A et C deux points distincts et S la symétrie orthogonale d axe (AC) M et N deux points distincts et E tel que MN = AE M, N et E les images respectives de M,N et E par S 1) Montrer que AC, MN AC, M ' N ' π Le plan est orienté dans le sens direct [ ] ) P un point distinct de M et N et P son image par S montrer que MN, MP M ' N ', M ' P ' π [ ] Toute symétrie orthogonale change les mesures des angles orientés en leur opposées Conséquence : La composée de deux symétries orthogonales conserve les mesures des angles orientées Définition : On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les mesures des angles orientées On appelle antidéplacement toute isométrie qui change les mesures des angles orientées en leurs opposées Conséquences : Un déplacement est la composée de deux symétries orthogonales Un antidéplacement est la composée d une symétrie orthogonale ou la composées de trois symétries orthogonales Avec points fixes Sans point fixe Déplacement Identité - rotation Antidéplacement Symétrie orthogonale Translation Symétrie glissante wwwzribimathsjimdocom 1
La composée de deux déplacements est un déplacement La composée de deux antidéplacements est un déplacement La composée d un déplacement et d un antidéplacement est un antidéplacement La réciproque d un déplacement est un déplacement La réciproque d un antidéplacement est un antidéplacement ABC un triangle rectangle isocèle direct ; I le milieu de [BC] ; AICN et AMBI deux carrés directs R la rotation de centre B et d angle π ; R la rotation de centre C et d angle π ; t la translation de vecteur BC et f=r otor 1) Déterminer la nature de f ) Préciser f(i) et f(b) 3) Caractériser f Soit A et B deux points distincts 1) Soit f et g deux déplacements qui coïncident sur A et B a) Déterminer f -1 og(a) et f -1 og(b) b) Identifier f -1 og et en déduire que f=g ) Soit f et g deux antidéplacements qui coïncident sur A et B identifier f -1 og et en déduire que f =g Deux déplacements qui coïncident sur deux points distincts sont égaux Deux antidéplacements qui coïncident sur deux points distincts sont égaux Soit A, B, C et D quatre points du plan tel que AB=CD 0 1) Montrer qu il existe une symétrie orthogonale S qui envoie A en C ) Soit M=S (B)montrer qu il existe une symétrie orthogonale S qui fixe C et qui envoie M sur D 3) Montrer que S os est un déplacement qui envoie A en C et B en D 4) combien existe-t- il de déplacement qui envoie A en C et B en D wwwzribimathsjimdocom
Soit A, B, C et D quatre points du plan tel que AB=CD 0 Soit t la translation qui envoie A en C et M=t(B) 1) montrer qu il existe une symétrie orthogonale S qui fixe C et qui envoie M en D ) montrer que Sot est un antidéplacement qui envoie A en C et B en D 3) combien existe-t- il d antidéplacement qui envoie A en C et B en D Soit A, B, C et D quatre points du plan tel que AB=CD 0 Il existe un unique déplacement qui envoie A en C et B en D Il existe un unique antidéplacement qui envoie A en C et B en D Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O, u, v) et D(-4,4) ; on donne les points A(1,1) ; B(-3,3) ; C(,) Démontrer qu il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et C en D A, B, C et D quatre points tels que AB 0 et CD 0 ; f un déplacement et A, B, C et D les images respectives de A, B, C, et D par f Montrer que Définition : ( AB, A' B ' CD, C ' D ')[ π ] Soit f un déplacement et A, B, C et D quatre points tels que AB 0 et CD 0 si A, B, C et D sont les images respectives de A, B, C, et D par f alors AB, A' B ' CD, C ' D ' π On note θ une mesure de l angle ( AB, A' B ') Soit f un déplacement d angle θ Si θ=kπ ; k Z alors f est une translation Si θ kπ ; k Z alors f est une rotation [ ], on dit que f est un déplacement d angle θ wwwzribimathsjimdocom 3
Si f est un déplacement d angle θ et g un déplacement d angle θ alors fog est un déplacement d angle θ+θ Si f est un déplacement d angle θ alors f -1 est un déplacement d angle -θ Soit OAB un triangle isocèle de sommet principale O, et un point P variable sur [AB], distinct de A et de B, la parallèle à (OB) passant par P coupe (OA) en A ; la parallèle à (OA) passant par P coupe (OB) en B 1) Justifier qu il existe une unique rotation r qui envoie O en B et A en O ) Déterminer r(a ) 3) montrer que les points A, A, B et le centre K de r sont sur un même cercle Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, u, v) M d affixe z et M d affixe z 1) Soit t une translation de vecteur u d affixe b montrer que t(m)=m équivaut à z =z+b ) Soit r la rotation de centre I et d angle θ Montrer que r(m)=m équivaut à z =az+b ou a=e iθ ; a 1 et Soit t une translation de vecteur u d affixe b z I b = 1 a t(m)=m équivaut à z =z+b ( dite écriture complexe d une translation) Soit r la rotation de centre I et d angle θ r(m)=m équivaut à z =az+b ou a=e iθ ; a 1 et rotation) Remarque : z I b = ( dite écriture complexe d une 1 a soit f une transformation d écriture complexe z =az+b avec a =1 et θ=arg(θ)+kπ Si θ=kπ ; k Z alors f est une translation dont le vecteur a pour affixe b b Si θ kπ ; k Z alors f est une rotation d angle θ et de centre I d affixe zi = 1 a wwwzribimathsjimdocom 4
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation d écriture complexe : 1) z =-z+3 ) z =-iz++3i+ 3) 1 z ' = (1 i 3) z + i 3 Soit t une translation d écriture complexe z =z+b ; t 1 une translation d écriture complexe z =z+b 1 Déterminer l écriture complexe de f=tot 1 ; en déduire la nature et les élément caractéristiques de f La composée de deux translations de vecteurs u et v est une translation de vecteur u + v Soit t une translation d écriture complexe z =z+b ; r une rotation d écriture complexe z=az+b avec a =1 et a 1 Déterminer l écriture complexe de tor et rot et priser la nature et les éléments caractéristiques de chacune d elle La composée d une translation et d une rotation d angle non nul est une rotation de même angle Soit r 1 une rotation d écriture complexe z ' = e 1z + b ; r une rotation d écriture complexe iθ z ' = e z + b iθ Déterminer l écriture complexe de r 1 or et r or 1 et préciser la nature et les éléments caractéristiques de chacune d elle ( discuter selon θ 1 +θ ) Soit r 1 et r deux rotations d angles respectifs θ 1 et θ Si θ 1+θ =kπ ; k Z alors r 1 or et r or 1 sont des translations de vecteurs non nuls Si θ+θ kπ ; k Z alors f est une rotation d angle θ+θ ( une deuxième démonstration) : Soit r =r (O,θ) et r =r (O,θ ) ; D la droite (OO ) et u un vecteur directeur de D f= ror 1 wwwzribimathsjimdocom 5
1) déterminer les droites et tels que r=s os D et r = r=s DoS et en déduire que f=s os ) On désigne par v un vecteur directeur de et w un vecteur directeur de Déterminer w, v ; et caractériser f (indication: discuter selon θ+θ ) Soit r 1 la rotation d écriture complexe z ' = e 3 z + 1 et r la rotation d écriture complexe i π i 3 6 z ' = e z + Soit f = r 1 or déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f π i Soit f un antidéplacement, A un point et A =f(a) on pose g=fo t A' A ; déterminer g(a) en déduire f Préciser la nature de la composée d une translation et d une symétrie orthogonale Un antidéplacement est la composée d une symétrie orthogonale et d une translation Conséquence : Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale soit une symétrie glissante f une symétrie glissante ; tos et S ot deux décompositions de f u v D 1) Justifier que t u = S v DoS ) Prouver D et sont parallèles et que u v 3) En déduire que u = v et D= est orthogonale à lui-même Soit f une symétrie glissante Il existe un unique vecteur non nul u et une droite D unique tel que f = t os = S ot ou u un vecteur directeur de D u D D u Cette décomposition est appelé forme réduite de f, D est l axe de f et u son vecteur wwwzribimathsjimdocom 6
f une symétrie glissante d axe D et de vecteur u ; M un point et M =f(m) 1) Montrer que le milieu I de [MM ] appartient à D ) Montrer que si M D alors u = MM ' 3) Montrer que fof= t u Propriétés : f une symétrie glissante d axe D et de vecteur u ; M un point et M =f(m) le milieu I de [MM ] appartient à D si M D alors u = MM ' fof= t u ABCD un rectangle ; I et J les milieux de respectifs de [AD] et [BC] Soit f= t os( AB) AC 1) Déterminer la droite tel que t = S os( AB) AD ) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f wwwzribimathsjimdocom 7