Chapitre 2 Le régime stationnaire 2.1 Electrostatique 2.1.1 Propriétés du champ électrostatique Dans les états stationnaires, le champ électrique est appelé champ électrostatique. Le champ électrostatique E obéit à deux lois : 1. Le champ électrostatique dérive d'un potentiel scalaire V : et par suite, E = grad V (2.1) rot E = 0, E = 0 (2.2) De manière équivalente, le champ électrostatique est à circulation conservative, c'està-dire qu'il satisfait la relation intégrale suivante : E d l = 0 (2.3) où (Γ) est un contour fermé quelconque orienté. (Γ) 2. le champ électrostatique satisfait au théorème de Gauss : Le ux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal à Q/ε 0, Q étant la charge électrique totale contenue dans le volume τ limité par la surface fermée et ε 0 = 8.854187817 10 12 F.m 1 est la permittivité du vide. Cette relation constitue le théorème de Gauss pour le champ électrostatique, qui s'écrit sous la forme intégrale suivante : E d = Q (2.4) ε 0 () i la charge Q est répartie dans l'espace selon une densité volumique de charge ρ, nous avons : Q = ρ dτ (2.5) (τ)
8 Le régime stationnaire Le théorème de Gauss peut alors s'écrire : E d = 1 ε 0 ρ dτ (2.6) () (τ) où () est une surface fermée quelconque orientée vers l'extérieur et (τ) est le volume intérieur à (). En utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradsky, on peut écrire : E d = div E dτ (2.7) () (τ) Le théorème de Gauss étant vrai quel que soit le volume τ, on obtient l'équation aux dérivées partielles suivante qui constitue la forme locale du théorème de Gauss : div E = ρ, ou ρ E = (2.8) ε 0 ε 0 Cette équation relie E aux charges qui constituent les sources du champ électrostatique. 2.1.2 Le vecteur excitation électrique D Dans le vide le vecteur excitation électrique D est déni par la relation : D = ε 0 E (2.9) Le théorème de Gauss pour D s'écrit sous la forme : div D = ρ, ou D = ρ (2.10) 2.1.3 En résumé Les deux équations fondamentales de l'électrostatique sont : D = ε 0 E Forme locale Forme intégrale E conservatif rot E = 0 E d l = 0 Thèorème de Gauss pour D div D = ρ Γ D d = τ ρdτ 2.1.4 Equation de Poisson - Equation de Laplace achant que E = grad V, le théorème de Gauss div E = 1 ρ devient : ε 0 [ div ] grad V = 1 ρ (2.11) ε 0
2.2 Electrocinétique 9 Or le laplacien scalaire de V est déni par : [ ] 2 V = div grad V (2.12) D'où l'équation aux dérivée partielle satisfaite par le potentiel électrostatique V : 2 V = ρ ε 0 (2.13) Cette équation aux dérivées partielles porte le nom de équation de Poisson pour V. En absence de charges électriques, ρ = 0 et on obtient alors l'équation de Laplace pour V : 2 V = 0 (2.14) 2.2 Electrocinétique 2.2.1 Champ électromoteur Lorsqu'un courant électrique circule dans un conducteur, cela implique l'existence d'une force motionnelle f m agissant sur les porteurs de charge q et l'on dénit le champ électromoteur E m par la relation E m = f m q (2.15) La circulation de ce champ le long d'un contour fermé orienté (Γ) n'est pas conservative c'est-à-dire qu'elle est diérente de zéro. Par dénition cette circulation est appelée la force électromotrice e relative au contour considéré : e = E m d l (2.16) (Γ) On peut bien entendu dénir la f.é.m relative à un tronçon ÂB orienté, non fermé : e dab = E m d l (2.17) dab 2.2.2 Le vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant j, le vecteur tangent à la ligne de courant, et déni par j = ρ v (2.18) où ρ est la densité volumique de charges mobiles et v la vitesse d'entraînement de ces charges mobiles. Le module de ce vecteur représente la charge qui traverse par unité de temps, l'unité de surface perpendiculaire à la direction de déplacement des charges mobiles ; il s'exprime en A.m 2. En régime stationnaire, c'est-à-dire lorsque le vecteur densité de courant j est indépendant
10 Le régime stationnaire du temps, le ux de j est conservatif ce qui se traduit par les relations intégrale et locale : j d = 0 (2.19) () div ( j) = 0 (2.20) 2.3 Magnétostatique 2.3.1 Le champ magnétique Le champ magnétostatique B obéit à deux lois : 1. Le ux du champ magnétique à travers une surface fermée quelconque est nul. On dit que le champ magnétostatique est à ux conservatif. Cette propriété est traduite par l'intégrale suivante : B d = 0 (2.21) () En tenant compte du thèorème de Gauss-Ostrogradski, on obtient la forme locale du théorème de Gauss pour B : div B = 0 ou B = 0 (2.22) 2. Le champ magnétique B créé par un courant I est donné par le théorème d'ampère : B d l = µ 0 I (2.23) Γ où Γ est une courbe fermée quelconque traversée par le courant électrique I. µ 0 est la perméabilité magnétique du vide. i le courant I correspond à une distribution de charges électriques mobiles dénissant un vecteur densité de courant j, alors le courant I encerclé par la boucle fermée Γ est le ux de j à travers une surface quelconque délimitée par Γ : I = j d (2.24) Le théorème d'ampère s'écrit alors : B d l = µ 0 Γ j d (2.25) En tenant compte du théorème de tokes : B d l = rot B d (2.26) On obtient Γ rot ( B ) d = µ 0 j d (2.27) Cette égalité étant vraie quelle que soit la surface, on obtient la forme locale du théorème d'ampère qui s'écrit : rot B = µ 0 j ou B = µ0 j (2.28)
2.3 Magnétostatique 11 2.3.2 Le vecteur excitation magnétique En introduisant le vecteur excitation magnétique H déni par : H = B µ 0 (2.29) le théorème d'ampère devient rot H d = j d (2.30) ou encore sous la forme locale rot H = j ou H = j (2.31) 2.3.3 En résumé Les deux équations fondamentales de la magnétostatique sont : B = µ 0 H Forme locale Forme intégrale Théorème d'ampère rot H = j H d l = j d Théorème de Gauss pour B div B = 0 Γ B d = 0 2.3.4 Potentiel vecteur A Jauge de Coulomb achant que div B = 0 et que la divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est nulle, on en déduit qu'il existe un champ vectoriel A appelé potentiel vecteur tel que : B = rot A (2.32) Ce potentiel vecteur n'est pas déni de manière unique. En eet considérons un autre champ vectoriel A tel que : A = A + grad φ (2.33) Calculons le champ magnétostatique B associé à A : B = ( rot A ) = rot A + ( ) rot grad φ = rot A = B
12 Le régime stationnaire car le rotationnel du gradient d'un champ vectoriel est égal à zéro. Nous voyons donc que les deux potentiels vecteurs A et A = A + grad φ qui ne dièrent que par grad φ conduisent au même champ magnétostatique B. On dit que le potentiel vecteur est déni à un gradient près. Il faut donc imposer une condition supplémentaire à A. Cette condition est appelée condition de jauge. La plus utilisée en magnétostatique est la condition de jauge de Coulomb qui s'écrit div A = 0 (2.34) Equation de Poisson pour A En remplaçant B par B = rot A dans le théorème d'ampère : rot B = µ 0 j (2.35) et en tenant compte de la jauge de Coulomb div A = 0, on obtient ( ) rot rot A = µ 0 j (2.36) ( ) grad div A lap A = µ 0 j (2.37) lap A = µ 0 j (2.38) Ce résultat constitue l'équation de Poisson pour le potentiel vecteur : lap A = µ 0 j (2.39) En absence de courants, on obtient l'équation de Laplace pour A : lap A = 0 (2.40) 2.4 Exercices Electrostatique Exercice 1 : On donne D = 10 x e x (C/m 2 ) ; déterminer le ux traversant une surface de 1 m 2, perpendiculaire à l'axe des x àl'abscisse x = 3m. Exercice 2 : Déterminer le ux traversant une portion de surface de 1 mm 2, prise à la surface d'une enveloppe cylindrique, autour du point de coordonnées r = 10 m, z = 2 m, φ = 53.2 quand D = 2 x e x + 2 (1 y) e y + 4 z e Z Exercice 3 : On donne en coordonnées cylindriques la répartition de charges suivantes ρ = 5re 2r (C/m 3 ). Utiliser le théorème de Gauss pour trouver D. Exercice 4 : On donne D = ρ 0 z e z dans la région 1 z 1, en coordonnées cartésiennes, et D = (ρ 0 z/ z ) e Z partout ailleurs ; trouver la densité de charges.
2.4 Exercices 13 Exercice 5 : Etant donné le champ excitation électrique D = d ( r 2 + z 2) 3/2 (r er + z e z ) en coordonnées cylindriques, trouver la densité de charges. Exercice 6 : oit D = Q πr (1 cos 3r) e 2 r en coordonnées sphériques, chercher la densité de charge. Exercice 7 : On donne le champ de vecteurs D = (10x 3 /3) e x (C/m 2 ) ; évaluer les deux membres de l'égalité du théorème de la divergence pour le volume d'un cube de 2 m de côté, centré à l'origine et dont les arêtes sont parallèles aux axes. Exercice 8 : oit le champ de vecteurs D = 30 e r e r 2z e z (C/m 2 ) en coordonnées cylindriques, évaluer les deux membres de l'égalité du théorème de la divergence pour le volume limité par r = 2 m, z = 0 et z = 5 m. Exercice 9 : oit le champ D = (10r 3 /4) e r (C/m 2 ) en coordonnées cylindriques ; évaluer les deux membres de l'égalité du théorème de la divergence pour le volume limité par r = 1, r = 2, z = 0 et z = 10 m. Exercice 10 : oit le champ D = (5r 2 /4) e r (C/m 2 )en coordonnées sphériques ; évaluer les deux membres de l'égalité du théorème de la divergence pour le volume délimité par r = 4 m, et φ = π/4. Exercice 11 : oit deux plans conducteurs parallèles, trouver la fonction potentiel dans la région comprise entre les disques parallèles sachant que l'on néglige les eets de bord. Exercice 12 : La région de l'espace entre les plans conducteurs situés en x=0 et x=d, contient une distribution uniforme de charges électriques de densité ρ. Les conditions aux frontières sont : V (x = 0) = 0 et V (x = d) = V 0. Pour 0 x d, calculer : 1. Le potentiel électrostatique V (x), 2. Le champ électrique E. Exercice 13 : oit deux plans conducteurs parallèles y = 0 et y = 0.02 mm ; l'origine des potentiels est prise en y = 0.01 mm. i D = 253 e y (nc/m 2 ) entre les conducteurs, déterminer les potentiels des conducteurs sachant que l'on néglige les eets de bord. Exercice 14 : 1. Calculer le potentiel V (x) dans la région 0 x 1 contenant une densité de charge uniforme ρ = 4ε 0. Ce potentiel doit satisfaire les conditions aux frontières suivantes V (0) = 3V et V (1) = 0V. 2. En déduire le champ électrique E (x). Exercice 15 : Trouver la fonction potentiel et le champ électrique dans la région comprise entre deux cylindres circulaires droits concentriques. Le cylindre intérieur a pour rayon r = 1 mm et est au potentiel V = 0 V ; l'autre a pour rayon r = 20 mm et est au potentiel V = 150V. On néglige les eets de bords.
14 Le régime stationnaire Exercice 16 : La gure ci-contre représente deux cônes conducteurs de même axe et opposés par le sommet. Le demi-angle au sommet est θ 1. Les sommets des deux cônes sont séparés par un isolant en z = 0. Les potentiels des cônes sont respectivement V 1 et V 2. Calculer le potentiel électrostatique V (θ) en fonction de V 1, V 2, θ 1 et θ, pour θ 1 < θ < π θ 1. Exercice 17 : La distribution spatiale du potentiel électrostatique est donnée par la fonction quadratique suivante : V (x, y) = ρ ( x 2 + y 2) 4ε 0 Vérier que cette équation satisfait l'équation de Poisson. Exercice 18 : La distribution de charges électriques dans une région de l'espace est caractérisée par sa densité volumique qui dépend du potentiel électrostatique : ρ = ε 0V λ 2 0 où λ 0 est une constante appelée longueur de Debye. Cette distribution présente une symétrie sphérique. 1. Ecrire l'équation de Poisson en coordonnées sphériques. 2. Faire le changement de variable W = rv et montrer que : d 2 W dr 2 = CW Donner l'expression de C en fonction de λ 0 3. En déduire l'expression de V en fonction de r. Exercice 19 : oit deux sphères concentriques dont les potentiels et les rayons sont respectivement V = 0, r = 0.10 m pour la première sphère et V = 100 V, r = 2.0 m pour la seconde sphère. En supposant qu'il y ait le vide entre les deux sphères concentriques, trouver E et D. Magnétostatique Intensité de courant, Densité de courant Exercice 20 : Dans un conducteur cylindrique de 2 mm de rayon, la densité de courant varie avec la distance à l'axe d'après la relation J = 10 3 e 400r A/m 2. Trouver l'intensité totale du courant. Réponse : 7.51 ma Exercice 21 : Etant donné la densité de courant J = 10 3 sin (θ) e r (A/m 2 ), trouver l'intensité de courant qui traverse la surface d'une sphère de 0.02 m de rayon. Réponse : 3.95A Exercice 22 : Une nappe de courant de largeur 4 m est située dans le plan z = 0 et est parcourue par un courant d'intensité 10 A qui se propage du point origine vers le point (1, 3, 0) m. Trouver l'expression du vecteur densité de courant linéique. Réponse : K = 10 4 ex+3 e y 10 A/m j 1 j 1 z j
2.4 Exercices 15 Exercice 23 : Un courant d'intensité I T, parcourt un lament le long de l'axe des z et pénètre une ne nappe conductrice en z = 0.Exprimer le vecteur densité de courant linéique K pour cette nappe. Réponse : K = I T e 2πr r A/m Théorème d'ampère et champ magnétique Exercice 24 : Calculer le champ magnétique B dans la région entourant un courant liforme rectiligne inniment long, d'intensité I. En déduire le potentiel vecteur A. Réponse : B = µ 0I e 2πr φ, A = µ 0 ln ( r 0r ) ez 2π Exercice 25 : Trouver une expression du champ magnétique B créé par une nappe plane innie de courant, de densité surfacique uniforme K, contenue dans le plan xoy. En déduire le potentiel vecteur A correspondant. Calculer le ux magnétique à travers la surface rectangulaire limitée par les points M (0, 0, 1), N (0, 2, 1), P (0, 2, 2) et Q (0, 0, 2). Réponse : B = ± µ 0 K e 2 z, A = ± µ 0 (z z 2 0) K Exercice 26 : Un conducteur cylindrique creux de faible épaisseur, de rayon a et de longueur innie est parcouru par un courant d'intensité I. Trouver H en tout point, à l'aide du théorème d'ampère. Réponse : H = 0 ou H = I 2πr e θ Exercice 27 : A l'aide du théorème d'ampère, calculer H créé par un conducteur cylindrique plein, de rayon a, parcouru par un courant d'intensité I, uniformément réparti à travers la section droite. Déduire le vecteur densité de courant J à partir de H. Réponse : H = Ir e 2πa 2 θ ou H = I e 2πr θ ; J = I e πa 2 z ou J = 0 Exercice 28 : Dans un système de coordonnées cylindriques, la densité de courant est { 4.5 e J 2r e z A/m 2 0 < r < 0.5m = 0 partout ailleurs Trouver H par le théorème d'ampère. Réponse : H = 1.125 r (1 e 2r 2r e 2r ) e θ ou H = 0.297 r e θ (A/m) Exercice 29 : L'excitation magnétique H en tout point intérieur à un conducteur cylindrique de rayon r 0 = 1 cm est donnée par : ( H = 104 1 r a sin (ar) r ) cos (ar) e 2 θ (A/m) a avec a = π/2r 0. Trouver, en utilisant deux méthodes diérentes, l'intensité totale du courant dans le conducteur. Réponse : I = 8 π A.
16 Le régime stationnaire