CONCOURS COMMUN 2 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques toutes filières PARTIE A PROBLEME A Soit a R + Pour t >, g a t e a l t Quad t ted vers par valeurs supérieures a l t ted vers si a > et vers si a et doc g a t ted vers si a > et vers si a O peut doc prologer par cotiuité la foctio g a e e posat g a { si a > si a Soit a u réel supérieur ou égal à g a est cotiue sur R + ; g a est de classe C sur ], + [ et pour t >, g a t ata ag a t; puisque a, la foctio g a ag a a ue limite réelle quad t ted vers D après u théorème classique d aalyse, a, g a est de classe C sur R + A2 Soiet a et b deux réels positifs Si t est u réel de [, ], t l est aussi O e déduit que la foctio t g a tg b t est cotiue sur [, ] et doc que Ia, b existe O pose u t O obtiet Ia, b g a tg b t dt g a ug b u du a, b [, + [ 2, Ia, b Ib, a g b ug a u du Ib, a A3 Soiet a et b deux réels positifs ou uls Puisque a + et b +, les deux foctios t t a+ et tb+ t sot de classe C sur [, ] O peut doc effectuer ue itégratio par parties qui fourit b + Ia +, b a + b + t a+ t b dt [t a+ tb+ b + ] t a t b+ dt a + Ia, b + b + a tb+ a + t b + dt a, b R + 2, b + Ia +, b a + Ia, b + http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
A4 Soit a u réel positif Ia, [ ] t a+ ta dt a + a + a R +, Ia, a + Soit alors u etier aturel o ul ce qui reste vrai quad Ia, Ia +, a + a + a + 2 a + Ia +, 2 a + a + 2a + +! a + a + 2a + +, a R +, N, Ia,! a + a + 2a + + A5 Soiet p et q deux etiers aturels d après ce qui précède, Ip, q q! p + p + 2p + q + q!2 p 2 pp + p + 2p + q + p!q! p + q +! p, q N 2, Ip, q p!q! p + q +! A6 Soiet r et q deux etiers aturels Alors 2p + et 2q + O e déduit que la foctio θ cos 2p+ θ si 2q+ θ est cotiue sur [, π ] et doc que Jp, q existe 2 Effectuos le chagemet de variables t si 2 θ O a alors dt 2si θ cosθ dθ puis π π Jp, q 2 si 2p+ θ cos 2q+ θ dθ 2 si 2 θ p si 2 θ q siθcosθ dθ p, q N 2, Jp, q p!q! 2p + q +! t p t q dt 2 Ip, q 2 PARTIE B B Soit a u réel strictemet positif Pour x réel, fx existe a x > x a x > xx a > x ], [ ]a, + [ a >, D fa ], [ ]a, + [ B2 Soiet a et x deux réels tels que < a < x Pour t [x a, x], posos ft l t f est dérivable sur [x a, x] car x a > et e particulier cotiue sur [x a, x], dérivable sur ]x a, x[ De plus, pour t ]x a, x[, x f t t x a L iégalité des accroissemets fiis permet alors d écrire x x a lx lx a x x a, x x a http ://wwwmaths-fracefr 2 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
et doc a, x R, < a < x a x lx lx a a x a B3 Pour x > a, o a fx xlx a lx et doc f x lx a lx + x x a lx a lx + a d après B2 x x a a >, f a est croissate sur ]a, + [ Quad x ted vers a par valeurs supérieures, lx a lx ted vers et puisque a >, il e est de même de xlx a lx a >, lim f a x x a x>a Quad x ted vers +, a x ted vers et doc x l a x a a x x a >, lim f ax a a + O e déduit que la droite d équatio x a est asymptote à C a de même que la droite d équatio y a est asymptote à C a e + Tableau de variatio de f a x a + f x + f a B4 Voir figure page suivate B5 Soit a > Pour etier aturel strictemet supérieur à a, a > et y exp l a expf a Puisque f a est ue foctio strictemet croissate sur ]a, +, pour tout etier strictemet supérieur à a, o a e particulier f a < f + et doc y < y + la suite y est strictemet croissate D autre part, quad ted vers +, f a ted vers a et doc lim y e a + http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 C C 2 C 3 5 6 7 8 PARTIE C 9 C Soiet x R + et N E posat t u et doc u t et du dt, o obtiet F x u u x du t t x dt x+ t x t dt x+ Ix, x R, N, F x x+ Ix, C2 Soit x R + Pour N, o a Déjà + F + x F x + u + u + + u x du + u y + u y uu x du + + u u x du u x du + + y + uu x du u + u x du + y + uu x du par positivité de l itégrale D autre part, d après B5, pour tout réel positif u et etier strictemet supérieur à u, o a y + u y u Par suite, pour tout etier aturel o ul et pour tout réel u de [, ], o a y + u y uu x l iégalité état claire quad u Mais alors, et fialemet F + x F x x R +, la suite F x est croissate y + u y uu x du http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
C3 Soit x u réel positif a D après les théorèmes de croissaces comparées, lim u + ux+2 e u Par défiitio de la limite «avec ε», il existe u réel U tel que, pour u U, o a e u u x+2 et doc U > / u R +, u U e u u x+2 b Soit u u réel et u etier aturel tels que < u < La questio B2 fourit l l u u l u l u l u, et doc ou efi u exp l u exp u e u Cette majoratio reste clairemet vraie quad u ou u et doc N, u [, ], u e u Par croissace de l itégrale, o e déduit ecore N, Soit de ouveau u etier aturel o ul Premier cas Si U, alors F x e u u x du Deuxième cas Si > U, alors e u u x du + u u x du e u u x du e u u x du e u u x du e u u x du + U Fialemet, F x e u u x du e u u x du + e u u x du + U U e u u x du + U e u u x du + U e u u x du + u 2 du U e u u x du u x+2 ux du par défiitio de U et puisque > U [ e u u x du + ] u U x R +, N, F x e u u x du + U c Le réel e u u x du + U e déped pas de Doc la suite F x est majorée D autre part, la suite F x est croissate d après la questio C2 O e déduit que la suite F x coverge http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
C4 Soit x u réel positif et u etier aturel o ul F x + x+2 Ix +, x+2 x + Ix, + + x + x+2 x + + par défiitio d après C d après A3 + + x+ + x+ Ix, + x+2 F +x E faisat tedre vers + das l égalité précédete,o obtiet Fx+ x+fx x+fx O a motré que x R +, Fx + x + Fx Calculos tout d abord F Pour tout etier aturel o ul, d après la questio A5, o a Quad ted vers +, o obtiet F Soit alors k u etier aturel o ul F I,!! +! + ce qui reste vrai quad k Fk kfk kk F k!, k N, Fk k! http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
PROBLEME 2 PARTIE A A Soit s, t R 2 Puisque A 3 et A 4 A 3 A, o a EsEt I + sa + s2 2 A2 I + ta + t2 2 A2 I + s + ta + s2 2 + st + t2 2 A2 I + s + ta + s + t2 A 2 Es + t 2 s, t R 2, EsEt Es + t A2 Soit t R Motros par récurrece que N, Et Et O a déjà Et I Etet la formule proposée est doc vraie pour Soit Supposos que Et Et Alors, d après A et par hypothèse de récurrece, O a motré par récurrece que Et + Et Et EtEt Et + t E + t N, t R, Et Et A3 Soit t R EtE t E tet Et t E I Par suite, t R, Et GL p R et Et E t A4 Soit α, β, γ R 3 Puisque A 3 A 4 et que A 2, o a αi + βa + γa 2 A 2 αi + βa + γa 2 αa 2 α Puis, βa + γa 2 AβA + γa 2 βa 2 β Puis γa 2 et doc γ O a motré que la famille I, A, A 2 est ue famille libre de l espace vectoriel M p R A5 Soit s, t R 2 Puisque la famille I, A, A 2 est libre, o peut idetifier les coefficiets : Es Et I + sa + s2 2 A2 I + ta + t2 2 A2 s t O a motré que s, t R 2, [Es Et s t] et doc L applicatio t Et est doc ijective A6 O trouve A E,2 + E,3 + E 2,3, puis A 2 E,3 et A 3 Par suite, t R, Et t t + t2 2 t http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
PARTIE B B Soiet x, y R 2 x e + y e 2 F 2 6 3 x x 3y y Doc F Vect u où u 3 e + e 2, et e particulier, F est ue droite vectorielle x e + y 3 6 x e 2 G x 2y y Doc G Vect v où v 2 e + e 2 et e particulier, G est ue droite vectorielle Efi, pour w vecteur doé, w F G f w w 2 w w Doc, F G {}, et puisque dimf + dimg + 2, o a motré que R 2 F G B2 Puisque f u 2 u et que f v v, Mat B f diag2, 2 B3 Les formules de chagemet de bases s écrivet ou ecore, si o pose P PB B diagoale telles que Mat B f P B B Mat B fp B B, et D Mat B f, P et D sot respectivemet ue matrice iversible et ue matrice D après B2, D 2, puis d après B, P A PDP 3 2, et efi P B4 Soit N Puisque D Mat B f, o a Esuite, D 2 A Mat B f PMat B f P PD P ou bie A PDP PDP PDP PDDP PD P Par suite, A 3 2 2 32 2 2 32 2 62 + 6 2 2 + 3 N, A 32 2 62 + 6 2 2 + 3 http ://wwwmaths-fracefr 8 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
PARTIE C C Soiet t u réel et u etier aturel Puisque la foctio expoetielle est de classe C sur R, la formule de Taylor-Mac Lauri fourit u réel θ das ], [ tel que Par suite, que et k e t k k! + t+ +! eθt k! t + +! eθt t + +! e t Maiteat, d après les théorèmes de croissaces comparées, pour tout réel t, lim t R, e t lim + k k! + t + et o a doc motré +! C2 Soiet t R et N D après B4, o a E t k 32 k 2 62 k + 6 k! 2 k 2 k + 3 a t b t c t d t, où a t 3 c t 2 2 k! k 2 k! k k k k!, b t 6 k!, d t 2 2 + 6 k! k 2 + 3 k! k k k k!, k! C3 D après C, 3e t R, Et 2t 2e t 6e 2t + 6e t e 2t e t 2e 2t + 3e t C4 Pour tout réel t, o a alors Et e 2t Q + e t R où 3 6 Q et R 2 6 C5 puis puis, et efi Q 2 R 2 QR RQ 3 6 2 6 3 6 2 6 3 6 2 6 2 6 3 6 3 6 2 6 Q, R,, http ://wwwmaths-fracefr 9 c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés
q et r sot doc des projectios De plus, Q + R I 2 ou ecore r Id q q et r sot des projecteurs associés Efi, Kerq est la droite d équatio x 2y et doc Kerq G puis Imq Vect3 e + e 2 F lisible directemet sur les coloes de Q Fialemet, q est la projectio sur F parallèlemet à G et r est la projectio sur G parallèlemet à F C6 Soit s, t R 2 EsEt e 2s Q + e s Re 2t Q + e t R e 2s+t Q 2 + e 2s+t QR + e s+2t RQ + e s+t R 2 e 2s+t Q + e s+t R Es + t Comme e A, o a alors pour tout aturel et tout réel t, Et Et Esuite, puisque E I 2, o a ecore EtE t E tet I 2 et par suite, Et est iversible et Et E t L applicatio t Et est u morphisme du groupe R, + das le groupe GL 2 R, Détermios so oyau Soit t u réel Et I 2 e 2t e t e t t Le oyau de ce morphisme est réduit à {} et ce morphisme est doc ijectif http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 26 Tous droits réservés