SUITES NUMERIQUES Chapitre 1 Suites numériques Ce cours contient à la fois tous les rappels de première et TOUT ce qu il y a à savoir en terminale sur les suites.
I. DEFINITION 1. Définition d une suite Définition Une suite est une application mathématique qui transforme un entier naturel noté n en un unique réel noté U #. Cette transformation peut se schématiser ainsi : n U n Vocabulaire n est appelé indice de la suite. Attention à toujours veiller qu il s agisse bien d un entier naturel. U # est le (n + 1) è,- terme de la suite si n = 0 a un sens. La suite est notée : (U # ). Remarquez bien l utilisation des parenthèses pour parler de la suite. Si les parenthèses sont absentes, on parle tu terme, si les parenthèses sont présentes, alors on parle de la suite. Nous venons de voir qu une suite opère une transformation, voyons maintenant, comment cette transformation est opérée. 2. Définition explicite d une suite Définition Soit n un entier naturel. Soit (U # ) une suite. On dit que U # est définie de manière explicite si et seulement si U # dépend directement et seulement de l indice n. Ainsi la seule donnée dont on a besoin pour calculer U # est n. Cela signifie qu il existe une fonction f telle que : U n = f(n) Exemple Soit n un entier naturel. On pose U # = n 2 + 2n + 2. Dès lors on a : U 4 = 0 2 + 2 0 + 2 = 2 U 6 = 1 2 + 2 1 + 2 = 5 U 2 = 2 2 + 2 2 + 2 = 10 On peut sans problème calculer le 11 ème terme : U 64 = 10 2 + 2 10 + 2 = 122 Page 1
3. Définition par récurrence d une suite Soit n un entier naturel. Soit (U # ) une suite. On dit que (U # ) est une suite définie par récurrence si et seulement si le terme U #;6 dépend du terme précédent U #. Dans ce cas, on est obligé de préciser un terme de la suite, en général on précise le premier terme U 4. Cela signifie qu il existe une fonction f telle que : U n;1 = f(u n ) Exemple : Soit n un entier naturel. On pose U #;6 = 2U #. Dès lors, on a : U 4 = 1 U 6 = 2 U 4 = 2 1 = 2 U 2 = 2 U 6 = 2 2 = 4 Contrairement à la formule explicite, on ne peut pas calculer directement U 64. En effet, nous avons besoin du terme précédent, ici en l occurrence U =. II. VARIATIONS D UNE SUITE Définition Soit (U # ) # N une suite. On dit que la suite (U # ) est croissante si et seulement si : n N, U n;1 U n On dit que la suite (U # ) est décroissante si et seulement si : n N, U n;1 U n Pour étudier les variations d une suite, il existe trois méthodes à choisir judicieusement en fonction du problème que vous devez résoudre. Méthode 1 Vous calculez la différence : U #;6 U # pour un certain n non déterminé. S en suit alors deux cas : Si U #;6 U # 0 alors la suite est croissante Si U #;6 U # 0 alors la suite est décroissante. Page 2
Remarque Si les inégalités sont strictes, cela veut dire que la suite est strictement croissante respectivement décroissante. Méthode 2 Suites numériques Pour un certain entier naturel n non déterminé, si la suite est définie de manière explicite, c est-à-dire que U # = f n, alors on pose la fonction x f(x) puis on étudie les variations de f sur 0; +. Alors les variations de f seront les mêmes que celles de la suite (U # ). Exemple Soit n N, on pose la suite U # = 6 #. On construit la fonction x f x = 6 K. f est définie et dérivable sur 0: + donc on a : f M x = 1 x² Or, x R f M x < 0 On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur R. On conclut ainsi que la suite U # est également strictement décroissante. Méthode 3 On utilise cette méthode lorsque les deux précédentes n ont pas fonctionné a priori. Pour un certain entier naturel n, supposons que U # > 0. Alors si : R STU > 1 alors (U R # ) est croissante. S R STU < 1 alors (U # ) est décroissante. R S Remarque La méthode 3 a pour conséquence directe la définition d une suite croissante ou décroissante. III. REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE SUITE 1. Suite définie explicitement Soit n N, on pose U # = f(n) une suite explicite. Pour représenter la suite U # graphiquement dans un repère, on construit seulement les points M # de coordonnées n; U # sans les relier. On obtient ainsi un nuage de points représentant la suite. Exemple Soit la suite U # définie sur N par : U # = n 2. Alors sa représentation graphique est : Page 3
2. Suite définie par récurrence Soit n N, on pose U #;6 = f(u # ) une suite récursive. Pour tracer la représentation graphique d une telle suite, il faut d abord tracer la droite d équation y = x (appelée couramment la première bissectrice d un repère) ainsi que la courbe représentative de la fonction f qui permet de passer de U # à U #;6 ; on obtient alors : Ensuite, sur l axe des abscisses, on place le premier terme U 4 (en général) : Puis grâce à la courbe représentative de la fonction f on trouve U 6 en construisant l image de U 4 : Là, on remarque que U 4 et U 6 ne se trouvent pas sur le même axe, on ne peut donc les comparer dans la situation actuelle. C est la raison pour laquelle on va reporter U 6 sur l axe des abscisses grâce à la droite d équation y = x : Pour trouver U 2, U X etc, on reproduit les mêmes opérations que nous venons d effectuer, alors on obtient : Page 4
IV. LIMITES Remarque Il faut savoir que la limite d une suite se calcule uniquement en +, c est-à-dire lorsque n +. 1. Limite égale à + Définition Soit n N, on dit que lim # ;^ U# = + si et seulement si : M R, n 0 N, tel que n > n 0, U n > M Cela signifie que vous pouvez choisir un nombre réel M aussi grand que vous voulez, la suite U # finira toujours par dépasser M et rester supérieure à M. Exemple Soit n N, on pose U # = n². Soit M R, on résout alors l inéquation U # > M : U # > M n 2 > M n est positif donc on a : n > M Il faut ici remarquer que M est forcément positif en vertu de la définition. Ainsi nous venons de voir que pour M aussi grand que l on veut, à partir de M, U # devient plus grand que M en d autres termes : lim # ;^ U# = + Page 5
2. Limite égale à Définition Soit n N, on dit que lim # ;^ U# = si et seulement si : m R, n 0 N tel que n > n 0, U n < m On peut donc choisir un réel m aussi petit que l on veut, au bout d un certain rang n 4, la suite (U # ) sera et restera plus petite que m. Exemple Soit n N, on pose la suite suivante : U # = 2n + 3. On veut démontrer que lim # ;^ U# =. Pour cela on résout l inéquation suivante : soit m R U # < m 2n + 3 < m 2n < m 3 n > m 3 2 En effet, nous voyons bien que même si on choisit une valeur extrêmement petite pour m, au bout d un certain rang, U # < m. En d autres termes, lim # ;^ U# =. 3. Limite finie Définition Soit n N, on dit que lim # ;^ U# = l, où l R si et seulement si : ε R ;, n 0 N tel que n > n 0, U n l ε; l + ε Exemple Démontrons à l aide de cette définition que la suite U # = 6 tend vers 0 en +. Pour cela il va falloir # vérifier qu à partir d un certain rang, toute la suite U # est comprise dans l intervalle l ε; l + ε. Soit ε > 0 Vérifions d abord que U # > l ε = 0 ε = ε : Ici, l = 0 car on veut démontrer que la suite U # tend vers 0. Donc l ε = ε. Or ε < 0 car ε > 0 par définition. De plus 6 # > 0 : trivial. Donc 6 # > 0 > ε. Page 6
Montrons maintenant que U # < l + ε = ε car l = 0 à partir d un certain rang : 6 # < ε n > 6 j Ainsi nous voyons clairement qu à partir de 6 j, U # < ε On conclut finalement que lim # ;^ U# = 0 4. Théorèmes de comparaison Théorème Soit (U # ) et (V # ) deux suites définies sur l ensemble des entiers naturels. Supposons que n N, U # V #. Alors : Si lim n ;^ Un = + alors lim n ;^ Vn = + Si on suppose que n N, U # V #, alors : Si lim n ;^ Un = alors lim n ;^ Vn = Démonstration ROC (seule la démonstration en + est exigible) 5. Théorème des gendarmes (admis, démonstration hors programme) Soit (U # ), (V # ) et W # trois suites définies sur l ensemble des entiers naturels. Supposons alors que : n N, U # V # W #. Supposons également que lim # ;^ U# = lim # ;^ W# = a où a est un nombre réel ou + ou. Alors on a : lim n ;^ Vn = a Observation Si deux gendarmes emmènent un voleur en prison, le voleur aussi va en prison. Page 7
6. Limites usuelles à connaître Soit n N, il faut connaître tous les résultats suivants (très intuitifs, inutile de faire du par cœur) qui peuvent être utilisé en contrôle ou au baccalauréat sans justification, la mention «on sait que» suffira : lim n = + # ;^ lim # ;^ n2 = + lim n = + # ;^ lim # ;^ 6 # = 0 lim # ;^ lim # ;^ 6 # t = 0 6 # = 0 Pour tout entier naturel k non nul on a : lim # ;^ nv = 0 Pour tout entier naturel k non nul on a : lim # ;^ 6 # w = 0 7. Opération sur les limites 1. LIMITE D UNE SOMME 2. LIMITE D UN PRODUIT 3. LIMITE D UN QUOTIENT Remarque Tous les tableaux sont à connaître mais par forcément à apprendre par cœur car la plupart des résultats du tableau sont très intuitifs. Il suffit en réalité de ne retenir que les formes indéterminées marquées F. ind. Nous verrons en TD quelles sont les méthodes qui permettent de lever les indéterminées. Page 8
8. Convergence et divergence d une suite Définition Soit n N, on dit qu une suite (U # ) est convergente si et seulement si sa limite est finie c est-à-dire : lim n ;^ Un = l R On dit que le suite (U # ) diverge si et seulement si sa limite est infinie : lim n ;^ Un = ± 1. SUITE MAJOREE, MINOREE ET BORNEE Soit n N, on dit qu une suite (U # ) est majorée si et seulement si : M R TEL QUE n N, U # M On dit qu une suite (U # ) est minorée si et seulement si : m R TEL QUE n N, U # m On dit qu une suite (U # ) est bornée si et seulement si : M R ET m R TEL QUE n N, m U # M Remarque Une suite est bornée si elle est majorée et minorée. 2. THEOREMES DE CONVERGENCE Théorème 1 Toute suite croissante et non majorée est divergente vers +. Toute suite décroissante et non minorée est divergente vers. Démonstration ROC Page 9
Théorème 2 (admis) Toute suite croissante et majorée est convergente Toute suite décroissante et minorée est convergente. V. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE (TRES IMPORTANT) 1. L effet domino Soit une file de dominos disposés les uns après les autres : Imaginez qu on arrive à faire tomber le premier domino : c est l initialisation. Imaginez encore que si on arrive à faire tomber un n è,- domino quelconque alors, le (n + 1) è,- domino tombe impérativement : c est l hérédité. On peut alors conclure légitimement que tous les dominos vont tomber. 2. La démonstration par récurrence La démonstration par récurrence consiste à transposer parfaitement l effet domino à une propriété mathématique. Définition-théorème Soit une propriété mathématique notée P # définie sur N. n Si la propriété est initialisée au rang 0 ou à un autre premier rang n 4. n Et si la propriété est héréditaire, c est-à-dire que pour un certain entier naturel n 0 ou n n 4 on a P # P #;6. ALORS LA PROPRIETE P { est vraie à partir du rang 0 ou bien à partir du rang n 4. Exemple : Page 10
VI. SUITES ARITHMETIQUES 1. Définition explicite Soit (U # ) une suite définie sur l ensemble des entiers naturels. On dit que (U # ) est une suite arithmétique si et seulement si : n N, U n = U 0 + nr Remarque Si au lieu d avoir U 4, on a U ~ où p est un entier naturel, alors : la formule devient : n N, U n = U p + (n p)r 2. Définition par récurrence On remarque qu une suite est arithmétique si et seulement si ses termes successifs sont toujours séparés par la même raison r. Ceci se traduit par la formule suivante : U n;1 = U n + r U 0 précisé ou un autre terme Vocabulaire U 4 est le premier terme de la suite r est la raison de la suite. 3. Variations Une suite (U n ) arithmétique est strictement croissante si et seulement si r > 0 Une suite (U n ) arithmétique est strictement décroissante si et seulement si r < 0 Une suite (U n ) arithmétique est strictement constante si et seulement si r = 0 et cette constante vaut U 0 4. Limites Soit (U # ) une suite arithmétique définie sur l ensemble des entiers naturels lim n ;^ Un = + r > 0 Page 11
lim n ;^ Un = lim n ;^ Un = U 0 r < 0 r = 0 5. Somme des termes d une suite arithmétique Soit n N, soit (U # ) une suite arithmétique. Alors il existe une formule pour calculer la somme de ses termes consécutifs. n iœ0 U i = U 0 + U 1 + U 2 + + U n (premier terme + dernier terme) = nombre de termes 2 VII. SUITES GEOMETRIQUES Pour l ensemble de cette partie, on désigne par (V # ) # N une suite géométrique définie sur l ensemble des entiers naturels dont le premier terme est V 4 et la raison est q 1. Définition explicite (V # ) est géométrique si et seulement si : n N, V n = V 0 q n Remarque Si au lieu d avoir V 4, on a V ~, alors on a : n N, V n = V p q n p 2. Définition de récurrence (V # ) est géométrique si et seulement si : n N, V n;1 = q V n V 0 est précisé ou un autre terme Page 12
3. Variations V 4 > 0 et q > 1 V # strictement croissante. V 4 < 0 et 0 < q < 1 V # strictement croissante. V 4 > 0 et 0 < q < 1 V # strictement décroissante. V 4 < 0 et q > 1 V # strictement décroissante. V 4 = 0 V # strictement constante et égale à 0. q = 1 V # strictement constante et égale à V 4. 4. Limites V 4 > 0 et q > 1 lim # ;^ V# = + V 4 < 0 et q > 1 lim # ;^ V# = 1 < q < 1 lim # ;^ V# = 0 q < 1 lim # ;^ V# n existe pas. En d autres termes la suite n a pas de limite. 5. Sommes des termes d une suite géométrique n iœ0 V i = V 0 + V 1 + V 2 + + V n = premier terme 1 qnombres de termes 1 q Page 13