dt Y Y 0 Équation linéaire s intègre en exponentielle de matrice : On note les valeurs propres de L: Y (t) = Y 0 elt s m = σ m ± iω m, m = 1...n Dans la direction m, devenir de la perturbation contrôlé par: e σmt (cos ω mt + i sin ω mt) la partie réelle σ m indique la stabilité.

STABILITÉ LOCALE Stabilité locale d un point fixe: σ m < 0, la perturbation décroît, la direction est stable, σ m > 0, la perturbation croît, la direction est instable, σ m = 0, la direction est neutre ou marginale. X 0 est instable dès qu il existe une valeur propre à partie réelle positive. directions stables ω directions instables σ direction neutre

THÉORÈME DE HARTMAN-GROBMAN Soit Ẏ = F(Y) un système dynamique sur E = R n, et Y 0 un point fixe : F(Y) = 0 Définition : On dit qu un point fixe est hyperbolique (ou non dégénéré) s il ne possède aucune valeur propre à partie réelle nulle. Théorème: Si Y 0 est un point fixe hyperbolique, alors il existe un voisinage U de Y 0 et un homéomorphisme 1 h : U R n associant localement les orbites du flot non linéaire associé à F à celle du flot linéaire définie par dy = LY dt, avec [ ] L = F Y Y 0. U h 1 Rappel : homéomorphisme : application bijective continue dont la bijection réciproque est aussi continue.

DYNAMIQUE LINÉAIRE EN DIMENSION 2 Système dynamique linéaire en dimension 2: Ẋ 1 = l 11 X 1 + l 12 X 2 Ẋ 2 = l 21 X 1 + l 22 X 2 valeurs propres : réelles ou complexes conjuguées.

Valeurs propres λ 1, λ 2 Matrice L representation dans l espace des phases reelles et distinctes λ 1 λ 2 λ 1 = λ 2 noeud col stable si λ 1, λ 2 < 0 λ 1 >0, λ 2 <0 instable si λ 1, λ 2 >0 instable reelles et egales vecteurs propres distincts λ λ noeud ou etoile stable si λ <0 complexes conjuguees λ 1 = λ 2 = λ λ λ centre si Re( λ) = 0 marginalement stable foyer si Re( λ λ ) = 0 stable si Re( ) <0, instable sinon

CAS DU PENDULE Équations du mouvement: θ = sin θ Mise au premier ordre: On introduit la variable φ = θ. vecteur d état Y = [θ φ] t. θ = φ, φ = sin θ.

CAS DU PENDULE Équations du mouvement: θ = sin θ Mise au premier ordre: On introduit la variable φ = θ. vecteur d état Y = [θ φ] t. θ = φ, φ = sin θ. Points fixes : φ=0, et θ=0, π, -π.

CAS DU PENDULE Équations du mouvement: θ = sin θ Mise au premier ordre: On introduit la variable φ = θ. vecteur d état Y = [θ φ] t. θ = φ, φ = sin θ. Points fixes : φ=0, et θ=0, π, -π. Stabilité : calcul au tableau

CAS DU PENDULE : PORTRAITS DE PHASE portraits de phase sans amortissement avec amortissement 8 8 2 6 6 θ θ 4 2 θ 4 2 0 0 0 2 2 4 4 2 6 6 8 8 θ 0 3 2 1 0 1 2 3 θ 3 2 1 0 1 2 3 θ

STABILITÉ STRUCTURELLE variation d un paramètre de contrôle changement qualitatif de la dynamique un point fixe peut changer de nature On a alors affaire à une bifurcation.

STABILITÉ STRUCTURELLE variation d un paramètre de contrôle changement qualitatif de la dynamique un point fixe peut changer de nature On a alors affaire à une bifurcation. condition nécessaire pour observer une bifurcation: que le système soit structurellement instable que le système possède au moins un point fixe non hyperbolique.

CODIMENSION D UNE BIFURCATION nombre (minimal) de paramètres nécessaires pour la décrire. avant la bifurcation : au point de bifurcation : apres la bifurcation: systeme stable marginalite instable ω ω ω (a) σ σ σ ω ω ω (b) σ σ σ (a) : bifurcation nœud-col (b) : bifurcation de Hopf

CODIMENSION D UNE BIFURCATION nombre (minimal) de paramètres nécessaires pour la décrire. avant la bifurcation : au point de bifurcation : apres la bifurcation: systeme stable marginalite instable ω ω ω (a) σ σ σ ω ω ω (b) σ σ σ (a) : bifurcation nœud-col (b) : bifurcation de Hopf Généralement : nb de valeurs propres qui traversent l axe imaginaire.

BIFURCATION NŒUD-COL forme normale: ẋ = µ x 2, diagramme de bifurcation x x= µ µ x= µ FIGURE: Bifurcation nœud-col

BIFURCATION FOURCHE forme normale: diagramme de bifurcation ẋ = µx x 3 x x= µ x= µ x point de bifurcation µ µ (a) x= µ x= µ (b) FIGURE: Bifurcation fourche, (a): supercritique, (b): sous-critique cas sous-critique: ẋ = µx + x 3

BIFURCATION FOURCHE SOUS-CRITIQUE Dans le cas de la bifurcation fourche sous-critique : prise en compte de l ordre 5: ẋ = µx + x 3 x 5, x µ ordre 5 : saturation des branches. phénomènes de sauts : zone "dangereuse". bifurcations nœud-col.

BIFURCATION TRANSCRITIQUE forme normale: ẋ = µx x 2, diagramme de bifurcation x µ FIGURE: Bifurcation transcritique (échange de stabilité).

BIFURCATION DE HOPF forme normale: ẋ = y + x(µ (x 2 + y 2 ), (1) ẏ = x + y(µ (x 2 + y 2 ), (2) En coordonnées polaires : x = r cos θ et y = r sin θ: ṙ = r(µ r 2 ), (3) θ = 1, (4)

BIFURCATION DE HOPF forme normale: ẋ = y + x(µ (x 2 + y 2 ), (1) ẏ = x + y(µ (x 2 + y 2 ), (2) En coordonnées polaires : x = r cos θ et y = r sin θ: ṙ = r(µ r 2 ), (3) θ = 1, (4) Équation sur r : cf. bifurcation fourche. points fixes en r = 0 ou r = µ.

BIFURCATION DE HOPF forme normale: ẋ = y + x(µ (x 2 + y 2 ), (1) ẏ = x + y(µ (x 2 + y 2 ), (2) En coordonnées polaires : x = r cos θ et y = r sin θ: ṙ = r(µ r 2 ), (3) θ = 1, (4) Équation sur r : cf. bifurcation fourche. points fixes en r = 0 ou r = µ. Solution bifurquée : cercles de rayon µ ẋ = µ cos t, (5) ẏ = µ sin t, (6)

BIFURCATION DE HOPF diagramme de bifurcation y x µ On passe d un point fixe à un cycle limite Naissance des oscillations.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : PROBLÉMATIQUE Pour un système dynamique en dimension N Ẏ = F(Y, λ, t), stabilité d un cycle limite : difficultés: solution de base dépend du temps problème de la dimension...

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : PROBLÉMATIQUE Pour un système dynamique en dimension N Ẏ = F(Y, λ, t), stabilité d un cycle limite : difficultés: solution de base dépend du temps problème de la dimension... moyen de réduire la dimension?

SECTION DE POINCARÉ Soit Σ une hypersurface de dimension N 1. C est une section de Poincaré si elle est localement transverse au champ de vecteur

SECTION DE POINCARÉ Soit Σ une hypersurface de dimension N 1. C est une section de Poincaré si elle est localement transverse au champ de vecteur On définit l application de premier retour Φ: Φ : Σ Σ M M L application Φ est telle que: dimension N 1 à temps discret

SECTION DE POINCARÉ Soit Σ une hypersurface de dimension N 1. C est une section de Poincaré si elle est localement transverse au champ de vecteur On définit l application de premier retour Φ: Φ : Σ Σ M M L application Φ est telle que: dimension N 1 à temps discret L idée générale pour étudier la stabilité des cycles limites est d essayer d utiliser des sections de Poincaré!

SECTION DE POINCARÉ Stabilité à l aide de l application de premier retour: (a) : trace des itérés de M dans la section de Poincaré (b) : spectre de l opérateur Λ, linéarisation de Φ au voisinage de P.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t)

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) Stabilité du cycle limite? On considère une petite perturbation autour du cycle limite: Y(t) = Y 0 (t) + X(t)

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) Stabilité du cycle limite? On considère une petite perturbation autour du cycle limite: Y(t) = Y 0 (t) + X(t) Alors: Ẏ(t) = Ẏ0(t) + Ẋ(t) = F(Y 0(t) + X(t), λ 0, t)

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) Stabilité du cycle limite? On considère une petite perturbation autour du cycle limite: Y(t) = Y 0 (t) + X(t) Alors: Ẏ 0 (t) + Ẋ(t) = F(Y 0(t), λ 0, t) + [ ] F X(t) +... Y Y 0 (t),λ 0

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) Stabilité du cycle limite? On considère une petite perturbation autour du cycle limite: Y(t) = Y 0 (t) + X(t) Alors: [ ] Ẏ0 (t) F + Ẋ(t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) + X(t) +... Y Y 0 (t),λ 0

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE On considère un système dynamique non autonome : Ẏ = F(Y, λ, t), espace des phases de dimension N, paramètre de contrôle λ Pour λ = λ 0 : existence d un cycle limite Y 0 (t), de période minimale T : Y 0 (t + T ) = Y 0 (t) tel que t : Ẏ 0 (t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) Stabilité du cycle limite? On considère une petite perturbation autour du cycle limite: Alors: Y(t) = Y 0 (t) + X(t) [ ] Ẏ0 (t) F + Ẋ(t) = F(Y 0 (t), λ 0, t) + X(t) +... Y Y 0 (t),λ 0 La perturbation est solution de : Ẋ = J(t)X, avec J(t) = [ ] F. Y Y 0 (t),λ 0 Propriété : J(t) est périodique de période T (par définition).

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Perturbation X(t) solution de : Ẋ = J(t)X, avec J(t + T ) = J(t) (7) équation d évolution linéaire à coefficients périodiques. utilisation de la théorie de Floquet pour connaître le devenir de la perturbation (croissante? décroissante?).

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Perturbation X(t) solution de : Ẋ = J(t)X, avec J(t + T ) = J(t) (7) équation d évolution linéaire à coefficients périodiques. utilisation de la théorie de Floquet pour connaître le devenir de la perturbation (croissante? décroissante?). Système différentiel linéaire à coeff. périodiques de dimension N: possède N solutions linéairement indépendantes X 1 (t), X 2 (t),..., X N (t). Toute solution X(t) de (7) peut s écrire comme une combinaison linéaire : X(t) = N c nx n(t) n=1

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Perturbation X(t) solution de : Ẋ = J(t)X, avec J(t + T ) = J(t) (7) équation d évolution linéaire à coefficients périodiques. utilisation de la théorie de Floquet pour connaître le devenir de la perturbation (croissante? décroissante?). Système différentiel linéaire à coeff. périodiques de dimension N: possède N solutions linéairement indépendantes X 1 (t), X 2 (t),..., X N (t). Toute solution X(t) de (7) peut s écrire comme une combinaison linéaire : X(t) = Formons la matrice x de taille N N: N c nx n(t) n=1 x(t) = [X 1 (t) X 2 (t)... X N (t)]. Elle vérifie l équation suivante: ẋ(t) = J(t)x(t) puisque chaque colonne la vérifie indépendamment.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Puisque J est périodique de période T on a pour chaque solution de base X n(t) : Ẋ n(t + T ) = J(t + T )X n(t + T ) = J(t)X n(t + T ) X n(t + T ) est aussi solution de l équation de départ (7).

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Puisque J est périodique de période T on a pour chaque solution de base X n(t) : Ẋ n(t + T ) = J(t + T )X n(t + T ) = J(t)X n(t + T ) X n(t + T ) est aussi solution de l équation de départ (7). X n(t + T ) peut s écrire comme une combinaison linéaire des solutions élémentaires! N X n(t + T ) = α i X i (t) i=1

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Puisque J est périodique de période T on a pour chaque solution de base X n(t) : Ẋ n(t + T ) = J(t + T )X n(t + T ) = J(t)X n(t + T ) X n(t + T ) est aussi solution de l équation de départ (7). X n(t + T ) peut s écrire comme une combinaison linéaire des solutions élémentaires! N X n(t + T ) = α i X i (t) On en déduit qu il existe une matrice à coefficients constants Φ telle que : i=1 x(t + T ) = Φ.x(t) On appelle Φ : la matrice de monodromie.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET Puisque J est périodique de période T on a pour chaque solution de base X n(t) : Ẋ n(t + T ) = J(t + T )X n(t + T ) = J(t)X n(t + T ) X n(t + T ) est aussi solution de l équation de départ (7). X n(t + T ) peut s écrire comme une combinaison linéaire des solutions élémentaires! N X n(t + T ) = α i X i (t) On en déduit qu il existe une matrice à coefficients constants Φ telle que : i=1 x(t + T ) = Φ.x(t) On appelle Φ : la matrice de monodromie. En itérant sur la période on a: x(t + pt ) = Φ p.x(t) le devenir à long terme de la perturbation est gouverné par les valeurs propres de la matrice de monodromie.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET La stabilité du cycle est gouvernée par les valeurs propres ρ i de Φ. Les ρ i sont appelés les multiplicateurs de Floquet. L équation x(t + T ) = Φ.x(t) définit une application entre les valeurs aux temps t et t + T définit bien une section de Poincaré.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET La stabilité du cycle est gouvernée par les valeurs propres ρ i de Φ. Les ρ i sont appelés les multiplicateurs de Floquet. L équation x(t + T ) = Φ.x(t) définit une application entre les valeurs aux temps t et t + T définit bien une section de Poincaré. On obtient la dénomination suivante: Si i : ρ i < 1 : le cycle limite X 0(t) est stable. S il existe un indice n tel que ρ n > 1, alors la solution périodique est instable.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET La stabilité du cycle est gouvernée par les valeurs propres ρ i de Φ. Les ρ i sont appelés les multiplicateurs de Floquet. L équation x(t + T ) = Φ.x(t) définit une application entre les valeurs aux temps t et t + T définit bien une section de Poincaré. On obtient la dénomination suivante: Si i : ρ i < 1 : le cycle limite X 0(t) est stable. S il existe un indice n tel que ρ n > 1, alors la solution périodique est instable. En pratique on peut prendre x(t = 0) = I. e 3 e 3 e 3 e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 X (t) 0 e 1 e 2 X (t) 0 e 1 e 2 cas stable cas instable NB : pour un système autonome, un des multiplicateurs de Floquet est toujours strictement égal à 1.

STABILITÉ D UN CYCLE LIMITE : THÉORIE DE FLOQUET En étudiant les cas de bifurcations possibles (trajectoires de multiplicateurs de Floquet) on peut classer les bifurcations d un cycle limite selon la manière dont les multiplicateurs sortent du cercle unité. En particulier : bifurcation de Hopf d un cycle limite : bifurcation de Neimarck-Sacker (a) avant la bifurcation : cycle limite stable (b) : après la bifurcation : cycle limite Mouvements sur un tore, 2 fréquences si le rapport est commensurable : régime périodique de période supérieure. si le rapport des fréquences est incommensurable : régime quasi-périodique.

EN DIMENSION 2 Notion de stabilité - bifurcations Lorsque la dimension de l espace des phases est 2, le théorème de Poincaré-Bendixson stipule que les ensembles limites ne peuvent être que: des points fixes des cycles limites des connexions-cols (orbites homoclines ou hétéroclines) pas de dynamiques plus complexes que des orbites périodiques. Il faut donc un espace des phases de dimension au moins 3 pour avoir des comportements irréguliers.

AU-DELÀ DE LA DIMENSION 2 Exemple : système de Lorenz (E. Lorenz, 1962) Établi à partir des équations de la convection d une couche de fluide Ẋ = P r(y X) Ẏ = XZ + rx Y Ż = XY bz P r : nombre de Prandtl (viscosité cinématique / Dilatation thermique) b : rapport d aspect r : écart de température (paramètre de contrôle).

AU-DELÀ DE LA DIMENSION 2 Exemple : système de Lorenz (E. Lorenz, 1962) Établi à partir des équations de la convection d une couche de fluide Ẋ = P r(y X) Ẏ = XZ + rx Y Ż = XY bz P r : nombre de Prandtl (viscosité cinématique / Dilatation thermique) b : rapport d aspect r : écart de température (paramètre de contrôle). simulation temporelle pour P r = 10, b = 8/3, r = 28. dynamique chaotique, attracteur étrange Z 50 40 30 20 10 20 0 X 20 20 0 Y 20

PROPRIÉTÉS DES ATTRACTEURS ÉTRANGES comportement apériodique spectre de Fourier large bande

PROPRIÉTÉS DES ATTRACTEURS ÉTRANGES comportement apériodique spectre de Fourier large bande Sensibilité aux conditions initiales imprédictibilité à long terme ("effet papillon") 20 10 X 0 10 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 temps

PROPRIÉTÉS DES ATTRACTEURS ÉTRANGES comportement apériodique spectre de Fourier large bande Sensibilité aux conditions initiales imprédictibilité à long terme ("effet papillon") 20 10 X 0 10 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 temps Mesure quantitative de la divergence locale des trajectoires: exposants de Lyapunov.

PROPRIÉTÉS DES ATTRACTEURS ÉTRANGES Dimension fractale de l attracteur. Exemple avec l application de Hénon: X k+1 = 1 ax 2 k + Y k Y k+1 = bx k pour a = 1.4, b = 0.3. zoom zoom zoom X k+1 0.91 0.909 0.908 0.907 0.906 0.466 0.467 0.468 X k

EXEMPLES EN MÉCANIQUE Double pendule incliné en grands déplacements Vibrations chaotiques couplages entres modes évolution temporelle apériodique sensibilité aux conditions initiales

Notion de stabilité - bifurcations E XEMPLES EN MÉCANIQUE Équation de Duffing forcée harmoniquement: X + ω02 X 50 + 2βω0 X + γx = F cos Ωt, avec : ω0 = 5, β = 0.01, γ = 5, F = 2000. I 100 3 Section de Poincaré : stroboscopie à la période du forçage vitesse Y I 0 50 100 150 2 (MS)2SC Vibrations non linéaires Cours 7 0 2 4 6 deplacement X 8 10

Notion de stabilité - bifurcations E XEMPLES EN MÉCANIQUE Équation de Duffing forcée harmoniquement: X + ω02 X 50 + 2βω0 X + γx = F cos Ωt, avec : ω0 = 5, β = 0.01, γ = 5, F = 2000. I 100 3 Section de Poincaré : stroboscopie à la période du forçage vitesse Y I 0 50 100 150 2 I 0 2 4 6 deplacement X Attracteur étrange magnéto-élastique de Moon et Holmes (1979) (MS)2SC Vibrations non linéaires Cours 7 8 10

SCÉNARIO DE RUELLE-TAKENS Théorème de Ruelle, Takens et Newhouse: attracteur périodique à 3 fréquences instable vis-à-vis de perturbations de classe C 2. D. Ruelle et F. Takens, Communications in Math. Phys, 1971 S. Newhouse, D. Ruelle et F. Takens, Communications in Math. Phys, 1978 En pratique, les attracteurs étranges sont plus probables que les tores à 3 fréquences. Rupture phénoménologique, introduction du terme "attracteur étrange" et de la physique du chaos. f 1 Point fixe bifurcation de Hopf Cycle limite f 1 bifurcation de Hopf f 2 Tore bifurcation de Hopf Attracteur étrange (sous certaines conditions, avec probabilité finie) Spectre f 1 f 1 f 2 f et f incommensurables Spectre large bande Exposants de Lyapunov Un exposant nul (0,..,.. ) Deux exposants nuls (0, 0,...,... ) Au moins un exposant positif (+..., 0,...,.. )

Notion de stabilité - bifurcations ROUTES CLASSIQUES VERS LE CHAOS I Scénario de Ruelle-Takens I Cascade de doublements de période. Exemple sur l application logistique : Xk+1 = axk (1 Xk ) 1 zoom 0.8 X 0.6 0.4 0.2 0 I 3 3.2 3.4 a 3.6 3.8 4 Intermittences (Pomeau-Manneville). (MS)2SC Vibrations non linéaires Cours 7

NOMBRE DE DEGRÉS DE LIBERTÉ Théorie du chaos pour les systèmes dynamiques OK pour système à faible nombre de degrés de liberté. Systèmes continus : infinité de degrés de liberté.

NOMBRE DE DEGRÉS DE LIBERTÉ Théorie du chaos pour les systèmes dynamiques OK pour système à faible nombre de degrés de liberté. Systèmes continus : infinité de degrés de liberté. Phénoménologie observée : cascade d énergie. Image de la turbulence E k injection ε : puissance injectee ε gamme inertielle dissipation k

NOMBRE DE DEGRÉS DE LIBERTÉ Théorie du chaos pour les systèmes dynamiques OK pour système à faible nombre de degrés de liberté. Systèmes continus : infinité de degrés de liberté. Phénoménologie observée : cascade d énergie. Image de la turbulence E k injection ε : puissance injectee ε gamme inertielle dissipation k cadre adapté : turbulence d ondes: non linéarité modérée développement asymptotique : fermeture des équations solutions analytiques pour la répartition spectrale de l énergie des systèmes hors équilibre [V.E. Zakharov, V. L vov, G. Falkovich, Kolmogorov spectra of turbulence, Springer, 1992] [S. Nazarenko, Wave turbulence, Springer, 2011] [A. Newell and B. Rumpf, Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011]

TURBULENCE DANS LES PLAQUES Turbulence dans un solide? Expérience simple sur une grande plaque cascade d énergie des grandes aux petites longueurs d ondes

TURBULENCE DANS LES PLAQUES Turbulence dans un solide? Expérience simple sur une grande plaque cascade d énergie des grandes aux petites longueurs d ondes Observation numérique du régime turbulent: champ de déplacement champ de vitesse

VIBRATIONS TURBULENTES DE PLAQUES MINCES Résultat théorique [G. Düring, C. Josserand and S. Rica, Physical Review Letters, 2006] P w(k) P 1/3 ln 1/3 (k /k) k 4 avec P w(k) spectre de puissance spatiale du déplacement w, P : puissance injectée. En passant dans le domaine fréquentiel et pour la vitesse ẇ: Exemple de simulation numérique Pẇ(f) C P 1/3 log( f f )f 0 10 5 P (f) w t = 10 s 10 10 t = 2s 10 15 10 20 10 1 10 2 10 3 f [Hz] 10 4 10 5

SCÉNARIO DE TRANSITION À LA TURBULENCE 1. Régime forcé périodique. Vibration unimodale

SCÉNARIO DE TRANSITION À LA TURBULENCE 1. Régime forcé périodique. Vibration unimodale 2. Régime quasipériodique: Augmentation de la dimension. Échange d énergie entre modes résonnants: f i + f j = F exc

SCÉNARIO DE TRANSITION À LA TURBULENCE 1. Régime forcé périodique. Vibration unimodale 2. Régime quasipériodique: Augmentation de la dimension. Échange d énergie entre modes résonnants: f i + f j = F exc 3. Turbulence d ondes: cascade d énergie. Établissement du spectre turbulent.

SIMULATIONS NUMÉRIQUES Plaque parfaite, fréquence d excitation à 195 Hz Forçage de 0 à 35 N en 30 secondes. 2 x FFT 1 FFT 2 (a) 10 3 w [m] 0 2 19 20 21 22 23 24 25 26 t [s] (b) f [Hz] 10 0 10 5 10 10 20 87.5 (c) : FFT 1 195 302.5 585 370 410 477.5 692.5 0 200 400 600 800 1000 f 1 f f 2 3 = f exc f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 = 3f exc f [Hz] (d) : FFT 2 10 f 0 81.6 8 195 f 7 31 310 f 425 f 6 148 585 f 5 4 10 f 5 3 t [s] Résonances internes d ordre 3: f 2 f 1 0 200 400 600 800 1000 f [Hz] 2f 3 = f 2 + f 4 = f 7 f 2

SIMULATIONS NUMÉRIQUES Plaque imparfaire, fréquence d excitation à 105 Hz Forçage de 0 à 50 N en 20 secondes. (a) 10 0 26.3 82.7 109 (b) f [Hz] 10 2 10 4 52.3 56.4 135.4 161.6 165.6 218 191.9 10 6 t [s] 0 100 200 f [Hz] 300 f 1 f 2 f 3 f f 4 6 f 7 f 8 f 9 f 5 = f exc exc f = 10 2f exc 3f Résonances internes d ordre 2: f 1 + f 4 = f exc f 2 + f 3 = f exc

ECOUTE DU SON SIMULÉ vitesse en un point, pour F exc = 195 Hz :

ECOUTE DU SON SIMULÉ vitesse en un point, pour F exc = 289 Hz :