LFA / Première S eercices mathématiques Mme MAINGUY Première S Ch. Second degré résoudre des problèmes concrets CORRIGÉ Eercice ) 0 8 c'est-à-dire : 0 ; 8. ) v aire BMNR aire NPDQ MN MB PN NQ 8 0 8 0 8 8 3 ) v est un polynôme de degré. On a : vers le bas (fonction concave). b 8 v atteint son maimum pour 4,cm. a Ce maimum vaut : a cad a 0 ; sa représentation graphique est une parabole tournée 9 9 9 8 8 8 v 8 8 8 40, cm 4 4 ) 80 aire ABCD v 40 8 40 8 40 0 9 0 0 On reconnaît un polynôme de degré, calcul de : 0, le polynôme admet deu racines réelles distinctes : b 4ac 9 40 880. b 9 b 9 4 a a Pour AM 4 ou v des deu rectangles coloriés sur le schéma est égale à la moitié de de l'aire du rectangle ABCD AM, l'aire totale Eercice Une entreprise fabrique jusqu'à 3, tonnes de beurre de Normandie par jour. Le coût total de production, eprimé en milliers d'euros, pour fabriquer q tonnes de beurre est noté Pour q 0 ; 3,, on a : C q q 3. La recette réalisée pour une tonne de beurre est de 4 milliers d'euros. On note Rq la recette eprimée en milliers d'euros, obtenue par la vente de q tonnes de beurre. Cq. ) Rq 4 q ) B q R q C q q q q q 4 3 4 3 avec 0 ; 3, q.
LFA / Première S eercices mathématiques Mme MAINGUY 3 ) Résolvons Bq : B q 0 q 4q 3 0 est une racine évidente de B et Bq q 4q 3 D'où : 3. on lit donc P 3 Ainsi B admet deu racines réelles distinctes et 3. B a aussi le signe de a donc négatif à l'etérieur des racines, et positif entre les racines. On en déduit que q ; 3 Bq ssi "Le bénéfice est maimal" revient à déterminer le maimum du polynôme B (notons que a, donc la parabole représentant B est tournée vers le bas et l'etrémum est un effectivement un maimum) b 4 Le maimimum est atteint pour q a Et la valeur de ce bénéfice est : B 4 3 4 83. On en conclut que le bénéfice est maimal pour tonnes de beurre produites et ce bénéfice est de 000 euros. Eercice 3 Déterminons tous les réels qui, une fois élevés au cube, ont la même valeur que leur double augmenté de. 3 P 3 0 Notons un réel solution : on résout alors : On observe que est une racine évidente donc P s'écrit : P a b c 3 a b c a b c 3 a b a c b c En comparant les écritures et a a b a 0 b a c b c c P s'écrit :, (on appelle cette méthode : "identification des coefficients"), on obtient le système : P Q Déterminons les racines du polynômes Q : calcul de : b ac 0, Q admet deu racines réelles distinctes : b b a a Il eiste donc trois réels solutions :, Eercice 4 Notons la longueur du coté de ce village. On a alors : et BC 0 4 34 ; MN 4 ; AM 77 4 4 Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles ABC et AMN : M AB 77 AM MN 4 N AC alors AB BC 77 34 MN // BC
LFA / Première S eercices mathématiques Mme MAINGUY 77 4 77 4 77 34 Rq : inutile de préciser 34 puisque 0 (longueur) 77 34 7 77 3477 77 477 0 7 3 00 0 34 7 000 0 E E est une équation polynôme de degré : calcul de : b ac 0, E admet donc deu racines réelles distinctes : 4 34 4 7 000 86 34 b 34 34 b 34 34 84 (valeur eclue car 0, longueur) et 0. a a Conclusion : le village est un carré dont chaque côté mesure 0 pas. Eercice Résumé sous forme de tableau : En roulant à vitesse réglementaire En roulant à vitesse ecessive Distance à parcourir 300 300 Vitesse (en fonction de v ) v v Durée du trajet (en fonction de v ) 300 t v 300 t t v 300 300 300 300 v t t v v v v 300v 300 v v v 0 et v 0 v 0v 300v 00 300v v 0v 00 0 v v 70 0 E E est une équation polynôme de degré, calculons : b ac 0, E admet donc deu racines réelles distinctes : 0 4 4 70 30. b b v 30 (valeur eclue car 0, vitesse) et v a a Le train de marchandises roule donc à une vitesse de réglementaire de km/h. Eercice 6 On dispose d'une baguette de bois de 0 cm de long. ) On brise la baguette en deu morceau de longueurs l et L. Ces deu morceau sont les côtés consécutifs d'un rectangle de surface 0 cm. 0 et sont donc solutions du système :. 0 On en déduit que ce sont les racines du polynôme de degré : 0 0 0 Calculons : b 4ac 0 4 0 0. 0, on obtient deu racines réelles distinctes :
LFA / Première S eercices mathématiques Mme MAINGUY b 0 b 0 et. a a concl : les morceau doivent mesurer 0 cm et 0 ) Même question avec un rectangle de 40 cm. De façon analogue, 0 et sont donc solutions du système : 40 On en déduit que ce sont les racines du polynôme de degré : 0 40 0 Calculons : b 4ac 0 4 40 60. 0, il n'eiste donc pas de solution à ce problème. cm. Eercice 7 ) On a : 8 0 4 6 4 6 ou 4 6 6 4 ou 6 4 ou 4 S ; 4 ) a / 8 36 64 6 8 6 8 ou 6 8 8 6 ou 8 6 ou 4 S ; 4 b / 0 44 0 00 44 0 0 ou 0 0 ou 0 ou S ; c / 6 4 4 ou 4 4 ou 4 3 ou S 3 ;
LFA / Première S eercices mathématiques Mme MAINGUY Eercice 8 ) On obtient l'arbre de probabilité suivant : ) Déterminons l'entier n tel que la probabilité de tirer successivement deu boules blanches soit égale à Notons A l'événement : "on tire successivement deu boules blanches". Rappel : la probabilité d'une issue est obtenue en multipliant les probabilités rencontrées sur le chemin menant à cette issue. 3 3 p A n n 3 360 n n 3 n n 3 0 n n 4 3 360 n 4n 37 0 E E est une équation polynôme de degré : calcul de : b ac 0, E admet donc deu racines réelles distinctes : 4 4 4 37 444 38 b 4 38 b 4 38 n (valeur eclue car n 0,nombre de boules) et n 7. a a Conclusion : pour 7 boules noires dans chacune des boîtes B et B, la probabilité d'obtenir boules blanches par tirages successifs, sera égale à 0. 0. Eercice 9 Le directeur d'un parc de loisirs reçoit en moyenne 600 visiteurs par jour lorsque le pri d'entrée est fié à 3. Lorsque le pri de l'entrée baisse de, le parc enregistre 60 entrées supplémentaires. ) Recette journalière R du parc pour une baisse de : R 600 603 ) "La recette est supérieure à 7 000 " signifie que : 600 60 3 7 000 3 ) Résolvons d'abord l'équation E : 60 600 380 3 800 7 000 60 780 3 00 0 3 3960 0 3 3960 0 E est une équation polynôme de degré : calcul de : b ac 0, il n'eiste donc pas de solution. Conclusion : le directeur ne pourra pas atteindre son objectif. 4 39 4360 399