Amphi 3. Analyse énergétique de la propagation d une fissure

1 Amphi 3 Analyse énergétique de la propagation d une fissure I. Cadre de travail. II. Analyse énergétique de Griffith. Taux de restitution de l énergie. III. Analyse thermodynamique. IV. Lien entre les notions de singularités de contrainte et de taux de restitution de l énergie. V. Exemple

2 I. Cadre de travail Les structures considérées ici possèdent une énergie potentielle totale P. Nous nous limiterons aux énergies de type mécanique : P = W def +W ext, où : W def est l énergie de déformation de la structure. W ext est l énergie potentielle des efforts extérieurs appliqués à la structure. Elasticité. Ω configuration, ε tenseur de déformation linéarisée, w densité d énergie élastique : W def = ρ 0 w(f) dx, Ω 0 W ext = L, L(ξ) = F.ξ dω + Ω 0 T d.ξda. S T

3 Exemple Ressort de raideur k soumis à un poids Q à une extrémité et fixé à l autre extrémité. Déplacement ξ repéré par z. Energie de déformation du ressort : z z 0 O A _Q = mg e_ z W(z) = 1 2 k(z z 0) 2. Potentiel des efforts extérieurs : L(z) = T d (x) ξ (x) da = mg(z z 0 ). S T Energie potentielle totale : P(z) = W(z) L(z) = 1 2 k(z z 0) 2 + Q(z z 0 ), Q = mg. Propriété variationnelle : minimum de l énergie potentielle totale Inf P(z Q ) k(z z 0 ) + Q = 0 z = z 0 z k, P = 1 Q 2 2 k = 1 2 k(z z 0) 2.

4 Cadre général : élasticité linéaire en H.P.P Hypothèse des petites perturbations : - Configuration actuelle = configuration initiale. - Tenseur des déformations linéarisées. Equations de compatibilité : ε = 1 2 ( ) ξ + T ξ, Evolution quasi-statique : les termes d accélération sont négligés. Matériau élastique linéaire : homogène et isotrope. Equations d équilibre : ( ) div σ + F = 0, Equations de comportement : σ = C : ε, T_ d Conditions aux limites : Ω F_ T = σ.n = T d sur S T, ξ = ξ d sur S ξ. d ξ_

5 Energie et propriétés variationnelles Champs cinématiquement admissibles : C(S ξ,ξ d ) = {ξ tels que ξ = ξ d sur S ξ }. Energie de déformation du corps : W(ξ ) = Ω ρ(x)w(x,ε(ξ )) dω, Potentiel des efforts extérieurs imposés L : L(ξ ) = F(x) Ω ξ (x) dω + ρ(x)w(x,ε) = 1 2 ε : C : ε S T T d (x) ξ (x) da. Energie potentielle totale du corps dans le champ de déplacement virtuel ξ : P(ξ ) = W(ξ ) L(ξ ). La solution ξ du problème rend minimum l énergie potentielle totale : P(ξ) = Inf ξ C(S ξ,ξ d ) P(ξ ).

6 Application aux corps fissurés Problème plan, fissure rectiligne se propageant en ligne droite (longueur l), libre de contrainte. Ω 0 Ω( ) F( ) Ω(l(t)) Hypothèse des petites perturbations à chaque instant, dans la configuration actuelle Ω(l). Tenseur des déformations linéarisées. Evolution quasi-statique : accélération négligée. Matériau élastique linéaire (homogène isotrope). Compatibilité ε = 1 ( ) ξ + T ξ, 2 Equilibre : ( ) div σ = 0, (F = 0), Comportement σ = C : ε, Au bord de la fissure F (l) : T = 0. Sur la partie fixe 0 Ω du bord : T = σ.n = T d sur S T, ξ = ξ d sur S ξ.

7 Energie potentielle totale pour un corps fissuré Propriété variationnelle : P(ξ,l) = Inf ξ C(S ξ,ξ d,l) Ω(l) ρ(x)w(x,ε(ξ )) dω S T T d (x) ξ (x) da. L énergie potentielle dépend de la géométrie du corps ( 0 Ω fixe et F (l) variable) et du chargement : P = P(l, C ), où C désigne le chargement. P(l) est une fonction décroissante de l : Q Q q q ξ continus dans Ω(l) : Massif fixe +d Massif fixe C(S ξ,ξ d,l) inclus dans C(S ξ,ξ d,l+dl), Donc l infimum pour l + dl est plus petit que pour l.

8 II. Analyse énergétique de Griffith. Question : quand une fissure de longueur l avance-t-elle d une longueur dl? Hypothèse de Griffith (1920) : la fissure avance lorsque cela lui permet de minimiser son énergie totale : Energie totale = Energie mécanique + énergie de surface. Energies mises en jeu : Energie potentielle mécanique P(l). Energie surfacique, proportionnelle à la surface libre créée par l avancée de la fissure W s = 2γl. γ densité surfacique d énergie. Facteur 2 : 2 lèvres de la fissure. Energie constante (non prise en compte) si la fissure est fixe. Origine microscopique de l énergie de surface : Ré-arrangement du réseau cristallin pour satisfaire la condition de surface libre.

9 Critère de Griffith : Energie totale = P(l,C ) + 2γl. Comparer les énergies avant et après propagation sous le même chargement : Q Avant Après Q q q +d Massif fixe Massif fixe P(l,C ) +W s (l) P(l + dl,c ) +W s (l + dl) Si P(l,C ) + 2γl < P(l + dl,c ) + 2γ(l + dl), la fissure n évolue pas et conserve sa longueur l. Si P(l,C ) + 2γl P(l + dl,c ) + 2γ(l + dl), le corps "a intérêt" à accroître la longueur de la fissure de dl pour minimiser son énergie.

10 Taux de restitution de l énergie où Loi à seuil : Propagation conditionnée par le signe de : G = P (l,c ). l P(l,C ) P(l + dl,c ) dl G < 2γ : non propagation, G 2γ : propagation. 2γ = G 2γ, G est le taux de restitution de l énergie = - dérivée de l énergie potentielle mécanique par rapport à la longueur de fissure (à chargement constant). En 3d : W s = 2γS, G = P (S,C ). Il résulte de la propriété variationnelle de minimum de l énergie potentielle que : S P(l + dl,c ) P(l,C ) G 0.

12 Critique de l approche de Griffith L analyse de Griffith a deux défauts : - Elle fait un bilan d énergie sans introduire de notion d irréversibilité. En relâchant les efforts la fissure va se refermer et la matière se reformer. - Les ordres de grandeur des énergies de surface γ déduites de la physique du solide, sont très faibles par rapport à ce qui est observé pour la propagation d une fissure. Il s agit d une énergie d adhésion réversible. Approche thermodynamique introduisant la notion d irréversibilité.

13 III. Analyse thermodynamique simplifiée Propagation de la fissure = phénomène irréversible. La puissance mécanique fournie par l extérieur du système est utilisée en partie pour modifier son énergie de déformation, le reste étant dissipé en chaleur : P e = Ẇ +D, D 0. L énergie de déformation dépend de la géométrie du corps et du chargement 1 W = W(l,C ) = ε : C : ε dω, où ε = ε(l,c ). Ω(l) 2 Ẇ = Ẇ géométrie fixe +Ẇ chargement constant = W C (l,c ) C + W l (l,c ) l. P e = P e géométrie fixe + P e chargement constant = Ẇ géométrie fixe +Ẇ chargement constant +D. P e géométrie fixe = T. ξ géométrie fixe da PPV = Ω(l) Ω(l) σ. ε géométrie fixe dω = Ẇ géométrie fixe. P e chargement constant = Ẇ chargement constant +D, D 0.

14 L analyse peut se faire en supposant le chargement constant D = P e chargement constant Ẇ chargement constant, D 0. P e chargement constant = T. ξ chargement constant da = Ω(l) car T = 0 sur F, ξ = 0 sur Sξ. S T T d. ξ chargement constant da, Potentiel des efforts donnés : L(ξ) = T d.ξ da, L chargement constant = P e chargement constant, S T P = W L, Ṗ chargement constant = Ẇ chargement constant L chargement constant, D = Ṗ chargement constant. Or : P(l,C ) Ṗ chargement constant = G l, où G = P (l,c ). l Puissance dissipée : D = G l.

15 Analyse de la dissipation Avancée d une fissure : D = G l, F Analogie avec le frottement : Puissance = Force vitesse. D = Fẋ. x G est la force thermodynamique qui cause l avancée de la fissure. Critère de propagation de la fissure Lois à seuil, forme générale : tant que la force est en dessous du seuil, la vitesse (du mécanisme irréversible) est nulle, dès que la force atteint le seuil, la vitesse devient non nulle et a le signe de la force (son module est indéterminé). Loi à seuil pour décrire l avancée de la fissure : si G < G c alors l = 0, si G = G c alors l 0. G c est l énergie de rupture (a priori de la structure, mais nous verrons qu il s agit d un paramètre matériau). Même forme que la loi de Griffith, mais contenu thermodynamique très différent.

16 Mesure de l énergie de rupture G c : paramètres généralisés de chargement q Q Massif fixe Cas fréquent : les efforts et les déplacements imposés dépendent d un ou quelques paramètres Q (efforts généralisés) ou q (déplacements généralisés), tels que P e = Q. q. Exemple : Torsion d un arbre cylindrique z=h z=0 e_ z P e = α α z h ( ) re r T da z=h α Conditions aux limites : en z = 0 : ξ r = ξ θ = 0, T z = 0, en z = h : ξ r = 0, ξ θ = αr, T z = 0, en r = R : T = 0. ξ z=h = α e z re r, P e = T. ξ da = α T.(e z re r ) da, z=h z=h ( ).e z, q = α, Q = OM T da.e z : (angle,couple).

17 Paramètres généralisés de chargement (2) Autre exemple : Poinçonnement Massif déformable S Poinçon rigide. ξ_= V e _ z Poinçon rigide se déplaçant verticalement ξ S =Ve z, P e = da = V S z da. S q = V, Q = T.e z da. S L essai peut être contrôlé en force (Q imposée), en déplacement (q imposé). Plus généralement, un chargement est défini par un nombre fini de paramètres de chargement s il existe deux applications linéaires : telles que : σ S(F,S T,T d ) = σ Q(σ ) R N, v q(v ) R N, Ω σ : ε(v ) dω = Q(σ ). q(v ), v C(S ξ, ξ d ) { σ, div ( σ ) } + F = 0 dans Ω, σ.n = T d sur S T..

18 Application aux corps fissurés q Q A fissure fixe : Linéarité des équations de l élasticité (linéaire) : (ξ, σ) fonctions linéaires de q (ou de façon équivalente de Q) : Supposons q connue : Q = fonction linéaire de σ = fonction linéaire de q, Massif fixe Q = R.q, ou inversement q = S.Q. Le mode de chargement étant fixé (permet de définir Q et q), la raideur structurale R ou inversement la souplesse structurale S sont des fonctions de la seule géométrie du corps : R(l), S(l). La raideur structurale R(l) est une fonction décroissante de l.

19 Application à la mesure de G c Energie de déformation du corps : W(l) = 1 2 T.ξ da Ω(l) 2 0 Ω car T = 0 sur F. Potentiel des efforts donnés et énergie potentielle totale : ( L = T d.ξ da, P = W L = 1 ) T.ξ d da T d.ξ da. T Ω 2 S ξ S T Taux de restitution de l énergie G = P l (l,c ) = 1 2 ( T d. ξ ) S T l da T S ξ l.ξd da, G = 1 2 0 Ω ( T. ξ ) l T l.ξ da = 1 2 ( Q q l Q ) l q.

20 Interprétation géométrique q Q Q Q+dQ G d Aire hachurée : c 1 2 q + dq Q + dq q Q Massif fixe q q+dq = 1 (Qdq qdq) = Gdl. 2 Moyen de mesure de G c par mesure de Q, q et l. Autres relations utiles : Q Q+dQ Q Q(l) = R(l)q(l), G = 1 R 2 l (l)q2 (l). q(l) = S(l)Q(l), G = 1 ds 2 dl (l)q2 (l). q q q+dq G ne dépend que de Q(l) ou q(l) et non de leurs dérivées par rapport à l.

21 Stabilité de la propagation Fissure de longueur l. On augmente le chargement. Lorsque G(l) = G c : début de la propagation. Que se passe-t-il aux instants suivants? Dépend de la position de G(l + dl) par rapport à G c. Si G est une fonction décroissante de l, G(l + dl) < G c : arrêt de la fissure. Si G est une fonction croissante de l, G(l + dl) = G c : poursuite de la propagation. Gc G dg dl (l) > 0 dg dl (l) < 0 propagation instable, propagation stable. o 1 Propagation Arrêt de instable la propagation La valeur de G(l) ne dépend pas du mode de chargement. En revanche dg/dl(l) dépend du mode de chargement. Pourquoi un réservoir rempli de gaz est-il plus dangereux qu un gaz rempli d eau?

22 IV. Taux de restitution de l énergie et singularités de contrainte Formule d Irwin (1957) : dans un solide élastique, linéaire, homogène isotrope, contenant une fissure plane se propageant en ligne droite, on a : Conséquences : G = 1 ν2 E (K2 I + K2 II ) + 1 2µ K2 III. Réconciliation entre les deux approches, locale (singularités de contrainte) et globale (taux de restitution de l énergie). Rend plus légitime le point de vue local. Validité mathématique en mode quelconque. Validité des hypothèses (fissure rectiligne se propageant en ligne droite) surtout en mode I. L énergie de rupture G c et la ténacité K Ic sont reliées par : K Ic = EGc 1 ν 2.

23 Démonstration de la formule d Irwin F( ) G = 1 2 = 1 2 Gdl = 1 2 0 Ω 0 Ω 0 Ω n O O n + Γ( d ) ( T. ξ ) l T l.ξ da [ ξ(l + dl) ξ(l) T (l). Ω 0 1ère étape : Montrer que G = 1/2 travail des forces de fermeture dans dl ( T (l).ξ(l + dl) T (l + dl).ξ(l) le mouvement d ouverture de la fissure G = 1 2 T (l).[[ξ]](l + dl) da. Γ + 2ème étape : Calculer ce travail. ] T (l + dl) T (l).ξ(l) dl ) da = 1 2 0 Ω avec : (ξ 1,σ 1 ) = (ξ(l),σ(l)), (ξ 2,σ 2 ) = (ξ(l + dl),σ(l + dl)). da ( T 1.ξ 2 T 2.ξ 1) da,

Rappel : théorème de Maxwell-Betti (symétries de C) : Ω(l+dl) ε1 : C : ε 2 dω = Ω(l+dl) σ1 : ε 2 dω = Ω(l+dl) ε1 : σ 2 dω. F( ) n O O n + Γ( d ) Ω 0 Bord de Ω(l + dl) = 0 Ω F (l) Γ(dl). car Ω(l+dl) σ2 : ε 1 dω = T 2 : ξ 1 da. 0 Ω T 2 = 0 sur F (l) Γ(dl). Ω(l+dl) σ1 : ε 2 dω = T 1.ξ 2 da + 0 Ω T 1.ξ 2 da, Γ Or (Maxwell-Betti) donc Gdl = 1 2 0 Ω Ω(l+dl) σ1 : ε 2 dω = Ω(l+dl) ε1 : σ 2 dω, car T 1 = 0 sur F (l) uniquement. ( T 1.ξ 2 T 2.ξ 1) da = 1 2 Γ T 1.ξ 2 da = 1 2 Γ T (l).ξ(l + dl) da. 24

25 Calcul de l intégrale M n Γ + : T 1 = σ 1.n + = σ 1 _ θr e r σ1 θθ e θ σ1 θz e z en r = x, θ = 0, r r θ θ ξ 2 = ξ 2 r e r + ξ 2 θ e θ + ξ 2 ze z en r = dl x, θ = π, x Γ O O : T 1 = σ 1.n = σ 1 θr e r + σ1 θθ e θ + σ1 θz e z en r = x, θ = 0, n_ + ξ 2 = ξ 2 r e r + ξ 2 θ e θ + ξ 2 ze z en r = dl x, θ = π, dl [ ] T 1.ξ 2 da = σ 1 θr Γ 0 (x,0)[[ξ2 r ]](dl x) + σ 1 θθ (x,0)[[ξ2 θ ]](dl x) + σ 1 θz (x,0)[[ξ2 z ]](dl x) Expressions asymptotiques des champs (ξ, σ) formule d Irwin. dx.

26 V. Test de pelage (arrachement d un ruban adhésif) Objectif : Etablir la relation entre l énergie de rupture d un adhésif et la force nécessaire à l arrachement d un ruban collé sur un substrat avec l adhésif en question. Q O M u θ A Test couramment utilisé pour mesurer l énergie de rupture G c de l adhésif.

27 Mise en équations Q OM collé au substrat : O M u θ A ε = 0, w = 0 dans OM. MA se déforme : σ = σu u, σ = Q, (e épaisseur du ruban). e Energie de déformation du ruban : 1 M W = Ω 2 σ : S : σ dω = A Potentiel des efforts extérieurs : l 0 longueur totale du ruban. 1σ 2 2 E dω = 1 σ 2 2 E e l = 1 Q 2 2 ee l. L = Q.OA = Q.OM + Q.MA = Q(l 0 l)cosθ + Ql. Energie potentielle totale : P(l) = 1 Q 2 2 ee l Q[l 0 cosθ + l(1 cosθ)],

28 P(l) = 1 Q 2 2 ee l Q[l 0 cosθ + l(1 cosθ)], Taux de restitution de l énergie : Décollement lorsque : G = 1 Q 2 + Q(1 cosθ). 2 ee G = 1 Q 2 2 ee + Q(1 cosθ) = G c. θ Q Q θ Un ruban souple est plus difficile à décoller qu un ruban raide. Ruban très raide : E +. Arrachement lorsque Q = Q c avec : Q c 3G c. Q c 0.6G c. Q c = G c (1 cosθ). Q c fonction décroissante de θ.

29 Conclusions Approche énergétique introduit la notion d irréversibilité et de dissipation. Taux de restitution de l énergie = force thermodynamique associée à l avancée de la fissure. Avancée de la fissure régie par une loi à seuil portant sur cette force thermodynamique. La formule d Irwin donne une plus légitimité physique à l approche par singularité de contrainte. Il est possible de discuter la stabilité de l avancée de la fissure (poly).

30 Quelques informations Ce soir : réunion de présentation sur la 4ème année en Mécanique. Pas d amphi le 11 octobre matin. Mais PC normalement l après-midi. Devoir à rendre le 10 novembre à la scolarité.