Géométrie plane & nombres complexes Terminale S P. Flambard Lycée Max Linder Année scolaire 2017-2018
1. Notion de nombre complexe
Ensemble des nombres complexes Propriété Il existe un ensemble de nombres, noté C, appelé ensemble des nombres complexes possédant les propriétés suivantes : l ensemble C contient l ensemble des nombres réels R ; l addition et la multiplication des nombres réels se «prolongent» aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ; il existe un nombre complexe, appelé unité imaginaire, noté i, tel que i 2 = 1 ; tout nombre complexe z s écrit de manière unique : z = x + iy où x R et y R
Forme algébrique d un nombre complexe Définition On considère un nombre complexe z. z peut s écrire sous la forme z = x + iy où x R et y R. On dit alors que le nombre z est présenté sous sa forme algébrique. x est la partie réelle du nombre z et on note R(z) = x ; y est la partie imaginaire du nombre z et on note I(z) = y. Remarque : Il est important de remarquer que R(z) R et que I(z) R.
Exemple Notion de nombre complexe Exemple Le nombre complexe z = 2 + ( i+2)i n est pas présenté sous forme algébrique car i+2 R. Cependant, z = 2 i 2 +2i = 2 ( 1) + 2i = 3 + 2i, et on déduit R(z) = 3 que car 3 R et 2 R. I(z) = 2
Chez les physiciens En physique-chimie, où les nombres complexes sont régulièrement utilisés, on préfère noter j l unité imaginaire (pour éviter la confusion avec, par exemple, l intensité du courant i). Il est aussi habituel, notamment en électronique, de souligner les nombres complexes : on noterait Z. À noter qu en mathématiques, j est souvent utiliser pour noter le nombre complexe j = 1 2 + i 3 2.
Propriétés de nombres complexes Définition On considère un nombre complexe z. si I(z) = 0, z est un nombre réel ; si R(z) = 0, z est un nombre imaginaire pur. Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle sont égales et leur partie imaginaire sont égales. Propriété : une identité remarquable Pour tous nombres réels a et b, on a (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2.
Exemple Notion de nombre complexe Exemple Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique z 1 = (1 + 3i)(5 i) z 3 = 1 z 2 = (2 + i) 2 z 3 2i 4 = 1 + 3i 4 + 2i i n (distinguer les cas où n = 4k ;n = 4k + 1;n = 4k + 2;n = 4k + 3) ( puis j n = 1 ) n 3 2 + i. 2
2. Équations du deuxième degré
Racines carrées Notion de nombre complexe Définition On considère un nombre réel a. Les solutions de l équation d inconnue z C : z 2 = a sont les racines carrées de a dans C. Propriété Tout nombre réel a non nul possède deux racines carrées distinctes dans C : si a > 0, ses racines carrées sont a et a ; si a < 0, ses racines carrées sont i a et i a.
Théorème fondamental de l algèbre Théorème Toute équation à coefficients réels du deuxième degré possède deux solutions complexes (éventuellement confondues). On considère trois nombres réels a ; b et c et on suppose que a 0. On considère l équation d inconnue z C : az 2 + bz + c = 0. On note = b 2 4ac le discriminant associé à cette équation.
Suite du théorème si > 0, cette équation possède deux solutions réelles distinctes z 1 = b + et z 2a 2 = b ; 2a si = 0, cette équation possède une unique solution réelle («double») z 0 = b 2a ; si < 0, cette équation possède deux solutions complexes non réelles distinctes z 1 = b + i et z 2a 2 = b i. 2a En outre, si 0, alors on a la factorisation az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ) ; si = 0, alors on a la factorisation az 2 + bz + c = a(z z 0 ) 2.
Exemples à foison Notion de nombre complexe Exemple Résoudre dans C les équations d inconnue z suivante : 2z 2 + 3z 5 = 0 z 2 4z + 4 = 0 z 2 3 + z 6 + 1 = 0 5z 2 + 2 = 0 z 2 (1 + 3)z + 3 = 0 z 4 + 3z 3 + 6z 2 + 6z + 8 = 0 z 2 + 2z + 5 2z 2 + 1 = 1 z 2 z 1 = z 1 z 2 = 1 On pourra, après l avoir justifiée, utiliser l égalité z 4 + 3z 3 + 6z 2 + 6z + 8 = (z 2 + 2)(z 2 + 3z + 4).
Détermination de deux nombres de somme et produit connus Propriété On considère deux nombres réels z 1 et z 2 dont on connaît la somme S et le produit P. Alors z 1 et z 2 sont solutions de l équation d inconnue z C : z 2 Sz + P = 0. Exemple Résoudre les systèmes suivants d inconnues z 1 C et z 2 C. z 1 z 2 = 5 z 1 z 2 = 4.. z 1 + z 2 = 2 z 1 + z 2 = 6
3. Représentation géométrique
Conventions de représentation Définition On munit le plan d un repère orthonormal direct (O ; u, v ). On pose les conventions suivantes : à tout nombre complexe z = x + iy (où x R et y R), on associe le point M du plan de coordonnées (x ;y). On dit que M est le point image du nombre z ; tout point M du plan de coordonnées (x ;y) est le point image de l unique nombre complexe z = x + iy. On dit que le nombre z est l affixe du point M ; on note dans ce cas M(z). L axe des abscisses est appelé axe des nombres réels. L axe des ordonnées est appelé axe des nombres imaginaires purs.
Relation d ordre Notion de nombre complexe A contrario des nombres réels, représentés par une droite graduée, où un «ordre naturel» apparaît, les nombres complexes étant représentés sur un plan, on prendra garde à ne pas écrire d inégalité avec des nombres complexes non réels.
Propriété des affixes de points Propriété Pour deux points A et B du plan d affixes respectives z A et z B, l affixe du point I, milieu du segment [AB] est z A + z B. 2
Conventions pour les vecteurs Définition On munit le plan d un repère orthonormal direct (O ; u, v ). On pose les conventions suivantes : à tout nombre complexe z = x + iy (où x R et y R), on associe le point M d affixe z puis le vecteur OM. On dit que le vecteur OM est le vecteur image de z, de même que tout représentant du vecteur OM ; à tout vecteur a de coordonnées ( x y complexe z = x + iy. On dit le vecteur a a pour affixe z. ), on associe le nombre
Propriétés des affixes de vecteurs Propriété On considère deux vecteurs a et b d affixes respectives z a et z b. les vecteurs a et b sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales ; le vecteur a + b a pour affixe z a + z b ; pour un nombre réel k, le vecteur k a a pour affixe k z a ; si A et B sont deux points du plan d affixe respectives z A et z B, l affixe du vecteur AB est z B z A.
Exemple Notion de nombre complexe Exemple Dans le plan complexe les points A, B et C sont d affixe respective : z A = 1 + 1 2 i z B = 3 2 + 2i z C = 1 11 2 i Calculer les affixes des vecteurs AB et AC. Les points A, B et C sont-ils alignés?
4. Conjugué d un nombre complexe
Définition Notion de nombre complexe Définition On considère le nombre complexe z = x + iy avec x R et y R. Le conjugué du nombre complexe z est le nombre complexe Exemple 4 + 2i = 4 2i et 2i = 2i. z = x iy.
Propriétés de la conjugaison Propriété On considère un nombre complexe z. Les points M, d affixe z, et M, d affixe z, sont symétriques par rapport à l axe des nombres réels. 3 2 M 1 v O u 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 M 3
Propriétés de la conjugaison Propriété Pour tout nombre complexe z, on a z = z (idempotence) ; z + z = 2R(z) et ainsi, z est un nombre imaginaire pur si et seulement si z = z ; z z = 2iI(z) et ainsi, z est un nombre réel si et seulement si z = z.
Propriétés de la conjugaison Propriété Pour tous nombres complexes z et z, on a z + z = z + z ; z z = z z ; z n = z n avec n entier naturel ; ( z ) = z z z.
Exemples Notion de nombre complexe Exemple Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants. z 1 = (2 + i)(6 3i) i(2 2i) z 2 = (2 + i) 2 Exemple Résoudre l équation d inconnue z C : 5z = 4 i.