S alcul vectoriel et ycentres Exercices Introduction et ycentres de deux points Exercice On considère un triangle On appelle I le milieu de [] émontrer que I Exercice et sont deux points distincts N est le point défini par la relation ) émontrer que les vecteurs et N sont colinéaires ) Placer le point N sur une figure ) Exprimer N comme ycentre des points et N N Exercice est un parallélogramme de centre O Les points M et N sont tels que : M 0 () et N 0 () ) Exprimer M en fonction de en utilisant () Placer M ) Trouver les réels α et β pour que M soit ycentre des points pondérés (, α ) et (, β ) ) Exprimer N en fonction de en utilisant () Placer N ) Trouver les réels α et β pour que N soit ycentre des points pondérés (, α ) et (, β ) 5) Justifier que le quadrilatère NM est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN] Exercice est le milieu de [] émontrer que le ycentre de (, ) (, ) est confondu avec celui de (, ) (, ) Exercice 5 Une balance est constituée d une masse M et d un plateau fixé à l extrémité d une tige Pour peser une masse m, le vendeur place, à une position précise, un crochet sur la tige ette balance a l avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses ) Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet sur le segment [] pour réaliser l équilibre? (M = kg) M M m = m = 5 ) Le point est tel que Quelle est la masse m pesée? (onnées : M = kg)
Exercice Soit un triangle isocèle en tel que = 8 cm et = 5 cm Soit I le milieu de [] ) Placer le point F tel que F et montrer que F est le ycentre des points et pondérés par des réels que l on déterminera ) P étant un point du plan, réduire (en justifiant) chacune des sommes suivantes : P P P P P P ) éterminer et représenter l ensemble des points M du plan vérifiant : M M M M ) et représenter l ensemble des points N du plan vérifiant : N N N N arycentres de trois points et plus Exercice 7 Le centre de gravité comme isoycentre est un triangle, est le milieu de [] On se propose de démontrer la propriété : «est le centre de gravité du triangle» équivaut à «0» ) Quelle égalité vectorielle entre et ' caractérise le centre de gravité? ) a) Prouver que ' b) En déduire la propriété énoncée au début de l exercice ) a) Quelle interprétation cette propriété peut-on donner en physique? b) Traduire l égalité 0 en terme de ycentre Exercice 8 Soit un carré et K le ycentre des points pondérés (, ), (, ), (, ) et (, ) On note I le ycentre des points pondérés (, ), (, ) et J celui de (, ) et (, ) ) Placer I et J en justifiant ) Réduire l écriture des vecteurs suivants : K K et K K En déduire que K est le ycentre de (I, ) et (J, ) ) Placer K en justifiant Exercice 9 On considère un triangle et l on désigne par le ycentre de (, ), (, ) et (, ) ) onstruire le ycentre I de (, ) et (, ) ) émontrer que I 0 En déduire la position de sur (I) Exercice 0 est un triangle On note le ycentre de (, ), (, ) et (, ) Le but de l exercice est de déterminer la position précise du point ) Soit I le milieu de [] émontrer que I ) En déduire que est le ycentre de et I munis de coefficients que l on précisera ) onclure
Exercice ) Placer dans un repère les points (, ), (, ) et (, 5) Soit le ycentre des points pondérés (, ), (, ) et (, ) ) Quelles sont les coordonnées de? Placer ) La droite () passe t-elle par l origine du repère? Justifier Exercice est un triangle Soit le ycentre de (, ), (, ) et (, ) émontrer que les droites () et () sont parallèles Exercice est un triangle On considère le ycentre de (, ) et (, ), le ycentre de (, 5) et (, ) ainsi que le ycentre de (, 5) et (, ) émontrer que les droites ( ), ( ) et ( ) sont concourantes Indication : on pourra considérer le ycentre de (, 5), (, ) et (, ) Exercice est un triangle de centre de gravité On définit les points P, Q, R, S, U, V par : P, Q, R, S, U, V R P S Q V U ) émontrer que P est le ycentre de (, ) et (, ) et que V est ycentre de (, ) et (, ) ) En déduire que est le milieu de [PV] ) On démontre, de même, que est le milieu de [RU] et de [SQ] (inutile de refaire les calculs) émontrer que RPUV est un parallélogramme Exercice 5 Soit un triangle et un point vérifiant : 0 Le point est-il ycentre des points pondérés (, 5), (, ) et (, )? Justifier Exercice est un carré ) Quel est l ensemble E des points M du plan tels que M M M =? ) Représenter cet ensemble E
Exercice 7 est un quadrilatère et est le ycentre de (, ), (, ) (, ) (, ) onstruire le point et expliquer votre construction Exercice 8 ans le triangle, E est le milieu de [] et est le ycentre de (, ), (, ), (, 5) émontrer que,, et E sont alignés Exercice 9 est un quadrilatère On note son isoycentre Le but de cet exercice est de préciser la position du point ) On note I le milieu de [] et J le milieu de [] émontrer que est le ycentre de I et J munis de coefficients que l on précisera ) onclure et faire une figure ) Si est un parallélogramme, préciser la position du point Exercice 0 est le triangle donné ci-dessous Y est le milieu de [] ) Placer, en justifiant, le ycentre U de (, ) et (, ) Puis placer le ycentre E de (, ) et (, ) ) Soit le ycentre de (, ), (, ) et (, ) Montrer que est le ycentre de (E, 5) et (, ) ) émontrer que les droites (E), (Y) et (U) sont concourantes Y
Exercice est un quadrilatère est le centre de gravité du triangle I et J sont les milieux respectifs de [] et [] L est le ycentre de (, ) et (, ) K est le ycentre de (, ) et (, ) Le but de l exercice est de démontrer que les droites (IK), (JL) et () sont concourantes I J Pour cela, on utilise le ycentre H de (, ), (, ), (, ) et (, ) ) Placer en justifiant, les points L et K ) émontrer que H est le ycentre de et munis de coefficients que l on précisera ) émontrer que H est le ycentre de J et L munis de coefficients que l on précisera ) émontrer que H est le ycentre de I et K munis de coefficients que l on précisera 5) onclure Exercice La droite d Euler On considère un triangle et le milieu de [] On note O le centre du cercle circonscrit à ce triangle On considère le point H défini par OH O O O [] ) Montrer que O O O' [] ) éduire des deux relations [] et [] que H O' ) En déduire que H appartient à la hauteur issue de dans le triangle On admet, que de la même manière, on peut démontrer que le point H appartient aux deux autres hauteurs du triangle ) Reconnaître le point H 5) Soit le centre de gravité du triangle Montrer que O, et H sont alignés et que OH O arycentres dans l espace Exercice Pour cet exercice, une figure est recommandée E est une pyramide à base carrée E Soit l isoycentre de,,, et E On note O le centre du carré E (c est-à-dire l intersection des diagonales (E) et ()) ) émontrer que O est l isoycentre de E ) émontrer que est le ycentre de (O, ) et (, ) ) Soit le centre de gravité du triangle E et I le milieu de [] émontrer que ( I) Exercice Pour cet exercice, une figure est recommandée est un tétraèdre et est le ycentre de (, ), (, ), (, ) et (, ) On note H le centre de gravité du triangle (c est-à-dire H est l isoycentre de,, ) ) émontrer que est le ycentre de (H, ) et (, ) ) Situer le point sur la droite (H)
ivers Exercice 5 [] est un segment tel que = cm est le ycentre des points (, 7) et (, ) ) onstruire (et justifier la construction) ) M est un point quelconque du plan Réduire la somme 7 M M ) M est un point quelconque du plan Réduire la somme 5 M M en utilisant un ycentre noté H ) En déduire l ensemble des points M du plan tels que 7 M M = 5 M M 5) Représenter l ensemble de ces points sur la figure
S alcul vectoriel et ycentres orrection des exercices Introduction et ycentres de deux points Exercice On considère un triangle On appelle I le milieu de [] émontrons que I I I I I I I I 0 I Exercice et sont deux points distincts N est le point défini par la relation N N ) émontrons que les vecteurs et N sont colinéaires Exprimons N en fonction : N N N N N N N N N N N ) Pour placer le point N, on divise le segment [] en trois parties égales et on place N ) omme N N alors N N 0 donc N est le ycentre de (, ) et (, ) Ou encore N N 0 alors N est le ycentre de (, ) et (, ) Exercice est un parallélogramme de centre O Les points M et N sont tels que : M 0 () et N 0 () ) Exprimons M en fonction de en utilisant () M 0 M M e qui permet de placer M ) omme M 0 alors M M M 0 puis M M M 0 onc M M 0 et M M 0 insi α = et β = pour que M soit ycentre des points pondérés (, α ) et (, β ) ) Exprimons N en fonction de en utilisant () N 0 N 0 N 0 N 0 N 0 N N ) omme N 0 alors N N N 0 donc N N N 0 et N N 0, donc N N 0 insi α = et β = pour que N soit ycentre des points pondérés (, α ) et (, β ) N O M
5) Justifions que le quadrilatère NM est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN] M et N donc M N N omme M N alors NM est un parallélogramme Les diagonales [MN] et [] ont le même milieu omme O est le milieu de [] alors O est aussi le milieu de [MN] Exercice est le milieu de [] émontrons que le ycentre de (, ) (, ) est le ycentre H de (, ) (, ) omme est le ycentre de (, ) et (, ) alors 0 (*) onc 0 puis 0 soit d où omme H est le ycentre de (, ) et (, ) alors H H 0 (H est le milieu de []) onc H H 0 puis H 0 donc H 0 et H omme et utre solution H alors H omme H est le ycentre de (, ) (, ), alors H est le milieu de [], donc omme est le ycentre de (, ) et (, ) alors 0, puis, donc, donc puis et onc, les points et sont confondus Exercice 5 Une balance est constituée d une masse M et d un plateau fixé à l extrémité d une tige Pour peser une masse m, le vendeur place, à une position précise, un crochet sur la tige ette balance a l avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses ) Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet sur le segment [] pour réaliser l équilibre? (M = kg) M M m = m = 5 après le principe des leviers M m 0 donc m m M onc 0 puis (situation, m = et M = ) 5 onc 5 0 puis 5 (situation, m = 5 et M = ) 7 ) Le point est tel que Quelle est la masse m pesée? (onnées : M = kg) 0 0 après le principe des leviers ( M m 0 ) on a donc m =
Exercice Soit un triangle isocèle en tel que = 8 cm et = 5 cm, I le milieu de [] ) omme F (ou F ), est le milieu de [F] onc F 0 puis F F F 0 et F F 0 soit F F 0 On en déduit que F I F ) P étant un point du plan, réduire (en justifiant) chacune des sommes suivantes : P P = P P P P = PF car F = PI (identité du parallélogramme) P P = P P = P P = P P = ) éterminons l ensemble des points M du plan vérifiant : M M M M onc MI MF (d après ce qui précède) L ensemble des points M vérifiant cette relation est donc la médiatrice de [IF] ) éterminons l ensemble des points N du plan vérifiant : N N N N onc NI d après la question ) L ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon arycentres de trois points et plus Exercice 7 Le centre de gravité comme isoycentre est un triangle, est le milieu de [] On se propose de démontrer la propriété : «est le centre de gravité du triangle» équivaut à «0» ) L égalité vectorielle ' = caractérise le centre de gravité ) a) Prouvons que ' ' ' ' ' ' ' ' ' b) On en déduit la propriété énoncée au début de l exercice : ' 0 0 ) a) Un triangle est tenu en équilibre sur une pointe à condition que celle-ci soit au centre de gravité b) 0 est l isoycentre des points,, est ycentre des points (, ) (, ) (, )
Exercice 8 est un carré et K le ycentre des points pondérés (, ), (, ), (, ) (, ) ) I est le ycentre des points pondérés (, ), (, ) I I 0 I I 0 I I 0 I 0 I I e qui permet de placer le point I ( est le milieu de [I]) J est le ycentre des points pondérés (, ) et (, ) J J 0 J J 0 J 0 J J e qui permet de placer le point J ) Réduisons l écriture des vecteurs suivants : K K et K K K K = KI car I est le ycentre des points pondérés (, ), (, ) K K = KJ car J est le ycentre des points pondérés (, ) et (, ) omme K est le ycentre des points pondérés (, ), (, ), (, ) (, ) alors K K K K 0 donc KI KJ 0 KI KJ insi K est le ycentre de (I, ) et (J, ) ) Pour construire le point K, on place d abord I (sachant que I est le symétrique de par rapport à ) puis on place J (sachant que J ) Pour finir on utilise : KI KJ 0 KI KI IJ 0 KI KI IJ 0 KI IJ 0 IK IJ IK IJ, ce qui permet de placer le point K La méthode est à retenir : Pour placer le ycentre de points (, α ), (, β ), (, γ ) (, δ ) : On construit d abord I le ycentre de (, α ) (, β ) et J le ycentre de (, γ ) (, δ ) Puis on construit K le ycentre de (I, α + β ) et (J, γ + δ ) Exercice 9 On désigne par le ycentre de (, ), (, ) et (, ) ) I est le ycentre des points (, ) et (, ) donc I I 0 puis I I 0 onc I I 0 et I 0 d où I ette relation permet de construire le point I sans problème ) est le ycentre des points (, ), (, ) et (, ) donc par associativité du ycentre est aussi ycentre des points (, ) et (I, ) ela entraîne que I 0 utrement dit, est le milieu de [I] Exercice 0 est un triangle On note le ycentre de (, ), (, ) et (, ) Le but de l exercice est de déterminer la position précise du point ) Soit I le milieu de [], on a I I I I I I I I ) le ycentre des points (, ), (, ) et (, ) donc 0 omme I, on a donc I 0 insi est ycentre des points (, ) et (I, ) ) eci montre que est le milieu de [I] utre raisonnement possible : I le milieu de [] donc I est le ycentre des points (, ) et (, ) omme est le ycentre des points (, ), (, ) et (, ), on en déduit par associativité du ycentre, que est ycentre des points (, ) et (I, ) onc est le milieu de [I] 0
Exercice ) Plaçons dans un repère les points (, ), (, ) et (, 5) o 5 - - - Soit le ycentre des points pondérés (, ), (, ) et (, ) ) Les coordonnées de sont données par les formules : y y y et y ( ) ( ) 5 x 8 5 et y 8 0 On place alors le point ) On a O et O 5 x x x x Les vecteurs O et O ne sont donc pas colinéaires Les points O, et g ne sont pas alignés et la droite () ne passe pas par l origine du repère Exercice est un triangle Soit le ycentre de (, ), (, ) et (, ) omme est ycentre des points (, ), (, ) et (, ) alors 0 onc 0 puis 0 soit 0 et eci montre que les vecteurs et sont colinéaires onc les droites () et () sont parallèles Exercice est un triangle On considère le ycentre de (, ) et (, ), le ycentre de (, 5) et (, ) ainsi que le ycentre de (, 5) et (, ) onsidérons le ycentre des points (, 5), (, ) et (, ) omme est le ycentre des points (, ) et (, ), par associativité du ycentre, est aussi le ycentre des points (, 5) et (, ) eci prouve que les points, et sont alignés est le ycentre des points (, 5), (, ) et (, ) omme est le ycentre des points (, 5) et (, ), par associativité du ycentre, est aussi le ycentre des points (, ) et (, ) eci prouve que les points, et sont alignés est le ycentre des points (, 5), (, ) et (, ) omme est le ycentre des points (, 5) et (, ), par associativité du ycentre, est aussi le ycentre des points (, 7) et (, ) eci prouve que les points, et sont alignés onc les droites ( ), ( ) et ( ) sont concourantes
Exercice est un triangle de centre de gravité On définit les points P, Q, R, S, U, V par : P, Q, R, S, U, V R P S Q V U P ) P donc P et P P P puis P P 0, donc V donc V et V V V puis V V et V V 0 onc V ) On a omme P et V, l associativité du P V ycentre donne On en déduit que est le milieu de [PV] ) On démontre, de même, que est le milieu de [RU] et de [SQ] (inutile de refaire les calculs) est le milieu de [RU] et de [PV] donc RPUV est un parallélogramme Exercice 5 Soit un triangle et un point vérifiant : 0 On a 0 donc 0 insi 5 0 et 5 0 donc 9 5 onc le point est le ycentre des points pondérés (, 5), (, ) et (, ) Exercice est un carré ) Notons onc, on a, pour tout point M du plan M M M M M M M = M = M = L ensemble E des points M du plan tels que M M M = est donc le cercle de centre et de rayon ) Représentons cet ensemble E Pour construire, on commence par construire le ycentre des points (, ) et (, ) Puis par associativité du ycentre, g est le ycentre des points (, ) et (, ) donc le milieu de [ ] '
Exercice 7 est un quadrilatère et est le ycentre de (, ), (, ) (, ) (, ) Plusieurs constructions sont possibles Par exemple, on construit le milieu I de [] qui est le ycentre de (, ) et (, ) Puis on construit le milieu J de [] qui est le ycentre de (, ) et (, ) Par associativité du ycentre, le point est alors le ycentre de (I, ) et (J, ) onc le point vérifie la relation I J 0 soit I I IJ 0 puis I IJ 0 et I IJ d où I IJ eci permet de placer le point sans difficulté Exercice 8 ans le triangle, E est le milieu de [] et est le ycentre de (, ), (, ), (, 5) omme E est le milieu de [], c est le ycentre de (, ), (, ) Par associativité du ycentre, est alors le ycentre de (E, ) et (, 5) eci montre que les points,, et E sont alignés Exercice 9 est un quadrilatère On note son isoycentre Le but de cet exercice est de préciser la position du point ) On note I le milieu de [] et J le milieu de [] I est le ycentre de (, ) et (, ) tandis que J est le ycentre de (, ) et (, ) On en déduit par associativité du ycentre que, ycentre de (, ),, ), (, ), (, ) est aussi le ycentre de (I, ) et (J, ) utrement dit, est le milieu de [IJ] ) La figure ne présente aucune difficulté, on construit I, J et qui sont les milieux des segments [], [] et [IJ] ) Si est un parallélogramme, [] et [] se coupent en leur milieu et donc d après ce qui précède les points I et J sont confondus Le point, milieu de [IJ] est alors confondu avec I et J est donc le centre du parallélogramme Exercice 0 est le triangle donné ci-dessous Y est le milieu de [] ) Le ycentre U de (, ) et (, ) vérifie la relation U U 0 soit U U 0 onc 5 U 0 et 5U puis U eci permet de placer le point U 5 Le ycentre E de (, ) et (, ) vérifie la relation E E 0 soit E E 0 onc 5 E 0 et 5 E d où E eci permet de placer le point E 5 ) Soit le ycentre de (, ), (, ) et (, ) omme E est le ycentre de (, ) et (, ), on a par associativité que est le ycentre de (E, 5) et (, ) ) omme est le ycentre de (E, 5) et (, ) alors les points, E, sont alignés omme Y est le milieu de [], Y est aussi le ycentre de (, ) et (, ) est ycentre de (, ), (, ) et (, ), par E U associativité du ycentre, est aussi le ycentre de (, ) et (Y, ) eci prouve que les points, Y et sont alignés omme est le ycentre de (, ), (, ), (, ) et que U est le ycentre de (, ) et (, ), par associativité est le ycentre de (, ) et (U, 5) onc les points,, U sont alignés On peut donc dire que les droites (E), (Y) et (U) sont concourantes en Y
L Exercice est un quadrilatère est le centre de gravité du triangle I et J sont les milieux respectifs de [] et [] L est le ycentre de (, ) et (, ) K est le ycentre de (, ) et (, ) I J K Le but de l exercice est de démontrer que les droites (IK), (JL) et () sont concourantes Pour cela, on utilise le ycentre H de (, ), (, ), (, ) et (, ) ) Plaçons en justifiant, les points L et K Il suffit de voir que L et K ) émontrons que H est le ycentre de et munis de coefficients que l on précisera omme est la centre de gravité du triangle alors omme et H alors ycentre onc H est le milieu de [] ) émontrons que H est le ycentre de J et L munis de coefficients que l on précisera omme L, J et H H alors l associativité du ycentre onc H (JL) ) émontrons que H est le ycentre de I et K munis de coefficients que l on précisera omme K, I et H alors l associativité du ycentre onc H (IK) 5) omme H appartient aux droites (IK), (JL) et () alors elles sont concourantes en H H H d après l associativité du L K J I d après d après