Eercices Electrostatique Eercice 1 : Théorème e Gauss 1 alculer le champ créé en tout point e l espace par un clinre rectiligne infini uniformément chargé en surface Vérifier que les relations e passage sont bien valies 2 alculer le champ créé en tout point e l espace par une sphère uniformément chargée en surface Vérifier que les relations e passages sont bien valies 3 alculer le champ créé en tout point e l espace par un parallélépipèe épaisseur et etension latérale et longituinale infinie En posant, montrer que l epression u champ hors e la couche épaisseur ten vers celle u plan infini lorsqu on fait tenre vers éro (remarque : ten alors vers l infini, mais le prouit reste constant pour conserver la charge par unité e surface) Eercice 2 : harge volumique une sphère et Théorème e Gauss On suppose que la charge est répartie à l intérieur une sphère e raon R, selon la istribution volumique suivante, r représentant la istance au centre e la sphère : 1 Eprimer la charge totale Q e la sphère en fonction e et R 2 Déterminer le champ généré en tout point e l espace par cette sphère 3 On se place en-ehors e la sphère chargée En choisissant un tube e champ approprié, retrouver par un argument qualitatif la épenance u champ électrique avec la cooronnée raiale 4 Démontrer que le champ créé par la sphère uniformément chargée est en tout point etérieur à la sphère - équivalent à celui généré par une charge ponctuelle situé au centre e la sphère (ont on précisera la valeur e la charge) 5 On épose sur cette sphère (chargée en volume) une surface sphérique e même raon ette secone sphère est uniformément chargée, et on appelle sa charge par unité e surface Quelle oit être la valeur e pour que le champ électrique pout tout soit nul? 6 Quelle est la iscontinuité subie par le champ électrique à la traversée e la 2 e sphère (chargée en surface)? Eercice 3 : apacité un conensateur clinrique (résolution e problème) Un conensateur clinrique est constitué e eu armatures clinriques e raons et et telles que Déterminer la capacité e ce conensateur Eercice 4 : hamp gravitationnel à l intérieur une cavité sphérique Un astre sphérique e centre O et e raon R, e masse volumique uniforme, possèe une cavité sphérique vie e matière, e raon R/4, et e centre O situé à mi-chemin sur un raon (à R/2 e O) Montrer que le champ gravitationnel est uniforme ans la cavité, on onnera son epression 1 Moreggia PSI 214/215
Eercice 5 : apteur e champ électrique et écran tactile (E3A MP 213) E/ apteur e champ électrique Pour vérifier que le champ électrique raonné par es antennes relais n est pas supérieur au normes e sécurité, il faut isposer e capteurs e champ électrique Dans cette partie, nous étuions un tel capteur, basé sur un effet capacitif Vu la fréquence es champs électriques à mesurer, la petite taille u capteur permet e traiter le problème ans le care e l électrostatique E1 Quelle propriété oivent vérifier les imensions u capteur pour que cette approimation e régime quasi-stationnaire soit valable? onsiérons pour commencer le conensateur plan ae e la figure 9 L aire es électroes est notée S L électroe 1 porte une charge par unité e surface ( ) L électroe 2 porte une charge par unité e surface Elles sont séparées par une istance h 1 Pour ce qui est e l étue es smétries et es invariances, le conensateur peut être consiéré comme infini ans les irections et (les effets e bor sont négligés) Figure 9 électroe 1 h 1 S, électroe 2 E2 Justifier que le champ électrique E est e la forme E E () u onsiérons tout abor que le champ électrique est nul à l etérieur u conensateur E3 Montrer que le champ E() entre les électroes u conensateur est constant Sa composante selon u sera notée E Etablir une relation entre E, et INT INT o E4 Montrer que la ifférence e potentiel U V V au bornes u conensateur s écrit U Q/, où 1 2 Q est la charge totale portée par l électroe 1 Donner l epression e en fonction e S, h 1 et o e ispositif est maintenant plongé ans un champ etérieur uniforme E E u EXT EXT, ont la mesure est envisagée E5 Montrer que U Q/ E h EXT 1 Le ispositif peut alors être représenté par le schéma électrique e la figure 1 O R : résistance e charge e h 1 E EXT U m R U m : tension e mesure onensateur (capteur e champ électrique) circuit e mesure Figure 1 Le champ électrique E EXT varie sinusoïalement à la pulsation 2 f 2 Moreggia PSI 214/215
E6 Montrer que, si R est grane par rapport à une valeur limite R LIM, il est alors possible écrire : U K m E Eprimer R EXT LIM en fonction e et En éuire l epression e la constante K en fonction es onnées En réalité, les électroes ont la forme e emi- sphères e raons r 1 et r 2 r 1 (voir photographie, figure 11) omme elles sont espacées une istance h1 r1 et r 2, les résultats précéents restent valables, à conition e prenre pour S la surface une emi-sphère Données : f 2, GH, r 1 2, mm, 12 8,91 F/m 2, cm, h1 E7 alculer numériquement et R LIM Que penser par ailleurs e l approimation quasi-stationnaire? F/ Ecran tactile Des écrans tactiles équipent la quasi-totalité es téléphones portables prouits actuellement Pour les moèles les plus performants, la présence un oigt sur l'écran est étectée grâce à un capteur à effet capacitif qui est étuié e manière très simplifiée ans cette partie Il s agit un phénomène électrostatique e capteur est constitué e eu électroes métalliques (Figure 12) réalisant un conensateur e capacité Lorsque l'utilisateur pose son oigt sur le capteur, les lignes e champ électrique sont éformées, et la capacité u ispositif s'en trouve moifiée La capacité u capteur sera calculée tout 'abor en l'absence u oigt (questions F1 à F5), puis en présence e celui-ci (questions F6 à F9) face B Figure 11 : eemple e capteur (oc ETA) face A face D b face Figure 12 électroe 1 électroe 2 e Description u capteur : Les eu électroes u capteur sont représentées sur la figure 12, en coupe ans le plan (,) Leurs caractéristiques géométriques sont les suivantes : longueur 1 mm (selon O), largeur 1, mm, épaisseur b 4 nm, istance entre les électroes e,5 mm L'électroe 1 est portée au potentiel V1 5, V et l'électroe 2 au potentiel V2 5, V En ce qui concerne les smétries et invariances, les électroes sont supposées infiniment longues ans la irection Le potentiel V est onc inépenant e Les surfaces équipotentielles sont représentées sur les figures A2 et A3 e l'annee A, à renre avec la copie, en coupe ans le plan (,) La figure A2 est une vue 'ensemble La figure A3, plus étaillée et agranie 66 fois, sera seule utilisée pour les calculs numériques Sur la figure A3, les équipotentielles sont séparées e,3 V F1 Tracer l allure es lignes e champ électrique sur la figure A3 F2 Déuire e la figure A3 la valeur numérique u champ électrique au point P 3 Moreggia PSI 214/215
Le champ électrique E au voisinage un conucteur (parfait) s écrit E n, où est la charge surfacique portée par cette surface ; cette relation, appelée aussi théorème e oulomb, fait intervenir le vecteur unitaire n, perpeniculaire à la surface et sortant u conucteur Les champs électriques moens au niveau es faces A, B, et D e l'électroe 1 sont notés respectivement E, E, E et E A B D F3 Justifier que la capacité u capteur a pour epression approchée : E E b E E b A B D o V V F4 alculer numériquement la capacité, sachant que E E 9, kv/m, E 3 kv/m, A B E 25 kv/m et D 1 2 8, 9 1 12 F/m Proposer une méthoe simple e mesure e L'utilisateur place ésormais son oigt sur l'écran La conuctivité e l'intérieur u corps humain est asse élevée pour que celui-ci soit assimilé à un conucteur Pour simplifier, ce conucteur sera supposé plan et situé à une hauteur h,2 mm au-essus u capteur (voir figure 13) oigt h électroe 1 électroe 2 Figure 13 F5 Préciser, en la justifiant succinctement, la valeur u potentiel V u oigt Reprouire sommairement la figure 13 sur votre copie, en ajoutant l'allure es équipotentielles pour cette situation Justifier que le champ électrique au voisinage 'une es faces e l électroe 1 augmente, par rapport à la situation sans le oigt F6 Estimer numériquement la valeur e la capacité u capteur en présence u oigt onclure sur figure 14 le fonctionnement u capteur Pour vérifier l estimation précéente e, proposons le schéma électrique simplifié e la ' h électroe 1 électroe 2 Figure 14 F7 Quelle one e ce circuit équivalent représente le oigt e l utilisateur? Epliquer très succinctement l epression onnée à Justifier que ce circuit équivaut finalement à un seul conensateur e capacité EQ onclure EQ Eprimer EQ en fonction e,, h et alculer numériquement F8 Quelle oit être la propriété particulière e ces électroes pour qu'elles puissent être utilisées ans un écran tactile? 4 Moreggia PSI 214/215
Figure A2 Forme es équipotentielles corresponant au capteur capacitif étuié ans les questions F1 à F5 Les valeurs iniquées corresponent au potentiel électrique (en Volt) le long une équipotentielle La figure a été agranie 66 fois P Figure A3 Forme es équipotentielles corresponant au capteur capacitif étuié ans les questions F1 à F5 Les équipotentielles sont tracées tous les,3 V 5 Moreggia PSI 214/215