CALCUL 1 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES 1. Notions de base Les coordonnnées d un point x = (x 1,..., x n ) de R n sont les réels x 1,..., x n. On peut additionner deux éléments x = (x 1,..., x n ) et y = (y 1,..., y n ), la somme est le point dont les coordonnées sont les sommes des coordonnées de x et y, c est-à-dire x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Si λ est un nombre réel (on dit aussi un scalaire), on peut multiplier λ et x, on obtient λx = (λx 1,..., λx n ). La norme de x R n est le nombre réel positif x = n x 2 i ; la boule ouverte de centre x et de rayon r est l ensemble B r (x) = {y R n, x y < r} et la sphère de centre x et de rayon r est définie par S r (x) = {y R n, x y = r}. La droite affine de R n passant par x et y x est l ensemble D = {x + t(y x), t R}. En dimension 2, un plan affine P de R 3 est un ensemble P = {(x 1, x 2, x 3 ), a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b}, avec (a 1, a 2, a 3 ) 0. Si n 4, un hyper-plan affine dans R n est un ensemble n P = {x, a i x i = b} avec (a 1,..., a n ) 0. 1
2 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES 2. Un peu de topologie dans R n Définition 2.1. Un sous-ensemble U R n est un ouvert si pour tout x U, il existe ε > 0 tel que le produit n [x i ε, x i + ε] est contenu dans U. Dans cette définition, on peut remplacer les intervalles fermés par des intervalles ouverts. Proposition 2.1. Un sous-ensemble U R n est un ouvert ssi pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B r (x) U. Un sous-ensemble F de R n est fermé si son complémentaire F c est ouvert. Proof. La proposition se déduit des inclusions n ]x i ε, x i + ε n [ B ε (x) [x i ε, x i + ε]. n n Exercice 1. Montrez qu une boule ouverte est ouverte et qu une sphère est fermée. Proposition 2.2. Une intersection quelconque de fermés est fermée, une réunion finie de fermés est fermée. De même, une intersection finie d ouvert est ouvert et une réunion quelconque d ouvert est ouvert. Définition 2.2. Soit D un sous-ensemble de R n. L adhérence de D est le plus petit fermé D qui contient D. Exercice 2 (*). Montrez que D existe. Définition 2.3. Une suite de R n est une règle qui à chaque entier k associe un point u k de R n. Définition 2.4. Une suite (u k ) de points de R n converge vers l ssi pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout k N, u k l ε. On dit que l est la limite de la suite (u k ) k N, cette limite est unique. Proposition 2.3. Une suite (u k ) converge vers l ssi chacune des coordonnées de (u k ) converge vers chacune des coordonnées de l. Proposition 2.4. Un ensemble F est fermé ssi toute suite de points de F qui converge a sa limite dans F. Proposition 2.5. Si D est un sous-ensemble de R n, x D ssi pour tout ε > 0, B ε (x) D.
CALCUL 1 3 Proof. Soit x D et ε > 0. Montrons que B ε (x) D. Supposons que B ε (x) D soit vide. Alors le complémentaire F de B ε (x) est fermé et contient D. L intersection A des deux fermés D et 2 F est fermée et chacun d eux contient D donc A contient D. Mais A est strictement contenu dans D puisqu il ne contient pas x, ce qui contredit le fait que A soit le plus petit fermé contenant D. Donc D est contenu dans l ensemble D des x tels que pour tout ε > 0, B ε (x) D 0. Montrons maintenant que D D. Si x D, alors pour tout n, il existe u n D tel que u n B 1 (x). La suite u n est une suite de points n+1 de D D qui converge vers x donc x D (car D est fermé). 3. Fonctions Définition 3.1. Soit D est un sous-ensemble de R n. Une fonction f : D R m est une règle qui associe à chaque élément (x 1,..., x n ) de R n, un élément f(x 1,..., x n ) de R m. On la note aussi parfois f : (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ). Le vecteur f(x 1,..., x n ) de R m a pour coordonnées f 1 (x 1,..., x n ),... f n (x 1,..., x n ), les fonctions f i sont les fonctions coordonnées de f. Si n = 1, alors f(x 1,..., x n ) est un nombre réel, on dit que f est une fonctions scalaire, tandis que si n = m 2 on dit que f est un champ de vecteurs. Si f : R n R m est une fonction, son graphe est l ensemble {(x, f(x)) R n+m, x D}. Malheureusement, on ne peut pas représenter sur le papier le graphe des fonctions pour lesquelles n + m 4. Exemple 1. Graphe des fonctions d une variable à valeurs dans R, à valeurs dans R 2 et graphes des fonctions de deux variables. Définition 3.2 (courbes de niveau). Soient f : D R n R et a R. L ensemble f 1 ({a}) = {x D, f(x) = a} est appelé hypersurface de niveau a de la fonction f. Si n = 3, on dit que f 1 ({a}) est une surface de niveau et si n = 2, on dit que f 1 ({a}) est une courbe de niveau. Exercice 3. Dessinez les graphes et les courbes de niveau des fonctions f(x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = x 2 y 2 et h(x, y) = ax + by si (a, b) 0.
4 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES Exercice 4. Tracez les surfaces de niveau des fonctions f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, g(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 et h(x, y, z) = x + y + z. Définition 3.3 (Composition de fonctions). Soient f : D R m et g : D R k R n tels que g(d ) D. La composée de g et f est la fonction f g : D R m définie par f g(x) = f(g(x)). 4. continuité Dans toute la suite, les ensembles de définitions des fonctions sont des ouverts. 4.1. Limites. Définition 4.1. Soient f : D R m, a D et l R m. on dit que la limite de f en a est l si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x D, si x a δ, alors f(x) l ε. On note lim f(x) = l. x a De la même manière que pour les suites, pour trouver la limite d une fonction en un point, il suffit de regarder les limites des fonctions coordonnées. Remarque 1. Ici encore, si la limite existe, elle est unique. Remarque 2. On peut définir les limites infinies si m = 1 ou les limites en ± si n = 1. Exercice 5. La fonction (x, y) 0 (0, 0)? 4.2. Définition de la continuité. x2 x 2 +y 2 Définition 4.2. Soient f : D R m et a D. continue en a si on a lim f(x) = f(a). x a Exercice 6. Soit f la fonction définie par f(x, y) = f(x, y) = 1 sinon. Montrez que f est continue sur R 2. admet-elle une limite en On dit que f est sin xy xy si xy 0 et Proposition 4.1. Une fonction f : D R m est continue ssi ses fonctions coordonnées le sont. Proposition 4.2. Soit (a 1,..., a n ) R n. La fonction linéaire f : R n R définie par f(x 1,..., x n ) = n a ix i est continue sur R n.
CALCUL 1 5 Proposition 4.3. Soient f et g deux fonctions continues au point x R n et à valeurs réelles. Alors f + g et fg sont continues en x. Proposition 4.4. Soient f : D R n R m et g : D R k R n. Si x R k, g(x) D et si g est continue en x et f est continue en g(x), alors f g est continue en x. Exercice 7. L ensemble des matrices de taille 2 2 s identifie à R 4. Montrez que la fonction déterminant det : M 2 (R) R est continue. Montrez de même que la fonction trace est continue. Exercice 8. Les fonctions suivantes sont-elles continues? f(x, y) = (x 2 y 2 )/(x 2 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. f(x, y) = (x 3 + y 3 )/(x 2 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. Exercice 9. La fonction : R n R est-elle continue? Exercice 10 (*). Soit f : R R une fonction dérivable à dérivée continue (i.e. de classe C 1 ). Montrez que la fonction g : R 2 R définie par g(x, y) = (f(x) f(y))/(x y) si x y et g(x, x) = f (x) est continue (on pourra utiliser la formule intégrale f(x) f(y) = y x f (t)dt). Exercice 11. Soit f la fonction définie sur R 2 par : f(x, y) = 1 2 x2 + y 2 1 si x 2 + y 2 > 1, f(x, y) = 1 2 x2 si x 2 + y 2 1. Montrez que f est continue sur R 2.