Chapitre 4 : TRANSFORMATIONS DU PLAN On appelle (ou transformation du plan) dans lui-même tout procédé qui, à partir de n importe quel point M du plan, permet de construire un point M du plan. On dit que M est l image de M par cette transformation. M est unique. Les isométries du plan sont les transformations qui conservent les distances : une figure et la figure transformée ont les mêmes dimensions. Elles sont superposables. C est le cas des translations, des symétries (orthogonale et centrale) et des rotations. Il existe aussi des transformations qui ne conservent pas les distances, comme par exemple les homothéties. I) SYMETRIES La symétrie axiale (6ieme) M et M sont symétrique par rapport à la droite (d) signifie que : - [MM ] est perpendiculaire à (d), - M et M sont égale distance de (d). Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent par un pliage le long de l axe de symétrie. La symétrie centrale (5ieme) M et M sont symétrique par rapport au point O signifie que : - M, O et M sont alignés, - MO = OM. Deux figures symétriques par symétrie centrale se superposent par un demi-tour autour du centre de symétrie. II) TRANSLATION Définition : L image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M tel que ABM M soit un parallélogramme. Remarque : Une translation permet de faire glisser une figure parallèlement à une droite sans la déformer ni la retourner. Exemple : B 80m Une translation se définit par : A Une direction parallèlement à la droite (AB) : Câble du téléphérique Un sens ici de A vers B car la téléphérique monte de A vers B, Une distance ici on fait glisser sur la distance AB ici 80 m
Propriété : Une translation conserve les longueurs, les mesures des angles, l alignement des points et les aires. Conséquence : Par une translation l image d une figure est une figure superposable à la figure initiale ; un segment a pour image un segment de même longueur ; une droite (d) a pour image une droite (d ) qui lui est parallèle; un angle a pour image un angle de même mesure ; un cercle de centre I a pour image le cercle de même rayon et de centre I, image de I. III) ROTATION Une rotation est définie lorsqu on connaît : son centre - son sens - son angle Il y a deux sens possibles : Sens direct : sens mathématiques : sens contraire de déplacement des aiguilles d une montre. Sens indirect : sens de déplacement des aiguilles d une montre. Définition : Soit un point O et un angle. L image du point M (M O) par la rotation de centre O, de sens direct et d angle est le point M tel que OM = OM et MOM =. Ici M est l image de M par la rotation de centre O et d angle 60 dans le sens inverse des aiguilles d une montre signifie que : - de M vers M dans le sens de la flèche, - MO = OM Remarque : L image du point O est le point O : on dit que O est un point invariant. Propriété : Une rotation conserve les longueurs, les mesures des angles, l alignement des points et les aires. Conséquence : Par une rotation l image d une figure est une figure superposable à la figure initiale ; un segment a pour image un segment de même longueur ; une droite (d) a pour image une droite (d ) ; une demi-droite a pour image une demi-droite ; un angle a pour image un angle de même mesure ; un cercle de centre I a pour image le cercle de même rayon et de centre I, image de I. Rotations particulières : Une symétrie centrale est une rotation de 180. Un quart de tour est une rotation de 90. Un tour est une rotation de 360.
Construction de polygones réguliers en utilisant la rotation Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets consécutifs s obtiennent par une même rotation. Le centre de cette rotation s appelle le centre du polygone. L angle de rotation est = 360 n où n est le nombre de côtés du polygone. On construit les sommets par rotations successives de centre O et d angle. Exemples : Pour un pentagone = 360 5 soit = 72. IV) HOMOTHETIE L homothétie est une transformation comme la symétrie ou la rotation. Elle permet d agrandir ou de réduire des figures géométriques ou des objets. Définition : Soit un point O, qu on appellera centre, et un nombre k, qu on appellera rapport. Si A est un point, l image de A par l homothétie de centre O et de rapport k est : si k est positif : le point A appartenant à [OA) tel que OA = k OA si k est négatif : le point A appartenant à [AO) tel que OA = k OA Remarque : Lorsque k est inférieur à -1 ou supérieur à 1 on obtient un agrandissement de la figure initiale. Lorsque k est compris entre -1 et 1 on obtient une réduction de la figure initiale. Lorsque k est égal à 1 la figure reste inchangée. Lorsque k est égal à -1 il s agit de la symétrie centrale de 5 ème. Plus simplement avec des exemples : Ici, on a d abord tracé le triangle ABC (bleu). Puis on a tracé son homothétie de centre O et de rapport 3. On obtient le triangle A B C (rouge). Les distances OA, OB et OC ont été multipliées par 3 pour obtenir OA, OB et OC.
Comme le rapport est positif (3), le point A est dans le sens «de O vers A», autrement dit sur la demi-droite [OA). Il en est de même pour B et C. Repartons du triangle ABC (bleu). Puis traçons son homothétie de centre O et de rapport 2. On obtient le triangle A B C (rouge). Les distances OA, OB et OC ont été multipliées par 2 pour obtenir OA, OB et OC. Comme le rapport est négatif (-2), le point A est dans le sens «de A vers O», autrement dit sur la demidroite [AO). Il en est de même pour B et C. Dans ces deux exemples, la figure rouge était un agrandissement de la figure bleue, car les rapports étaient soit supérieurs à 1, soit inférieurs à 1. Propriété : Une homothétie conserve les mesures des angles et l alignement des points. Conséquence : Par une homothétie un segment a pour image un segment ; une droite (d) a pour image une droite (d ) qui lui est parallèle ; une demi-droite a pour image une demi-droite ; un angle a pour image un angle de même mesure ; Thales et les homothéties Lorsqu on applique le théorème de Thales, on peut dire qu un triangle est l image de l autre par une homothétie. Ci-dessous, le triangle AMN est l image de ABC par une homothétie de centre A. Remarque : Des triangles dont les longueurs sont proportionnelles sont appelés triangles semblables.
Voyons dans deux exemples comment utiliser les homothéties pour résoudre des problèmes ou nous utilisions le théorème auparavant. Exemple 1 : Calcul de longueur Les droites (ED) et (BC) sont parallèles. On a EA = 3 cm ; AB = 4,2 cm et AD = 2,8 cm et BC = 5,1 cm Calculons AC et ED. Les droites (ED) et (BC) sont parallèles donc le triangle ABC est l image du triangle AED (ou l inverse) par une homothétie de centre A. d AED d ABC 3 2.8 ED AC 4.2 5.1 Le rapport d agrandissement est 1, 5 AC = 3 1,5 = 4, 5 et ED = 5,1 1,5 = 3,4 Donc, le segment [AC] mesure 4,5 cm et [ED] mesure 3,4 cm Exemple 2 : Parallèles ou pas? Les droites (MP) et (KL) sont-elles parallèles? Il y a donc proportionnalité entre les côtés des deux triangles : d OKL d OMP 4.5 2.5 6.3 3,5 On a bien = = 1,4 Le tableau est bien un tableau de proportionnalité et le rapport est 1,4 Le triangle OKL est donc l image du triangle OMP par l homothétie de centre O et de rapport 1,4 donc les droites (MP) et (KL) sont parallèles.
FIGURES DU COURS