Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles L ensemble K(X ) des fractions rationnelles () Polynômes et fractions rationnelles 1 / 25

L ensemble K(X ) des fractions rationnelles Définition On appelle fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) à coefficients dans K toute fonction F de la forme F : x P(x) définie sur Q(x) K {x K Q(x) = 0}, où P et Q sont deux polynômes de K[X ], Q n étant pas le polynôme nul. Pour une telle fraction rationnelle, on écrira plus simplement F = P P(X ) ou encore F (X ) =. L ensemble des Q Q(X ) fractions rationnelles à coefficients dans K est noté K(X ). Exemple: F (X ) = X 2 + 3X + 1 2X 6 élément de R(X ). est une fraction rationnelle, c est un () Polynômes et fractions rationnelles 2 / 25

Définition Soit F = P une fraction rationnelle. On dit que F est irréductible si P et Q Q n ont pas d autres diviseurs communs que les polynômes constants non nuls. Exemple: La fraction F (X ) = X 2 + X X 2 n est pas irréductible. Par contre, la fraction G(X ) = X + 1 est irréductible. X Désormais, on ne considère plus que des fractions rationnelles irréductibles. () Polynômes et fractions rationnelles 3 / 25

Définition Soit F = P Q une fraction rationnelle irréductible. Les racines du polynôme P sont appelées les racines ou les zéros de F. Les racines du polynôme Q sont appelées les pôles de la fraction rationnelle F. Si a est un pôle de F, on appelle ordre de multiplicité de a en tant que pôle de F l ordre de multiplicité de a en tant que racine de Q. Si F n est pas nulle, on appelle degré de F et on note deg(f ) le nombre entier relatif deg(p) deg(q). Exemple: On considère la fraction rationnelle F (X ) = X 2 + X 2 (X + 1) 2 (X 3) de R(X ). () Polynômes et fractions rationnelles 4 / 25

Plan 1 Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples () Polynômes et fractions rationnelles 5 / 25

Etape 1 : Partie entière et partie polaire. Proposition Soit F = P Q une fraction rationnelle appartenant à K(X ). Il existe un unique couple (E, R) de polynômes appartenant à K[X ] tel que F (X ) = E(X ) + R(X ) Q(X ) et deg(r) < deg(q). Le polynôme E est le quotient de la division euclidienne de P par Q et R le reste de cette même division euclidienne. Le polynôme E est appelé la partie entière de F et R Q sa partie polaire (ou fractionnaire). () Polynômes et fractions rationnelles 6 / 25

Démonstration. Effectuons la division euclidienne de P par Q : il existe deux polynômes E et R appartenant à K[X ] tels que { P(X ) = E(X )Q(X ) + R(X ) deg(r) < deg(q) On a alors F (X ) = P(X ) E(X )Q(X ) + R(X ) = Q(X ) Q(X ) l existence. On admet l unicité. Exemple: Déterminer les parties entières et polaires de F (X ) = 4X 4 3X 2 + 2X 1 X 2. 1 = E(X ) + R(X ) Q(X ). D où () Polynômes et fractions rationnelles 7 / 25

Etape 2 : Décomposition du dénominateur en facteurs irréductibles Soit F (X ) = E(X ) + R(X ) une fraction rationnelle irréductible de K(X ) Q(X ) (après division euclidienne). Si K = C, on sait que Q est scindé sur C et qu il s écrit Q(X ) = C(X a) m (X b) n... où a, b,... sont les racines de Q de multiplicités respectives m, n..., et C est le coefficient dominant de Q. On a ainsi F (X ) = E(X ) + R(X ) C(X a) m (X b) n.... () Polynômes et fractions rationnelles 8 / 25

Si K = R, on sait que Q se décompose sur R sous la forme Q(X ) = C(X a) m... (X b) n... (X 2 +b 1 X +c 1 ) p (X 2 +b p X +c p ) q... où a, b,... sont les racines réelles de Q de multiplicités respectives m, n...,, C est le coefficient dominant de Q et où le discriminant des trinômes (X 2 + b i X + c i ) est strictement négatif, p, q,... étant des entiers strictement positifs. On a ainsi R(X ) F (X ) = E(X )+ C(X a) m... (X b) n... (X 2 + b 1 X + c 1 ) p (X 2 + b p X () Polynômes et fractions rationnelles 9 / 25

Etape 3 : Décomposition de la partie polaire en éléments simples dans C(X ) Définition On appelle élément simple de C(X ) toute fraction rationnelle de la forme λ (X a) α où λ C, α N et a C. On peut aussi les écrire sous la λ forme (ax + b) α où λ C, α N et a C, b C. Exemples: () Polynômes et fractions rationnelles 10 / 25

Théorème Soit F (X ) = P(X ) une fraction rationnelle irréductible de C(X ). On note Q(X ) a, b,... les pôles de F de multiplicités respectives m, n,.... On note E(X ) la partie entière de F (X ). La fraction rationnelle F s écrit de manière unique sous la forme F (X ) = E(X ) + α 1 X a + α 2 (X a) 2 + + α m (X a) m + β 1 X b + β 2 (X b) 2 + + β p (X b) n +... où α 1,..., α m, β 1,..., β p sont des complexes, les nombres α m et β p étant non nuls. Cette écriture s appelle la décomposition en éléments simples de F dans C(X ). α 1 La partie X a + α 2 (X a) 2 + + α m s appelle la partie polaire (X a) m de F relative au pôle a. () Polynômes et fractions rationnelles 11 / 25

Exemple: Ecrire la forme de la décomposition en éléments simples sur X 4 C(X ) de F (X ) = (X 1)(X 3 1). () Polynômes et fractions rationnelles 12 / 25

Décomposition en éléments simples dans R(X ) Définition On appelle élément simple de R(X ) toute fraction rationnelle de l une des formes suivantes : α (ax + b) m où α R, m N et a R, b R λx + µ (ax 2 + bx + c) p où (λ, µ, c, d) R4, a R, p N, (λ, µ) (0, 0) et = b 2 4ac < 0 Exemples: () Polynômes et fractions rationnelles 13 / 25

Soit F (X ) = P(X ) R(X ) Q(X ) = E(X ) + Q(X ) une fraction rationnelle irréductible de R(X ), avec E la partie entière de F. On note a, b,... les pôles de F de multiplicités respectives m, n,.... On suppose que le dénominateur Q se décompose sous la forme Q(X ) = C(X a) m (X b) n... (X 2 + cx + d) p (X 2 + ex + f ) q... où C est le coefficient dominant de Q, où a, b,... sont les racines réelles de Q, où les réels c, d, e, f,... sont tels c 2 4d < 0, e 2 4f < 0,... et où p, q,... sont des entiers strictement positifs. () Polynômes et fractions rationnelles 14 / 25

Théorème La fraction rationnelle F s écrit de manière unique sous la forme F (X ) = E(X ) + α 1 X a + + α m (X a) m + β 1 X b + + + λ 1X + µ 1 X 2 + cx + d + + λ p X + µ p (X 2 + cx + d) p + γ 1X + δ 1 X 2 + ex + f + + γ q X + δ q (X 2 + ex + f ) q +... β n (X b) n +... où α 1,..., α m, β 1,..., β n, λ 1,..., λ p, µ 1,..., µ p, γ 1,..., γ q, δ 1,..., δ q sont des complexes tels que α m 0, β n 0, (λ p, µ p ) (0, 0) et (γ q, δ q ) (0, 0). Cette écriture s appelle la décomposition en éléments simples de F dans R(X ). α 1 La partie X a + + α m s appelle la partie polaire de F relative (X a) m au pôle a. () Polynômes et fractions rationnelles 15 / 25

Exemple: Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur 2X R(X ) de F (X ) = (X 1) 2 (X 2)(X 2 + 1). () Polynômes et fractions rationnelles 16 / 25

Exemple-méthode de décomposition fraction rationnelle sur R(X ) Voici la méthode pour décomposer n importe quelle fraction rationnelle F = P Q en éléments simples sur R(X ), appliquée sur l exemple F (X ) = X 4 + 3X 3 + 4X 2 + X (X 2 + X + 1)(X 2 + 2X + 1) () Polynômes et fractions rationnelles 17 / 25

1) Recherche de la partie entière On fait la division euclidienne de P par Q et on écrit la division euclidienne de P par Q, on a P = E Q + R F = E + R Q avec E le quotient de cette division et R le reste. Ensuite, on ne modifie plus E (mais il ne faut pas l oublier!!) et on s intéresse uniquement à R Q. () Polynômes et fractions rationnelles 18 / 25

2) Factorisation du dénominateur Q On recherche les racines (réelles, éventuellement complexes) de Q et on écrit sa factorisation. () Polynômes et fractions rationnelles 19 / 25

Décomposition en éléments simples de R Q. Pour chaque facteur de la décomposition de Q, on ajoute un terme à la décomposition de R Q, selon la règle présentée dans le tableau ci-dessous. On a alors R Q sous la forme d une somme d éléments simples, chaque élément simple contenant des coefficients inconnus. facteur de Q (ax + b) Elements simples λ ax + b (ax + b) 2 λ 1 ax + b + λ 2 (ax + b) 2 (ax + b) 3 λ 1 ax + b + λ 2 (ax + b) 2 + λ 3 (ax + b) 3 () Polynômes et fractions rationnelles 20 / 25

Pour les décomposition dans R(X ), on a en plus facteur de Q Elements simples ( ax 2 + bx + c ) λx + µ ax 2 + bx + c ( ax 2 + bx + c ) 2 λ 1 X + µ 1 ax 2 + bx + c + λ 2 X + µ 2 (ax 2 + bx + c) 2 ( ax 2 + bx + c ) 3 λ 1 X + µ 1 ax 2 + bx + c + λ 2 X + µ 2 (ax 2 + bx + c) 2 + λ 3 X + µ 3 (ax 2 + bx + c) 3 () Polynômes et fractions rationnelles 21 / 25

4) Recherche des coefficients inconnus de la décomposition On a obtenu la forme générale de la décomposition, il ne reste plus qu à trouver la valeur des constantes intervenant dans celle-ci. Il existe pour cela plusieurs techniques : Les termes de plus haut degré. Cette méthode permet de trouver la constante sur tous les termes de plus haut degré. Plus précisément, si Q contient le terme (X a i ) n i alors on peut trouver la constante du terme λ (X a i ) n en multipliant les deux cotés de la décomposition par i (X a i ) n i puis en évaluant en x = a i. () Polynômes et fractions rationnelles 22 / 25

Simplification lorsque l on connaît certains coefficients. Si l on connaît certains coefficients, on les passe dans l autre membre de la décomposition, on met tout au même dénominateur, on effectue les simplifications (il y en a toujours) et on n a plus qu à chercher les coefficients d une décomposition plus simple. () Polynômes et fractions rationnelles 23 / 25

Multiplication et passage à la limite en l infini. On multiplie des deux cotés de l égalité par X, puis on prend la limite en +. On obtient ainsi une égalité (simple) entre certains coefficients (ceux de degré maximal). () Polynômes et fractions rationnelles 24 / 25

Prendre des valeurs particulières. Si l on a encore k constantes à déterminer, il suffit d évaluer en k valeurs particulières (le plus simple possible!) qui n annulent pas Q et de les substituer dans la décomposition. On obtient ainsi un système de k équations à k inconnues que l on sait résoudre. Mettre tout au même dénominateur et identifier les coefficients avec ceux de R. Ce qu il ne faut jamais faire sauf si l on ne sait pas quoi faire d autre. () Polynômes et fractions rationnelles 25 / 25