Lycé Dnis-d-Rougmont Eamn d Maturité Nuchâtl t Flurir Sssion 008 Mathématiqus nivau Problèm (poids 3) 5 a) Résoudr l équation différntill y' + y =, étant strictmnt positif 5ln( ) + On considèr la fonction f : y = b) En tnant compt du domain d définition, du zéro, ds asymptots vrtical t horizontal, du point à tangnt horizontal t du point d inflion, tracr l graph d la fonction f c) Après analys d la parité d la fonction g donné par graph n tnant compt d clui d f 5ln( ) + g ( ) =, tracr son d) Par changmnt d variabl, trouvr un primitiv d la fonction f, puis l utilisr pour calculr l intégral f ( )d ) Détrminr un nombr a compris ntr 0 t tl qu f ( )d = 0 a f) Détrminr ds constants A, B t C d sort qu la fonction Aln ( ) + Bln( ) + C H( ) = soit un primitiv d la fonction 5 ln ( ) + 0 ln( ) + h ( ) = f ( ) = On considèr la surfac limité par l'a ds, l graph d f t ls droits vrticals d'équation = t = b, b étant un nombr supériur à Lorsqu ll tourn autour d l'a ds ctt surfac ngndr un corps d révolution g) Calculr l volum d c corps dans l cas où b = h) Qull st la valur limit d c volum lorsqu b tnd vrs l'infini? / 4
Lycé Dnis-d-Rougmont Eamn d Maturité Nuchâtl t Flurir Sssion 008 Mathématiqus nivau Problèm (poids 3) Dans l spac, on donn du vcturs a t b par lurs composants dans un bas orthonormé standard ( u, u, u3) : a = 3 u 4 + u 3 t b = u a) Trouvr ls composants d un vctur c tl qu ls vcturs a, b t c formnt un bas orthonormé b) Eprimr ls vcturs u, u t u 3 dans la bas ( abc,, ) Dans l nsmbl ds vcturs d l spac, on appll f la symétri aial dont l a st donné par l vctur a c) Donnr la matric A ' d f rlativmnt à la bas ( abc,, ) d) Détrminr la matric A d f rlativmnt à la bas ( u, u, u3) Un transformation g ds vcturs d l spac st donné par sa matric B rlativ à la bas ( u, u, u ) : 3 5 0 0 B = 0 9 k 5 0 k 6 ) Pour qull valur du nombr k l vctur a st-il un vctur propr d g? Donnr alors la valur propr corrspondant Pour la suit, on pos k =, donc 5 0 0 B = 0 9 5 0 6 f) Détrminr ls valurs t vcturs proprs d g En déduir un intrprétation géométriqu d la transformation g g) Sans calculr la matric d f g transformation, donnr ls valurs t vcturs proprs d ctt drnièr / 4
Lycé Dnis-d-Rougmont Eamn d Maturité Nuchâtl t Flurir Sssion 008 Mathématiqus nivau Problèm 3 (poids ) Parti Commnt faut-il choisir l nombr compl a pour qu 6i soit un point fi d la fonction compl f : défini par f ( z) az 7 a = +? Parti On appll g la fonction compl qui associ à chaqu nombr compl z non nul un nombr compl w donné par l prssion w= g( z) = i z a) On écrit z sous la form z = + i y, avc t y réls Eprimr alors ls partis réll u t imaginair v d w= g( z) = u+ iv n fonction d t y b) Dans l plan d Gauss, qull figur formnt ls nombrs z dont l imag gz ( ) st un nombr rél? Dssinr ctt figur c) Démontrr qu l imag par g d un point qulconqu d la droit d équation y = st un point du crcl d rayon cntré n (0 ; ) 3 / 4
Lycé Dnis-d-Rougmont Eamn d Maturité Nuchâtl t Flurir Sssion 008 Mathématiqus nivau Problèm 4 (poids ) On constitu un ju d 0 carts n prnant 4 valts, 3 dams, rois t as On trait succssivmnt 4 carts d c ju n rmttant systématiqumnt la cart tiré t n brassant l tas avant chaqu nouvau tirag a) Qull st la probabilité d obtnir, dans l ordr, valt, dam, roi, puis as? b) Qull st la probabilité d obtnir valt, dam, roi t as sans tnir compt d l ordr ds tirags? c) Qull st la probabilité d obtnir au moins un as? d) Combin d fois faut-il tirr 4 carts pour qu la probabilité d obtnir au moins un as soit supériur à 98%? Pour fair 4 tirags avc rmis, on doit payr franc t l on gagn un crtain montant qui dépnd du nombr d as tirés Nombr d as 4 3 0 Gain n francs 000 50 5 0 ) Qull st la probabilité d gagnr 000 francs, cll d gagnr 50 francs, cll d gagnr 5 francs t cll d gagnr franc? f) On a joué t obtnu un gain Qull st alors la probabilité d avoir ncaissé franc? g) L ju st-il financièrmnt intérssant pour l jouur? Justifir la répons donné 4 / 4
Eamn d Maturité Sssion 008 Mathématiqus nivau, solutions Problèm 5 a) y' + y = on pos y = uv, y ' = u ' v+ uv ' 5 t on obtint u ' v + uv' + uv = ou 5 uv ' + u v' + v = dv d On pos v' + v = 0 = qui admt v = comm solution particulièr v n rmplaçant dans l'équation, on obtint : u' = u' = u = 5ln( ) + c 5ln( ) La solution d l'équation différntill st ainsi : + c y = (5ln( ) + c ) = 4 5ln( ) + * 0, b) f : y =, D = +, I ( ;0), O st asymptot horizontal t Oy asymptot vrtical 4 5ln( ) 0 ln( ) 3 f '( ) =, f ''( ) =, 3 08 08 M( ;5,3,3 ), I ( ;7,5 ) c) g( ) = g( ), donc g st impair - -4 75 0 4 5-75 -5-75 - -4 5ln( ) + 5 7 d) d = (5u+ )du = u u 0 + = 0 u= ln( ) du = d 5ln( ) + 5 7 5 ) d = (5 )d ln ( ) ln( ) a u+ u = u u a a ln( a) + = ln( a) u= ln( ) du = d f ( )d 0 5ln ( a ) ln( a ) 7 0 ln( a ) t ln( a ),4 a = + = = = = a,4 f) g) h) H( ) = Aln ( ) + Bln( ) + C (Aln( ) + B ) Aln ( ) Bln( ) C H'( ) = Aln ( ) + ( A B) ln( ) + ( B C) = A= 5, B = 60 t C = 6 5 ln ( ) 60 ln( ) 6 46 π f ( )d = π = π + 6 7, 90π,90 b 5 ln ( b) 60 ln( b) 6 lim π f ( )d π lim 6 6π b = + = b b / 3
Eamn d Maturité Sssion 008 Mathématiqus nivau, solutions Problèm a) c = a b = 4 u 3 u 3 3 4 4 3 b) u = b, u = a + c, u 3 = a c c) d) 0 0 A' = 0 0 0 0 3 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 3 4 A= P A' P = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 4 3 4 3 4 3 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 A = 0 0 4 7 5 0 0 5 0 0 0 0 7 4k 3λ 0 9, + = B= k 0 9 k 5 k t = λ λ = =, 0 k 6 0 k 6 64 3k 4λ 4 4 + = 5 5 5 ) 3 3 f) 5 0 0 B = 0 9, 5 0 6 u t a sont ds vcturs -proprs t c st un vctur 0-propr g décrit un projction orthogonal sur l plan parallèl à u t a g) Vcturs -proprs : a ; vctur -proprs : u ; vctur 0-proprs : c / 3
Eamn d Maturité Sssion 008 Mathématiqus nivau, solutions Problèm 3 Parti 6i + 7 = 6i 6i + ( 7 + 6i)=0 a a a a = 3 4i, w= + yi 44 4 y = 3 = 3 3 44 = 0 =± 6, y = y = 4 y = 6i + (6 i) 6i (6 i) z = = 3+ i, z = = 3+ 4i Parti a) b) c) ( + y )i ( yi) + y + y w= i, u+ vi= i = = + i z + yi + y + y + y = 0 + + = 0 + ( + ) = 0, v y y y crcl d cntr i t d rayon sauf l'origin + + + 3 u+ vi= + i u = t v= + + + + u ( ) 4 + 3 + 4 + + + ( v ) = + = + = + + + + + ( + ) ( ) 4 + + = = = + + ( ) Problèm 4 4 3 a) P = = 0,004 0 0 0 0 4 3 b) P = 4! = 0,0576 0 0 0 0 9 9 9 9 c) P = = 0,3439 0 0 0 0 n n 4 4 4 9 9 9 ln(0,0) d) 0,98 0,0 ln( ) ln(0,0) 9,8 0 4 n n n 4 < < = = 4 4 0 0 0 ln(0,9 ) ) P(000 ) = 0,000, P(50 ) = 0,0036, P(5 ) = 0,0486, P( ) = 0,96, P(0 ) = 0,656 0,96 0,96 f) P = = 0,8479 0,000+ 0,0036 + 0,0486 + 0,96 0,3439 g) Gain moyn = 0,000 000 + 0,0036 50 + 0,0486 5 + 0,96 0,85 < pas intérssant! 3 / 3