- CHAPITRE 2- CONT INUIT E D UNE FONCT ION D UNE VA RIA BLE R ÉEL LE

- CHAPITRE 2- CONT INUIT E D UNE FONCT ION D UNE VA RIA BLE R ÉEL LE Tab le d es mati` er es 1 Conti nui et 2 1.1 Co ntinuit e en un p oint.................................... 2 1.2 Co ntinuit e s ur un ens emble.................................. 2 1.3 P ropr etés i des fo nctio ns co ntinues............................... 3 2 Im age d un i nterval le par une foncti on conti nue 3 2.1 Thé o eme r` des va leur s inter edia m ir es............................. 3 2.2 Ca s pa r ticulier. s........................................ 4 2.3 Applica tio ns........................................... 4 3 Foncti on récipro que d une fonction strictement m ono tone s ur un i nterval le 5 3.1 Définitio ns et exemples..................................... 5 3.2 Le thé o eme. r`.......................................... 7 1

1 Continu ité 1.1 Cont inuité en un p oint Dé fini ti o n1soit f une fonct ion nu eriqu m e d u ne variable eel r le efi d n ie su r un voisin Vage dex 0. O n dira quef est conti nu e au point x 0 si lim f (x)= f (x 0 ). x x 0 R e m arqu e1 - Dan s la efinit d ion pr ecéden t con e, t rairemen t `a ce a eté quivu dans le calcul de limit e,il fau t qu e la fon ct ionf soit d efi nie au point x 0. - Si lim f (x)= f (x0), on dit qu e la fonct ion f est con t in ue `a droit x0. e en x x + 0 - Si lim f (x)= f (x0), on dit qu e la fonct ion f est con t in ue `a gau che x0. en x x 0 R e m arqu e2 f es t co ntinue en x0 ssif est continue `a dr o ite et `a gauche x0 en f (x)= f (x0) s si lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 1.2 Cont inuité sur un ensemble Dé fini ti o n2soit f une fonct ion nu eriqu m e d u ne variable eel r le efi d n ie su r un en semble A. O n dit qu e la fonct fion est conti nu e sura si f est con t in ue en t ou t poin A. t de Au t remen t dit si x0: A ona lim f (x)= f (x0). x x 0 R e m arqu e3si f est une fonct ion nu eriqu m e d u ne variable eel r le efi d nie su r[ a,b] (aveca <b ), alor s: f est con t in ue su a,b[ r] f sera con t inue su a,b] r[ si: f est con t in ue `a droit a e. en f est con t in ue `a gau che b en O n adapt era facilemen efinit t la d ion sif es t efi d n ie su a r],b] ou en core[ a,b[. R e m arqu e4le graphe (ou encore la cou rbe esen repr t at ive) d u ne fon ct ion con t représ in ue en est e t par un t rait cont inu ; on pou rra donc le const ru ire sans lever le crayon. E xe m pl e1tou te fon ct ion polyn ˆome est con t R. in ue sur Toute fonction rationnel le est continue sur son ensemble efinit de ion. d f (x) = x = O n a: x si x 0 x sin on. Cet te fon ct ion est efi d n ie sur D = R. Et u dions la cont inu e surd it : sur], 0[: f (x) = x doncf est un e fon ct ion polyn ˆome don c est con t in, ue 0[ su r ] s u r ]0, + [: f (x)= x doncf est un e fon ct ion polyn ˆome don c est con, t + [ in ue su r ]0 lim f (x) = lim x =0= f (0) en 0: x O + x O +, doncf est con t in ue en0 lim f (x) = lim ( x) =0= f (0) x O x O En conclu sion, f est con t in ue R. sur 2

y = x 1 + + 1 Figu re 1 Re pr esenta tio n gr a phique f : xde x 1.3 P r opr etés i des fonc t ions cont inues Th é o e r`m e1si f et g sont deu x fonct ions nu eriqu m es d u ne variable eel r le continues sur A et si α et β son t deu x n ombres eels r qu elcon qu es, alors: αf + βg est con t in ue A, sur f.g est con t in ue A, sur f est con t in ue en t ou t poin A o`ug(x) t de =0, g f est con t in ue en t ou t poin A o`uf t de(x) 0. Pre uve. Ce thé o eme r` d eco ule de c fa o n imm edia te du e th o eme r` a na lo g ue sur les limites. Th é o e r`m e2(con t inu e it de la fon ct ion compos ee) Si f est con t in ue Asur alorsg f est con t in ue A. sur Si g est con t in ue f sur (A) Pre uve. Ce thé o eme r` d e co ule du e th o eme r` sur la limite d une fonction comp e e. o s 2 Image d u n intervalle p ar un e fon c tion c ontinue 2.1 Th éo eme r` des valeurs int erm ediair es Th é o e r`m e3th éorème des valeu rs i nterm edi ai res L image d un interval le par une fonction continue est un interval le. Pre uve. Ce thé o eme r` es t a dmis. R e m arqu e5s oienta et b dansi (aveca b). Dire quef (I ) est un interval le signifie que λtout compris en t f re (a) et f (b)est au ssi dans f (I ). (C es t `a dire λ: [f (a);f (b)](ou[f (b);f (a)]), x I telquef (x)= λ.) Cet te remarqu e se t radu it don c en disan t qu e t ou te valeu r comprise f (a) et f (b) en es t re t pris e au m oin s un e fois f par. 3

f (a) a b λ f (b) Figu re 2 Illustr a tio n gr a phique du TVI E xe m pl e2 Mo ntr o ns que la fo nction f définie parf (x)= x 3 5x 2 +x 1 s a nnule au mo ins une fo is sur l inter va lle I = [4 ; 5 ]. La fo nctionf est une fo nctio n p o lynˆo me do nc elle est co R, ntinue do nc en surpa r ticulier sur [4 ; 5 ]. Cho is is so a ns =4 et b= 5, o n a alo f rs (4 ) = 13 f et (5 ) = 4. D a pr` e s le th e o eme r` des va leur s inter edia m ir es, co mme a I et b I alo rsf pr end au moins une fois to ute va leur co mpr ise entre f (a) et f (b). Or λ = 0 [ 13 ; 4], on p eut do nc a ffir mer λ que = 0 est a tteint au mo ins une fo is f, par do ncf s a nnule au mo ins une fo is sur l inter I = va [4 lle ; 5]. R e m arqu e6 - ATTEN TIO N: I et f (I ) ne son t pas ecessairement n des interval les eme de mˆ n at u re. En effet, prenons par ex emple la fonct f défi ionnie par f (x)= x 2. Si I =] 1; 1[ (ou vert ), alors f (I ) = [0 ; 1 [(semi- ou vert ). Si I =] 1; 1 ](semi- ou vert ), f (I alors ) = [0 ; 1] ( ferm e). - On peu t cependant mont rer qu I est e si un interval le ferm e bor e( n I =[a,b] ) alorsf (I ) au ssi. Cela signifie qu e f si est continue sur un interval le e ferm bor e n alorsf es t born ee est at t ein t ses born es. 2.2 Cas par t iculiers Th é o e r`m e4 Si f est continue et croissante sur l interval a,b] le[ (aveca<b ), alor s on a:f ([a,b]) =[f (a),f (b)]. Si f est con t in ue ecroissante et d sur l interval a le[,b] (aveca<b ), alor s on a:f ([a,b]) =[f (b),f (a)]. 2.3 A pplicat ions Th é o e r`m e5th éorème du poi nt fixe Si f est con t in ue I sur =[a,b] alor s c I tel quef (c)= c. S i x I ona f (x) I 4

Pre uve. Po so nsg(x)= x f (x). P uis q ue x I ona f (x) I on en d eduit q ue : x I on a: a f (x) b. E n pa r ticulier p ourx = a o n o btie ant f (a) 0, s o it enc g(a) o re 0 p ourx = b o n o btie b nt f (b) 0, s o it enc g(b) o re 0. Co mme la fo nction g es t la so mme de deux fo nctio ns co ntinues I, on en surd eduit q ueg es t co ntinue suri. Pa r a pplica tio n du e o th eme r` des va leur s inter edia m ir es, on en eduit d q ueg(i ) es t un inter va lle. g(i )est un inter va lle g(a) et g(b)s o nt eléme nts de g(i ) do nc 0 g(i ). et g(a) 0 g(b) Pa r d efinitio n deg(i ), il existe do nc un eléme ntc g(i ) te l q ueg(c) = 0 s o it enc f o (c)= re c. R e m arqu e7cela signifie qu e fsiest con t in ue et I si es t s t able par f alors la fon ct ion f adm et au moin s un poin t fix e dans I. b D : y = x c a Cf a c b Figu re 3 Illustr a tio n gr a phique e du o eme r` th du p o int fixe L e th e o eme r` du p o int fixe sig nifie que la co ur esenta b e r epr tive de la fo nction f et la dr o ite e d q ua tion y = x o nt au mo ins un p o int d intersectio n (Il p eut y en avo ir plusieur s...) 3 Fonction récip ro qu e d u ne fon c tion strictement mon oton e su r un intervalle 3.1 Définit ions et exemples Dé fini ti o n3soit f : E F. O n dit quef est un e bi j ecti on Ede surf si tou elémen t t def pos ede, s` danse, u n an ecédent t unique parf. C es t `a dire y: F,!x E telquey = f (x). Dé fini ti o n4soit f u ne biject ion Ede sur F. La fonct ion qu i y`a F associe l u n ique x E tel quey = f (x) es t appel ee la fonct i on eci r proque def. 5

N o tati on1cet te fonct ion eciproqu r e est eef not 1. R e m arqu e8la fonct ion eciproquef r 1 es t efi d nie surf. x = f O n a: 1 (y) y = f (x). y F x E De plu s, y F ona f f 1 (y)= y et x E ona f 1 f (x)= x. R e m arqu e9dan s u n rep` ere nor m e (u n es it ident iqu es su r chaqu e les ax cou e), rbes repr es en t at ives des fonct ions f etf 1 son t sym et riqu es par rapport `a la ere premi` bissect rice du ere rep` qu i est la droite d équ ation edu r itey = x. E = F = R et f (x) =2x + 3. So ity quelco nque da F ns = R, o n che r che x da nse = R te l q uey =2x +3. Il suffit do nc de eso r udr e cette equa tio n d inco nnue x et o`uy est do nn e. On tr o uvex = y 3 2. L a nt ecé de nt x existe et est unique. La fo nction f est do nc une bijectio n Rde surr. La fo nctio n ecipr r o que est do efinie nc d s urr par f 1 (y)= y 3 2. E = F = R et f (x)= x 2. So ity quelco nque da F ns = R, o n che r che x da nse = R te l q uey = x 2. L o r s q y< ue 0, ce tteéqua tio n n a pa s de so lutio eelle n r et pa r s uite to y< ut 0 n aur a pas d a nt ecédent, do nc f n es t pa s une bijec tio Rn surr. de E = R, F = R + et f (x)= x 2. So ity quelco nque da F ns = R +, o n che r che x da nse = R te l q uey = x 2. C o mmey 0, cetteéqua tio n est so luble ma ede is p oss` deux so lutio ns da R qui ns so ntx = y et x = y, so lutio ns qui so nt dis tinctes y> 0 si; do ncf n es t pa s une bijec tio Rn surr de +. E = F = R + et f (x)= x 2. Cette fo is, co mme y R +, l é q ua tion y = x 2 p os ede s` une seule so lutio n R da + ns q ui estx = y. La fo nctionf est do nc une bijectio n R + desurr +. La fo nctio n ecipr r o q ue est do efinie nc d s urr + par f 1 (y)= y. y = x 2 y = x y = x Figu re 4 Re pr esenta tio n gr a phique f etde f 1 R em arque 10A part ir de ces ex emples, on ret ien dra combien est il import an t de ecifier sp les deux en sem bles E et F. 6

3.2 Le théo eme r` Th é o e r`m e6(th éorème de la bi j ecti on eci r proqu e) Toute fonction strictement monotone sur un interval A réalise le un e biject ion Ade sur f (A). De plu s, la fonct ion eciproquef r 1 est st rict emen t mon ot on f (A) e sur et varie dan s le eme mˆ sen s que f. Preuve. Montr o ns ce esulta r t da ns le ca fs o es `ut s tr ictement cr o is sa A. nte (Un s ur ra is o nnement simila ir e ser a it fa it da ns le fca es s t o s `u tr ictement ecr d o is sa nte A) s ur - Montr o ns que f réa lis e une bijectio An de surf (A). So ity f (A). Pa r d efinitio n def (A), il exis tex A te l q uey = f (x). Pour montr er que f es t bijective, il s uffit de mo ntr er ede l unicit cex. Démo ntr o ns- le pa r l a bsur x de A: si éta it tel quef (x)= f (x )= y et six éta it dis tinct de x (par exemple on a ur x a >x it ), co mmef est s tr ictement cr o issa nte on f a (x ur ) >f a it(x) so it enco rey >y, ce qui est co ntr a dicto ir e. Pa r suitex es t uniq ue fetréa lis e une bijectio An de surf (A). - Montr o ns que f 1 es t s tr ictement cr o is sa f nte (A). s ur So ie nt y 1 et y 2 de ux eléments quelco nq ues f (A) dete ls q ue y 1 <y 2. Il fa ut mo ntr er que f 1 (y 1 ) <f 1 (y 2 ). y1 f (A)! x1 A te l q uey1 = f (x1); de même!x2 A te l q uey2 = f (x2). No us devo ns do nc mo ntr fer 1 que (y1) <f 1 (y2) s o it enc o r e x1 q <x ue 2. E ta blisso ns ce esulta r t `a l a ide d un ra iso nnement pa r l a bsur de. Si o n ava itx1 x2, puis q ue f es t s tr ictement cr o is sa A, nte on s ur a ur a f it(x1) f (x2) so it enco rey1 y2 ce quiest en co ntr a dictio n avec l hyp ese fa o th` ite:y1 <y 2 ; pa r cons eq uent o na bienx 1 <x 2 et f 1 es t s tr ictement cr o is sa f nte (A). s ur E xe m pl e3a =] 2, + [ et f (x) = 2 5 x +2. Mont rons quef est st rict emen t croissan A. te sur Si x 1 >x 2 > 2, alor s on a: f (x 1 ) f (x 2 )= 2 5 Com me s ura. x1 x2 > 0 x 1 +2 > 0 x 2 +2 > 0 x 1 +2 2 5 x 2 +2 = 5 x 2 +2 5 x 1 +2 = 5(x1 x2) (x 1 + 2)(x 2 +2)., on d edu it que f (x1) f (x2) > 0 et donc que f est st rict emen t croissan te D après le th eorèm e pr ecéden t, on en edu d it qu ealise e r un e biject ion Ade sur f (A). Com mef est une fonction rationnel le, on eduit en d qu el le est continue sur l interval A et lepar con equ s en f t, (A) est un interval le et comme f est st rict emen t croissan A, te alor sur s: f (A) =] lim f (x), lim f (x)[= ], 2[. x 2 + x + pou r obt enir f 1, il su ffit de esou r dre equ l at ion y =2 5 d in con nue x A avecy f (A). On obt ientx = 2y +1 2 y. O n a donc:f 1 (y)= 2y +1 2 y pou r touty ], 2[. x +2 Th é o e r`m e7(adm is) Si f est continue et strictement monotone sur un interval A, alorsf le 1 est con t in ue f sur (A). 7

Th é o e r`m e8 Si f est con t in ue et st rict emen t croissan a,b], te alorsf su r[ 1 est con t in ue et st rict emen t croissan te s u r[ f (a),f (b)]. Si f est con t in ue et st rict emen ecroiss t d an te su a,b], r[ alorsf 1 est con t in ue et st rict emen ecrois t s d an te s u r[ f (b),f (a)]. Pre uve. Ce thé o eme r` e s t une co eq ns ue nce imm edia te des deux e th o eme r` s pr ecéde nts. E xe m pl e4o n con sid` ere la fonct ion f défi nie surr + parf (x)= x n o`un N. f est un e fon ct ion polyn ˆome don c est con R + t. in ue sur Si x>y 0, alorsf (x) f (y)= x n y n =( x y) x n 1 + x n 2 y +...+ xy n 2 + y n 1 > 0, doncf est st rict emen t croissan R te +. sur Par con equ s en ft, réalise un e biject ion R de + sur f (R + ) =[f (0), lim f (x)[= x + R+. La fonct ion eciproqu r e est appel ee fonct ion raci nen i è me et not ee n. Cet te fon ct ion est don efi c n d ie, con t in ue et st rict emen t croissan R +. te sur 8