. Préliminaires Objettyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 49 (2003) Heft -2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 0.2.207 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothe ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt eine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Doumente stehen für nicht-ommerzielle Zwece in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdruce aus diesem Angebot önnen zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den orreten Herunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publiationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des eletronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigeit oder Richtigeit. Es wird eine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothe ETH Zürich, Rämistrasse 0, 8092 Zürich, Schweiz, www.library.ethz.ch http:www.e-periodica.ch
. MINIMAX D'UNE FONCTION QUADRATIQUE À L'INFINI Préliminaires. un espace topologique, D n un disque de dimension n, orienté, et S"" -^X une application. On considère sur S"" = dd n l'orientation induite. On appelle cellule de dimension n le couple a n := (Z) w,^). L'espace n- au point tj){x) est que l'on construit en identifiant chaque point xde obtenu en attachant à X la cellule a n ; on le note XU a n ou bien XU^ D n. X Soient Sn-S Un espace est dit cellulaire s'il est obtenu par l'attachement de cellules (un nombre fini pour chaque dimension) à un nombre fini de points (cellules de dimension 0). Un espace cellulaire X est un complexe cellulaire si chaque cellule est attachée à une cellule de dimension plus petite. Il est bien connu que tout espace cellulaire est homotopiquement équivalent complexe cellulaire, voir par exemple [DNF], vol., 4. Soit X un complexe cellulaire. La réunion des cellules de dimension < n à un est appelée squelette cellulaire de dimension n, que la suite des squelettes emboîtés L'espace quotient X l X de sphères de dimension 2, - XX où. ~2~ 2 est identifié l'on note Xn On. àun point, Considérons une cellule a a alors est un bouquet = (D, ip) et l'application où 7T de X correspondant est la projection sur la z-ème sphère du bouquet. Soit à la sphère S*". DÉFINITION. aa ~l~ l la cellule On appelle coefficient d'incidence du couple de cellules a,af~ l le nombre entier Soient E=RK et E-»R une fonction de Morse excellente ), avec un nombre fini de points critiques. D'après le lemme de Morse, autour d'un point : ) Une fonction est de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés, excellente si les valeurs critiques sont toutes distinctes.
critique de, il existe un système de coordonnées Le nombre, dénoté par ind( ), est Pour tout À G R on note THÉORÈME. critique de f, ([Mil]). Y indice du { i,..., #} tel que: point critique. Si l'intervalle [a,b] ne contient aucune valeur alors E b et Ea sont difféomorphes. ([Mil]). Soient c la seule valeur critique dans V intervalle et le point critique correspondant, d'indice ind( ) = i. Alors Ec+e et E c se rétractent sur l'espace EE c ~ e Ua l que l'on obtient de EE c ~ e en attachant à son bord une cellule a = (D\ïj) de dimension i. THÉORÈME.2 [c? e, c + e], [ : tels que ind( )? ind(7y) Pour,77 points critiques de 77] l'indice d'incidence des cellules correspondantes. Remarque. =, on note Les Théorèmes. et.2 sont vrais pour toute fonction de Morse excellente, dès que le champ gradient est défini et intégrable; par exemple si la condition de Palais-Smale est vérifiée: toute suite { n } we N telle que V( w )?» 0 pour convergente. n?» 00 et {( «)}«en est bornée, admet une sous-suite Soit b > 0 un nombre réel assez grand pour que l'intervalle ]?b,b[ contienne toutes les valeurs critiques de. On déduit du Théorème. que E x c^ E~ b pour A<-betEx~Eb pour A>b.On note alors E ±o := E ±b. Soit {,??-, #( )} l'ensemble des points critiques d'indice de ordonnés selon leur valeur critique: ( s) <( $ + )., DÉFINITION. Le complexe de Morse de est le complexe cellulaire (m{,<9*), défini comme suit: l'espace m[ des chaînes de dimension est l'espace des combinaisons linéaires formelles sur Q des points critiques d'indice de :
l'opérateur de bord 2 ) est l'application linéaire d: m[ -> définie MMf _ par x la formule Remarque. D'après les Théorèmes. et.2, l'espace EE est un espace cellulaire, homotopiquement équivalent au complexe cellulaire (M;f,<9*). Il s'ensuit que où * dénote le complexe d'homologie réduite à valeurs dans Q. En suivant une idée de Cerf ([Cer]), S.A. Baranniov a montré que l'on peut "diagonaliser" les complexes de Morse. C'est pour rendre possible cette diagonalisation que l'on a défini le complexe de Morse sur Q, bien que le complexe originel soit à coefficients entiers. LEMME ALGÉBRIQUE ([Bar]). Dans chaque M[ il existe un changement de générateurs, représenté par une matrice triangulaire supérieure inversible de dimension #(), qui met le complexe de Morse sous forme canonique, c'est à-direque les nouveaux générateurs (ordonnés) {S*}^ ( =,...,#( ), =,...,X) vérifient () Démonstration. Par récurrence : supposons que les générateurs 5^ soient du type () pour h=etj<,et pour h<etjg {,..., #(h - )}. Soit Q l'ensemble des indices q tels que E^ = 95^* pour quelque g* <j, et P:= {,...,#(*- )} \Q. L'égalité ô# + = ZT=~i l) amsjr s'écrit donc Si a p =0 pour tout pep,le générateur S} + := $+ - E^G a^^ est canonique, en effet 9H^+ =0. Sinon, soit p0 le plus grand indice dans P tel que a Po 0 : (2) 2 ) Pour la démonstration du fait que <929 2 =0, voir [DNF], vol., 4.
Remplaçons le générateur EE l po par EE po l:= EE o l+±. po>pep a p E l, qui est encore de la forme (), car de ~ l = de ~l~ l p =0. L'égalité (2) s'écrit alors ainsi le générateur vérifie ds$ +I =3 K D Remarques. () Tout complexe (avec générateurs ordonnés) admet une forme canonique. De plus, cette forme est uniquement déterminée par le complexe initial (voir [Bar]). (2) Sur les espaces m{ on peut définir un autre opérateur de bord ô: M{?> m{_ x par la formule où P( e, m l ) est le nombre (algébrique) de trajectoires intégrales du champ de vecteurs Y:=?V V 2 de à -. Puisque l'attachement des cellules g\ est induit par la rétraction des espaces E x le long des trajectoires intégrales de F, on a [ : Ç^" ] osiet seulement s'il existe (au moins) une trajectoire de Y entre les deux points critiques correspondants. Ainsi, d'après le remarque précédent, les complexes (M*, 9*) et (Ml, s*) ont la même forme canonique..2 Points critiques incidents, liés et libres Soit (M*, 9*) le complexe de Morse en forme canonique d'une fonction de Morse excellente : E=RK?»R.A chaque point critique le générateur E\, c'est-à-dire correspond DÉFINITION. On dit que deux points critiques et ^ de sont incidents si [^ : - ] 0, Zï^ si de = S^". Un point critique est Ztàre s'il n'est lié à aucun point critique.