Les espaces nuls, les espaces des colonnes et les transformations linéaires Algèbre linéaire I MATH 57 F Marie-Gabrielle Vallet Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 4 mars 22
Espace nul (p. 226) Définition L espace nul d une matrice A de taille m n, noté Nul A, est l ensemble de toutes les solutions de l équation homogène Ax =. En notation ensembliste Nul A = {x x IR n et Ax = }. [ ] 3 2 Exemple : Soit A = et u =. 5 9 (a) Nul A est un sous-ensemble de IR k. Que vaut k? (b) Est-ce que u appartient à Nul A? Solution : A a 3 colonnes, donc k = 3. [ ] [ ] 3 2 Au = 4 = 5 9 5 u n appartient pas à Nul A car Au.
Espace nul et sous-espace (p. 227) Théorème (2) L espace nul d une matrice A de taille m n est un sous-espace de IR n. De façon équivalente, l ensemble de toutes les solutions d un système Ax = de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de IR n. Démonstration. Nul A est un sous-ensemble de IR n car A a n colonnes. On doit vérifier les propriétés a, b et c des sous-espaces. (a) appartient à NulA car A =. (b) Soient u et v dans Nul A. Alors Au = et Av =. Donc A(u + v) = Au + Av = c est-à-dire u + v appartient à NulA. Ça prouve que Nul A est fermé pour l addition vectorielle. (c) Soit u dans Nul A et c un scalaire. Alors A(cu) = cau = c =. Donc Nul A est fermé pour la multiplication par un scalaire.
Description explicite de Nul A (p. 228) Nul A est défini implicitement par une relation qui permet de vérifier si un vecteur en fait partie. Pour en donner une description explicite, on doit résoudre l équation Ax =. Algorithme pour trouver les vecteurs qui appartiennent à Nul A.. Réduire par rapport aux lignes la matrice augmentée [ A ] jusqu à la forme échelonnée réduite. 2. Écrire les variables de base en fonction des variables libres. 3. Décomposer la solution générale en une combinaison linéaire de vecteurs dans laquelle les poids sont les variables libres. 4. L ensemble des vecteurs obtenus en (3.) forme un ensemble générateur de Nul A.
Description explicite de Nul A (p. 228) Remarque : Si Nul A {}, le nombre de vecteurs de l ensemble générateur de Nul A obtenu par l algorithme est égal au nombre de variables libres dans Ax =. Remarque 2 : Les vecteurs obtenus par cette méthode sont linéairement indépendants.
Espace des colonnes d une matrice (p. 229) Définition L espace des colonnes d une matrice A de taille m n est l ensemble, noté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. Si A = [a a n ], alors Col A = L{a,...,a n } Théorème L espace des colonnes d une matrice A de taille m n est un sous-espace de IR m. Démonstration. C est clairement un sous-ensemble engendré. Une combinaison linéaire des colonnes de A s écrit Ax où x est le vecteur constitué des poids de la combinaison linéaire. Col A = {b IR m b = Ax pour un x IR n }.
Espace des colonnes d une matrice (p. 229) Exemple : Soit A = 2 3 2 4 7 3 6. (a) Col A est un sous-espace de IR k. Que vaut k? (b) Donner un vecteur non nul de ColA. (c) Est-ce que u = appartient à ColA?
Espace des colonnes d une matrice (p. 229) Solution : (a) A a 4 lignes, donc Col A est un sous-espace de IR 4. (b) N importe quelle combinaison linéaire des colonnes de A appartient à Col A. Par exemple 2 2 4 6 3 7 = 2 (c) On cherche des poids x,x 2,x 3 tels que x 2 3 + x 2 2 4 6 + x 3 3 7 = C est-à-dire qu on doit résoudre Ax = u. La dernière ligne donne x 3 =. La première ligne donne alors x = 2x 2. En reportant dans la deuxième ligne, on voit que le système est incompatible. Donc u n appartient pas à Col A.
Tableau comparatif de Nul A et ColA (p. 232) Nul A. Nul A est un sous-espace du domaine IR n. 2. Nul A est défini implicitement ; on connaît une condition (Ax = ) à laquelle les éléments de Nul A doivent satisfaire. 3. Cela prend du temps pour trouver les vecteurs de Nul A. Il faut effectuer des opérations sur les lignes de [ A ]. 4. Il n y a pas de relations évidentes entre Nul A et les éléments de A. Col A. Col A est un sous-espace du codomaine IR m. 2. Col A est défini explicitement ; on sait comment construire les vecteurs de Col A. 3. Il est facile d obtenir les vecteurs de Col A. Les colonnes de A en sont et d autres sont formés à partir d elles. 4. Il y a une relation évidente entre Col A et les éléments de A puisque chaque colonne de A appartient à Col A.
Tableau comparatif de Nul A et ColA (p. 232) Nul A 5. Un vecteur x représentatif de Nul A vérifie Ax =. 6. Il est facile de vérifier si un vecteur x donné appartient à Nul A, il suffit de calculer Ax. Col A 5. Un vecteur b représentatif de Col A est tel que l équation Ax = b est compatible. 6. Vérifier si un vecteur b donné appartient à ColA peut prendre du temps, il faut effectuer des opérations sur les lignes de [ A b ]. 7. Nul A = {} si et seulement si l équation Ax = n admet que la solution triviale. 8. Nul A = {} si et seulement si la transformation linéaire x Ax est injective. 7. Col A = IR m si et seulement si l équation Ax = b a une solution quel que soit b dans IR m. 8. Col A = IR m si et seulement si la transformation linéaire x Ax est surjective.
Exercices Exemple : Déterminez si les ensembles suivants sont des sous-espaces. {[ ] } x (a) H = : x y = 4 y x (b) V = y : x y =,y + z = z x + y (c) S = 2x 3y : x et y réels 3y
Exercices Solution : [ ] (a) Puisque = n est pas dans H, H espace vectoriel. (b) On écrit les relations sous forme matricielle. [ ] x y z = [ [ ] Donc V = Nul A où A =. Puisque Nul A est un sous-espace de IR 3, V est un espace vectoriel. ] un
Exercices (c) Puisque x + y 2x 3y 3y S = Col A avec A = = x 2 3 3 + y des colonnes, donc S est un espace vectoriel.,. Par conséquent, S est un espace
Noyau et image d un transformation linéaire (p. 232) Définition Une transformation (ou application) linéaire T d un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W est une règle qui envoie chaque vecteur x de V sur un unique vecteur T(x) de W et qui vérifie a. T(u + v) = T(u) + T(v) pour tout u et v, b. T(ku) = kt(u) pour tout u dans V et tout scalaire k dans K. Définition Le noyau d une transformation T est l ensemble de tous les u de V tels que T(u) =. L image de T est l ensemble de tous les vecteurs de W de la forme T(x) pour un x de V. Si T est une transformation matricielle, c est-à-dire T(x) = Ax pour une certaine matrice A, alors le noyau de T est l espace nul de A et l image de T est l espace des colonnes de A.
Noyau et image d une transformation linéaire T V W Noyau V Image W V W b = T(x) x Domaine Codomaine