Dessins géométriques avec L A TEX J. Parizet 13 mai 2014 Montrons sur des exemples que L A TEX permet de dessiner correctement droites et coniques approximées par des arcs de paraboles se raccordant (Bezier. Commandes initiales (paquetages essentiels: \documentclass[french,11pt]{article} %11pt,12pt \usepackage[french,english]{babel} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage[psamsfonts]{amssymb} \usepackage[t1]{fontenc} \author{j. Parizet} \date{ 13 mai 2014} \title{\section*{ Dessins géométriques avec \LaTeX}} \begin{document} \maketitle... Mise en page du cadre du dessin rapporté implicitement à un repère orthonormé d axes parallèles à ses côtés d unité 1.5cm;(l,h largeur et hauteur du cadre, (x0,y0 coordonnées du coin en bas à gauche du cadre. \unitlength 1.5cm \begin{picture}(l,h(x0,y0... \end{picture} Quelques commandes. Les données le sont sous forme entière ou décimale arrondie. 1
1Emploi des arcs de paraboles (Bezier dessinés selon [M 0 et M 1 extrémités, M 0,1 intersection des tangentes en ces points] 2 Segment de droite d origine (x 0,y 0, dirigée par le vecteur v(a, b (a, b entiers de [-4,4] et de longueur horizontale (verticale l si a 0 (si a= 0. Vecteur correspondant. Dans les autres cas, le segment est donné par Bezier, avec son point milieu. 3 Conique: comme d arcs de parabole se raccordant. M 0,M 1 étant les extrémités d un tel arc, M 0,1 intersection des tangentes en ces points est obtenu soit à partir d une représentation paramétrique de la conique par exemple pour l ellipse x 2 /a 2 +y 2 /b 2 = 1: x(t, u = a 1 tu, y(t, u = b t + u 1 + tu ; pour 1 + tu t = u on retrouve la représentation initiale de la conique, soit à partir de son équation cartésienne: Σ la matrice de la forme quadratique de cette équation, c Σ sa comatrice proportionnelle à son inverse M 0,1 = ( Σ M 0 ( Σ M 1 = c Σ (M 0 M 1 Pour s y retrouver, terminer la dernière ligne de son dessin par %conique 4 Mise en évidence de point par "circle", centré en ce point, en précisant le diamètre, avec * si le cercle est noirci; son diamètre est au plus de 14mm. 5 Inscription dans le dessin (lettres, formule,.. à partir de son point inférieur gauche. Si les caractères sont de corps trop grand pour l échelle du dessin, on peut le modifier globalement. 1\qbezier (x_0,y_0(x_{0,1},y_{0,1}(x_1,y_1 (arc continu ou \bezier{100}(x_0,y_0(x_{0,1},y_{0,1}(x_1,y_1(arc pointillé avec 100 points. 2 \put(3,0{\line(-1,4{3}}, \put(3,0{\vector(-1,4{3}} \qbezier(0,1.6(.6,2.7(1.2,3.8\bezier{50}(0,1.6(.6,2.(1.2,3.8 3 Cas le plus simple de la parabole y^2=2x: x=2t^2, y=2t: \qbezier(x_0,y_0(-x_0,0(x_0,-y_0 %arc de parabole 4 \put(2,4{\circle{.3}}, \put(2,4{\circle*{.3}} 5 On nomme J le point (6,6 sur une droite de pente -1 que l on écrit à peine à droite de celle-ci: \put(6.4,6{j} Modification du corps des caractères: \unitlength.5cm \footnotesize{\begin{picture}... \end{picture}} Parmi les documents traitant de l emploi de L A TEX signalons Apprends LaTeX! sur www.babafou.eu.org de Marc Baudoin (ENSTA et pour les dessins Une courte (? introduction à L A TEX sur tex.loria.fr/general/flshort- 3.3.pdf 2
Cas simple d une conique de Steiner A Ω = A + B + C 3 = G K J G B I C \unitlength.5cm \footnotesize{\begin{picture}(18,15(-7,-1 \put(2,4{\circle*{.3}}\put(-6,0{\line(1,0{18}} \put(-6,0{\line(1,2{6}}\put(12,0{\line(-1,1{12}} \put(3,0{\line(-1,4{3}}\put(-6,0{\line(2,1{12}} \put(12,0{\line(-5,2{15}} %\put(3,0{\vector(4,3{5}} \qbezier(3,0(6,0(7,2 \qbezier(7,2(8,4(6,6 \qbezier(6,6(4,8(1,8\qbezier(1,8(-2,8(-3,6 \qbezier(-3,6(-4,4(-2,2\qbezier(-2,2(0,0(3,0 \bezier{50}(6,0(7,2(8,4\bezier{90}(0,0(-2,2(-4,4\bezier{50}(-2,8(1,8(4,8 \put(-.5,12.3{a}\put(-6.4,-.9{b}\put(12,-.9{c} \put(2,4.5{g}\put(2.7,-.9{i}\put(6.4,6{j}\put(-4,5.7{k} \put(3,0{\circle{.3}}\put(7,2{\circle{.3}}\put(6,6{\circle{.3}} \put(1,8{\circle{.3}}\put(-3,6{\circle{.3}}\put(-2,2{\circle{.3}} \put(6,0{\circle*{.2}}\put(8,4{\circle*{.2}} \put(0,0{\circle*{.2}}\put(-4,4{\circle*{.2}} \put(4,8{\circle*{.2}}\put(-2,8{\circle*{.2}} \qbezier(6,6(4.5,3(3,0\qbezier(6,6(1.5,6(-3,6 \qbezier(-3,6(0,3(3,0 \put(5,11{$\omega=\dfrac{\mathrm{a+b+c}}{3}$}\put(5.7,9.7{$=$\;g} NB: utiliser si possible des points à coordonnées entières voire paires. Ici A(0,12, B( 6,0, C(12,0.Alors I(3,0,..., G(2,4 et tous les points intervenant dans l approximation de Bezier sont à coordonnées entières. 3
Cas très simple d un arc de parabole symétrique par rapport à l axe Ox A B C \unitlength 1.25cm \begin{picture}(9,9(.5,-4.5 \put(-.5,0{\line(1,0{13}} \qbezier(10.125,4.5(-10.125,0(10.125,-4.5%arc de parabole \qbezier(.5,1(2.5,-1(4.5,-3 \bezier{120}(2,2(5,-1(8,-4 \bezier{70}(3,-4(4,-4(8,-4 \qbezier(.5,1(1.25,1.5(2,2 \bezier{120}(.5,1(1.75,-1.5(3,-4 \qbezier(4.5,-3(3.25,-.5(2,2 \bezier{40}(4.5,-3(3.75,-3.5(3,-4 \put(.3,1.2{a}\put(1.8,2.2{b}\put(4.4,-3.5{c} \put(8,-4{\circle{.1}} \end{picture} Illustration de la propriété: les parallèles issues de A et C à (BC et (AB se rencontrent en un point d où la parallèle à l axe de la parabole rencontre celle-ci en un point de la parallèle issue de B à (AC. 4
Coniques bitangentes \unitlength.5cm \begin{picture}(20,16(-14,-8 \put(-14,0{\line(1,0{20}}\put(-3,-8{\line(0,1{16}} \put(-14,-8{\line(1,1{16}} \put(2,-8{\line(-1,1{16}}\put(0,0{\circle{.2}} \put(-3,4{\circle{.3}}\put(-3,-4{\circle{.3}} \qbezier(5,0(5,1.6667(4,3 \qbezier(4,3(3.5714,3.5714(3,4 \qbezier(3,4(1.6667,5(0,5 \qbezier(5,0(5,-1.6667(4,-3 \qbezier(4,-3(3.5714,-3.5714(3,-4 5
\qbezier(3,-4(1.6667,-5(0,-5 \qbezier(-5,0(-5,1.6667(-4,3 \qbezier(-4,3(-3.5714,3.5714(-3,4 \qbezier(-3,4(-1.6667,5(0,5 \qbezier(-5,0(-5,-1.6667(-4,-3 \qbezier(-4,-3(-3.5714,-3.5714(-3,-4 \qbezier(-3,-4(-1.6667,-5(0,-5%cercle \bezier{350}(5,8(-16.33333,0(5,-8%arc de parabole \qbezier(-6,2.64575(-4.80566,2.64575(-3,4 \qbezier(-3,4(-1.48339,5.13746(1.54983,8 \qbezier(-6,2.64575(-7.19434,2.64575(-9,4 \qbezier(-9,4(-10.51661,5.13746(-13.5498,8 \qbezier(-6,-2.64575(-4.80566,-2.64575(-3,-4 \qbezier(-3,-4(-1.48339,-5.13746(1.54983,-8 \qbezier(-6,-2.64575(-7.19434,-2.64575(-9,-4 \qbezier(-9,-4(-10.51661,-5.13746(-13.5498,-8% hyperbole \put(-.614839,6{\circle*{.15}}%contrôle approximation \end{picture} Arcs des coniques précédentes en vue de Bézier: Avec le faisceau λ(x + 3 2 (x 2 + y 2 25 = 0: ( Cercle: M t (5(1 t 2 /(1 + t 2, 10t/(1 + t 2 M t,u 5(1 tu/(1 + tu, 5(t + u/(1 + tu, avec t, u : (0, 1/3, 1/2, 1 et symétries. Parabole: y 2 6x 34 = 0, de tangente en (5,8: 8y 3x 49 = 0 coupant son axe en ( 49/3 16.33333, 0. Hyperbole: x 2 y 2 + 12x + 43 = 0; les tangentes en M 0 et M 1 se coupent en ( x0 +6 M 0,1 = y 0 ( x1 +6 y 1 6x 1 +43 = ( 6(y1 x 0 y 0 x 1 +43(y 1 y 0 d où les coordon- 6x 0 +43 x 1 y 0 x 0 y 1 +6(y 1 +y 0 nées ( de M 0,1 données par c Σ (M 0 M 1 : (6(y 1 x 0 y 0 x 1 + 43(y 1 y 0 /(x 1 y 0 x 0 y 1 + 6(y 1 + y 0, ((6(y 1 x 0 y 0 x 1 +43(y 1 y 0 /(x 1 y 0 x 0 y 1 +6(y 1 +y 0 /(x 1 y 0 x 0 y 1 +6(y 1 +y 0 On part des points S( 6, 7, A( 3, 4 et B( 57 6, 8, et on complète les deux arcs par des symétries. Le point noir sur l hyperbole permet d apprécier l approximation. L emploi d une calculatrice est précieux (fonctions de deux variables, produit en croix, produit de matrices... 6
Cercle d Euler lieu des centres des hyperboles équilatères contenant les sommets d un triangle et son orthocentre Considérons le triangle (ABC et son orthocentre H, de coordonnées dans un repère cartésien A(2,6, B(0,0, C(8,0 et H(2,4. Les coniques passant par ces quatre points forment le faisceau Φ t : (x + y(x y 8 + 2ty(x 2 = 0 soit x 2 y 2 + 2txy 8x + (8 4ty = 0. Ce sont des hyperboles équilatères de centres Ω t, pôles de la droite de l infini, donnés par la dernière colonne de la comatrice de la matrice Σ t de Φ t c( 1 t 4 t 1 4 2t 4 4 2t 0 Ainsi Ω t : x(t = 2t2 4t + 4 = ( 00 1 1 + t 2, y(t = 2t + 4 ( 4t 2t 2 4 4+2t 4t 1 t 2 1 + t 2. Le lieu de Ω t est une conique de points à l infini donnés pour t = i et t = i. Le point correspondant à t = i a pour coordonnées homogènes ( 4i + 2, 2i + 4 = i( 4i + 2, 0 (1, i, 0: c est un point cyclique le lieu de Ω t est un cercle, le cercle d Euler car circonscrit aux pieds des hauteurs du triangle. Son centre, intersection de ses tangentes aux points cycliques (ses asymptotes a pour coordonnés x(i, i = (2 + 4/2, y(i, i = 4/2 soit (3,2. La représentation paramétrique permet le dessin du cercle (dans l approximation de Bezier en utilisant les valeurs du paramétre pour les points connus du cercle (pieds de hauteurs, milieux des segments [BC], [AH] etc par exemple, 2, 1, 1/3 et terminant par une symétrie par rapport au centre du cercle correspondant à t 1/t. Soit l hyperbole du faisceau pour t = 1/2. Son équation cartésienne dans le repère est x 2 y 2 + xy 6x + 6y = 0, son centre est le point A 1 (2, 4 milieu de [AH]. Puisqu elle passe par B, origine du repère, il est naturel de la paramétrer en la coupant par la droite y = tx soit x(t = 6t 8 t 2 t 1, y(t = 6t2 8t t 2 t 1 ; x(t, u = 3(t + u 8 6tu 4(t + u, y(t, u = tu 1/2(t + u 1 tu 1/2(t + u 1. Les asymptotes de l hyperbole, tangentes aux points à l infini de la courbe, sont obtenues à partir des zéros de t 2 t 1 ( (1 ± 5/2 et de la matrice de Φ 1/2 une asymptote est tangente à la courbe en un point à l infini, par exemple pour t = (1 + 5/2 ( 2 1 8 ( 5+ 5 ( 1 2 6 2 5 = 5 1 8 6 0 6 2 5 10 6. 5 Les équations des asymptotes donnent leurs tracés à partir de leurs traces sur (Ox. L arc BC est réunion des arcs BH, ĤP et PC où P est le point de l arc (5,1.59489, d extrémités de paramètres (4/3, 1,.318975, 0. Et on termine le tracé par symétrie par rapport à A 1 centre de l hyperbole. 7
A A 1 H P B C \unitlength.75cm \footnotesize{\begin{picture}(12,8(-4,-.5 \put(0,0{\line(1,0{8}}\put(2,0{\line(0,1{6}} \put(0,0{\line(1,3{2}}\put(8,0{\line(-1,1{6}} \put(0,0{\line(1,1{4}}\put(8,0{\line(-3,1{7,2}} \bezier{40}(4,0(3,2(2,4\bezier{40}(1,1(3,2(5,3 \bezier{40}(1,3(3,2(5,1\qbezier(5,3(4.6667,3.6667(4,4 \qbezier(1,1(1.3333,.3333(2,0\qbezier(2,4(3,4.5(4,4 \qbezier(4,0(3,-.5(2,0 \qbezier(2,4(1.3333,3.6667(1,3 \qbezier(.8,2.4(.857,2.7143(1,3 \qbezier(1,1(.6667,1.6667(.8,2.4 \qbezier(4,0(4.6667,.3333(5,1 \qbezier(5,1(5.5,2(5,3 %cercle \qbezier(4.472,8(2,4(-.472,0\qbezier(-4.472,8(2,4(8.472,0%asymptotes \qbezier(0,0(1.2,1.6(2,2 \qbezier(8,0(6.0746,1.0024(5,1.5949 \qbezier(5,1.5949(3.016,2.508(2,2%1ère branche H \qbezier(4,8(2.8,6.4(2,6 \qbezier(-4,8(.667,5.333(2,6%2ème branche H \put(1.7,2.15{h}\put(-0.1,-.4{b}\put(7.8,-.4{c} \put(1.8,6.2{a}\put(1.5,4.35{a$_1$} \put(5,1.59483{\circle{.1}}\put(4.9,1.7{p} \end{picture}} 8