Université Claude Bernard-Lyon Semestre de printemps 6-7 Fondamentaux des mathématiques Exercice.. Montrer que. Résoudre Correction exercice.. > >, comme arccos est décroissante, 4 Feuille d exercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques < arccos ( 4 ) < 4 arccos(x) arccos ( 4 ) ce qui équivaut à. D après la première question arccos() < arccos ( ) < arccos ( 4 ) < arccos ( 4 ) < 4 < arccos ( 4 ) < Donc arccos ( ) [, ] 4 Et bien sûr On en déduit que arccos(x) [, ] arccos(x) arccos ( 4 ) x cos ( arccos ( 4 )) cos (arccos ( 4 )) ( 4 ) 9 8 8 Exercice.. Montrer que arctan ( ) [, ]. Montrer que pour tout t R { + k, k Z} sin(t) tan(t) + tan (t). En déduire que Correction exercice. arcsin ( 5 ) arctan ( ). < < arctan() < arctan ( ) < arctan() Car arctan est strictement croissante, donc < arctan ( ) < 4
Ce qui entraine que < arctan ( ) <. Pour tout t R. tan(t) + tan (t) sin(t) cos(t) cos (t) sin(t) cos(t) sin(t) sin ( arctan ( )) tan (arctan ( )) + tan (arctan ( )) Comme arcsin ( ) et arctan 5 () sont dans [, ], on a + ( ) arcsin ( 5 ) arctan ( ) + 9 9 9 5 Exercice.. Montrer que pour tout x ], [ tan(x) sin(x) + tan (x). Montrer que : et cos(x) + tan (x) < arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) <. Résoudre arcsin(x) arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) On rappelle que sin(a + b) sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) Correction exercice.. tan(x) + tan (x) sin(x) cos(x) + sin (x) cos (x) sin(x) Car cos(x) > pour tout x ], [ sin(x) cos(x) cos (x) + sin (x) cos (x) sin(x) cos(x) cos(x). Comme x ], [ on peut appliquer la formule précédente, en particulier x donc on peut diviser par tan(x) cos(x) sin(x) tan(x) + tan (x) < 4 < arctan() < arctan ( 4 ) < arctan() 4 Car arctan est strictement croissante. < 5 < arctan() < arctan ( 5 ) < arctan() 4 Car arctan est strictement croissante. En additionnant ces deux inégalités on trouve que < arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) <.
Exercice 4. Comme arcsin(x) et arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) sont dans [, ]. arcsin(x) arctan ( 5 ) + arctan ( 5 ) x sin (arctan ( 4 ) + arctan ( 5 )) sin (arctan ( 4 )) cos (arctan ( 5 )) + cos (arctan ( 4 )) sin (arctan ( 5 )) 5 4 + ( + 4 ) + ( 5 ) + ( 4 ) + ( 5 ) 4 6 + 9 4 44 + 5 + 6 + 9 4 5 + 4 5 5 6 + 56 65 65 Soit f la fonction définie par f(x) arcsin ( x ) 5 44 + 5 4 + 5 5 4 4. Montrer que f est définie et continue sur ], ] [, + [.. Calculer les ites de f au bord de l ensemble de définition.. Pour les valeurs où cela ne pose pas de problème calculer f (x), en déduire les variation de f. 4. Calculer x f (x) et x + f (x) Que peut-on en déduire sur le graphe de f en x et x? 5. Tracer le graphe de f. Correction exercice 4.. f est définie et continue si et seulement si x Or 5. x x x x ], ] [, + [ x x + x x x x arcsin ( x x ) arcsin() arcsin ( x + x ) arcsin() x arcsin( ) x + x arcsin() x +. 4. f (x) x x x x x x x x x < x x f est décroissante sur ], ] et f est décroissante sur [, + [. x f (x) x x x x
5. x x + f (x) x + x x Le graphe de f admet des demi-tangente verticales en x et en x. -8-7 -6-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 - - Exercice 5. Soit f la fonction définie par x f(x) arcsin(x) x. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue? (Soyez précis sur les justifications).. Calculer la dérivée de f partout où cela ne pose pas de problème, sur quel ensemble est-elle dérivable?. Déterminer le signe de f sur son ensemble de définition. Correction exercice 5.. arcsin est définie et continue sur [,], x x est définie et continue sur ],[ donc f est x définie et continue sur ],[.. Exercice 6. f(x) arcsin(x) x( x ) x ],[, f (x) x ( x ) x ( ) ( x)( x ) x x x ( x ) x ( x ) f est dérivable sur ],[.. x ],[, f (x) <, donc f est décroissante sur ],[. Comme f() arcsin() Si x < alors f(x) > f() et si x > alors f(x) < f(). f(x) arccos ( x + x ). Montrer que f est définie et continue sur R.. Calculer la dérivée de f en tout point où cela ne pose pas de problème. Sur quel ensemble f estelle dérivable?. Calculer les ites de f en et en +. 4. Dresser le tableau de variation et dresser sommairement le graphe de f.
5. Donner une expression plus simple de f pour x <, puis pour x >. Correction exercice 6.. ( x + x ) ( + x ) ( x ) ( + x ) + x + x 4 ( x + x 4 ) 4x ( + x ) ( + x ) Donc f est définie et continue sur R. x R, x + x. On pose u(x) x +x u (x) ( x)( + x ) ( x )(x) 4x ( + x ) ( + x ) f (x) (u(x)) 4x ( + x ) x + x u (x) (u(x)) 4x ( + x ) + x x x x ( + x ). 4. f est dérivable pour tout x. En. x < donc x x et En +, x > donc x x et f n est pas dérivable en. u(x) x u(x) x + f (x) + x x f (x) f (x) + x x + f (x) f(x) arccos( ) x f(x) arccos( ) x + x + f (x) + f(x),5,5,5,5-5 - -5 5 5
5. Si x < On prend x Et Si x > On prend x Et f (x) x arccos ( + x + x ) f(x) arctan(x) + K arccos() arctan( ) + K + ( 4 ) K K f(x) arctan(x) f (x) x arccos ( + x + x ) f(x) arctan(x) + K arccos() arctan() + K 4 K K f(x) arctan(x) Exercice 7. Soit f la fonction définie par : f(x) arccos ( x ). Déterminer l ensemble de définition et préciser l ensemble où f est continue.. Calculer la dérivée de f et préciser l ensemble où f est dérivable.. Dresser le tableau de variation de f et tracer son graphe. 4. Sur chaque ensemble où f est dérivable, donner une expression plus simple de f. Correction exercice 7.. On pose X x X ( x ) ( 4x + 4x 4 ) 4x 4x 4 4x ( x ) f est définie et continue si et seulement si x ( x ) X 4x ( x ) x Bref f est définie et continue sur D f [,]. Si f(x) arccos(u(x)) alors f (x) u (x) (u(x)) u (x) 4x et (u(x)) X 4x ( x ) donc f 4x (x) 4x ( x ) 4x x x x x x Si x x, c est-à-dire si x ],[ ],[, f est dérivable. x + f (x) x x x f (x) x x + f n est pas dérivable en ±. x f (x) x x x + f (x) x x f n est pas dérivable en.
. Si x ],[ alors x x donc f (x) x < Si x ],[ alors x x donc f (x) > x f( ) arccos( ( ) ) arccos( ) f() arccos( ) arccos( ) f() arccos( ) arccos() x + f (x) x x Il y a donc une demi-tangente verticale en. x f (x) x x + Il y a donc une demi-tangente verticale en. x f (x) x x Il y a donc une demi-tangente oblique en. x + f (x) x x Il y a donc une demi-tangente oblique en +. x f (x) + f(x),5,5,5,5 -,5 - -,5,5,5 4. Sur ],[, f (x) x donc f(x) arccos(x) + K A priori on ne peut pas prendre la valeur, ni la valeur car cette relation n est valable que sur ],[. On peut prendre la valeur x. On peut faire autrement, comme f est continue en (ou en ), on écrit : f( ) f(x) x + Or pour x > f(x) arccos(x) + K donc arccos( ) x +( arccos(x) + K ) arccos( ) arccos( ) + K K arccos( ) La continuité en permet de conclure que : x [,], f(x) arccos(x)
Remarque : on aurait pu utiliser que dx arcsin(x) + K et on trouve alors K. x Sur ],[, f (x) donc f(x) arcsin(x) + K x Pour changer de méthode, on prend x [,]. f ( ) arcsin ( ) + K, donc K arccos ( ( ) ) arcsin ( ) arccos ( ) 6 La continuité de f en et permet d affirmer que : x [,], f(x) arcsin(x) Exercice 8. Soit f la fonction définie par : f(x) arcsin( cos 4 (x)). Montrer que f est définie et continue sur R.. Montrer que f est périodique, quelle est la parité de f? En déduire un intervalle d étude I.. Partout où cela ne pose pas de problème, calculer la dérivée de f. On l exprimera sous la forme la plus simple possible. 4. Sur quel sous-ensemble de I la fonction f est-elle dérivable? Préciser la valeur des ites de f (x) à droite au point d abscisse et à gauche au point d abscisse. 5. Dresser le tableau de variation de f 6. Tracer son graphe sur trois périodes Correction exercice 8.. Pour tout x R cos 4 (x) cos 4 (x) cos 4 (x) Donc f est définie et continue sur R en tant que composée de fonctions définies et continues sur R.. f(x) arcsin( cos 4 (x + )) arcsin( cos 4 (x)) f(x) Donc f est périodique. Remarque : en fait f est même -périodique. f( x) arcsin( cos 4 ( x)) arcsin( cos 4 (x)) f(x) Donc f est paire. Par conséquent on étudiera f sur I [, ].. On pose u(x) cos 4 (x) f u (x) (x) (u(x)) u (x) 8 cos (x) sin(x) (u(x)) ( cos 4 (x)) ( 4 cos 4 (x) + 4 cos 8 (x)) 4 cos 4 (x) 4 cos 8 (x) 4 cos 4 (x) ( cos 4 (x)) 4 cos 4 (x) ( cos (x))( + cos (x)) 4 cos 4 (x) sin (x) ( + cos (x)) f 8 cos (x) sin(x) (x) 4 cos 4 (x) sin (x) ( + cos (x)) 8 cos (x) sin(x) cos (x) sin(x) + cos (x) 8 cos(x) sin(x) sin(x) + cos (x) Il y aura évidemment un problème en + et en. Et sur ], [, sin(x) > donc sin (x) sin(x)
Finalement pour tout x ], [ f (x) 4 cos(x) + cos (x) 4. f (x) 4 cos(x) 4 + cos (x) x + + 4 f (x) 4 cos(x) 4 + cos (x) x + 4 Pour toutes les autres valeurs de I, f est dérivable, par conséquent f est dérivable sur ], [. 5. Sur ], [, sin(x) > et pour tout x I, sin(x) x ou x D après l expression f (x) 4 cos(x) + cos (x) f (x) a le même signe que cos(x), c est-à-dire strictement positif sur ], [ et strictement négatif sur ], [. f() arcsin( cos 4 ()) arcsin( ) f ( ) arcsin ( cos4 ( )) arcsin() f() arcsin( cos 4 ()) arcsin( ) x f (x) + f(x) 6. Exercice 9.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Etudier la parité de f et en déduire un intervalle d étude.
. Calculer f la dérivée de f partout où cela ne pose pas de problème. 4. Montrer que f n est pas dérivable en x. Que peut-on en déduire sur le graphe de f au point d abscisse x? 5. Dresser le tableau de variation de f sur R +, avec les ites et les valeurs de f aux points remarquables. 6. Tracer le graphe de f sur R. Correction exercice 9.. Pour tout x R ( x x + ) 4x (x + ) (x + ) 4x (x + ) x4 + x + 4x (x + ) x4 x + (x + ) (x ) (x + ) (x x + ) Par conséquent pour tout x R Ce qui montre que f est définie sur R.. Pour tout x R ( x x + ) x f( x) arcsin ( ( x) + ) arcsin ( x x + ) f est impaire, on l étudiera sur R +.. On pose u(x) x, alors x + u (x) (x +) x x x (x +) (x +) f (x) u (x) (u(x)) x (x + ) ( x x + ) x (x + ) x x + x (x + ) x x + 4. Pour x [,[, x <, donc x (x ) x et alors f (x) x + Pour x ], + [, x >, donc x x et alors f (x) x + x f (x) et x + f (x) Ce qui montre que f n est pas dérivable en x. Le graphe de f admet des demi-tangentes obliques en ce point. 5. 6. f() arcsin() ; f() arcsin() ; x + f (x) + f(x) x x x + f(x) arcsin() x +
,5,5-8 -6-4 - 4 6 8 -,5 - -,5 - Exercice. Soit g la fonction définie sur R par g(t) arcsin(sin(t)) Etudier la parité et la périodicité de g, sur quel intervalle peut-on l étudier, puis montrer que g ( t) g(t), en déduire un axe de symétrie. Finalement étudier g sur [, ] et tracer le graphe de g 4 sur R (au moins sur trois périodes). On donnera l expression de g sur [ 4, ] Correction exercice. g( t) arcsin(sin( t)) g(t) Donc g est impaire. g(t + ) arcsin (sin((t + )) arcsin(sin(t + )) g(t) Donc g est périodique. On peut donc étudier g sur [, ]. g ( t) arcsin (sin ( ( t))) arcsin(sin( t)) arcsin( sin( t)) arcsin(sin( t)) arcsin( sin(t)) g(t) Donc la droite d équation t 4 est un axe de symétrie et on peut étudier g sur [, 4 ] Ce qui entraine que pour tout t [, ], g(t) t 4 t 4 t Pour t [ 4, ], g(t) g ( t) ( t) t, car t [, 4 ]. Graphe de g
,5,5-6 -4-4 6 -,5 - -,5 -