Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 1 Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace I. Caractérisation vectorielle (A) Vecteur dans l espace 1. Notion de vecteur dans l espace On étend à l espace la notion de vecteur vue dans le plan. Définition 1 Deux vecteurs non nuls AB et CD sont égaux si, et seulement si, ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). 2. Vecteurs coplanaires On peut noter u un vecteur sans préciser ni origine ni extrémité. Il admet une infinité de représentants : u = AB = CD... Définition 2 Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, en traçant leurs représentants à partir d un même point A, leurs extrémités sont coplanaires avec A. Exemples Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous : Les vecteurs u, v et w sont coplanaires car u = AB, v = AE et w = AF et A, B, E et F sont dans le plan(abe). Les vecteurs u, v et t ne sont pas coplanaires car u = AB, v = AE et t = AD et l unique plan contenant A, B, E est le plan(abe) qui ne contient pas D. Les vecteurs AB et CG sont coplanaires puisque CG = AE et A,B, E sont dans le plan (ABE) ; cependant les droites (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires. Remarque Deux vecteurs sont toujours coplanaires contrairement à deux droites. 1

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 2 3. Opérations sur les vecteurs Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on définit, comme dans le plan, la somme de deux vecteurs, le produit d un vecteur par un réel, les notions de vecteurs colinéaires et de vecteur directeur d une droite. On admet que les propriétés de calcul dans le plan sont conservées dans l espace : Propriété 1 Pour tous réels k et k et pour tous vecteurs u et v, k(k u ) = kk u (k+k ) u = k u +k u k( u + v ) = k u +k v Exercices n o 22-23 - 24-25 - 26-27 - 28 p 324 (B) Caractérisation vectorielle d une droite de l espace Propriété 2 Soient A et B deux points distincts. Un point M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, il existe un réel t tel que AM = t AB. Comme dans le plan, une droite peut être définie par un point A et un vecteur u non nul, appelé vecteur directeur de la droite. On peut donc noter la droite (A, u ). La propriété devient donc : Propriété 2 bis M appartient à la droite d passant par le point A et de vecteur directeur u si, et seulement si, il existe un réel t tel que AM = t u. Propriété 3 Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. (C) Caractérisation vectorielle d un plan de l espace Propriété 4 Soient A, B, C trois points non alignés. Un point M appartient au plan (ABC) si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que AM = x AB + y AC 2

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 3 A, B, C étant trois points non alignés, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, donc (A ; AB; AC) est un repère du plan (ABC). Si M est un point du plan (ABC), soit (x; y) son couple de coordonnées dans le repère précédent, alors AM = x AB + y AC. Réciproquement, si M est le point de l espace défini par AM = x AB + y AC, soit N le point du plan (ABC) de coordonnées (x; y) dans le repère (A ; AB; AC). On a AN = x AB + y AC, d où AM = AN. Donc M=N. Donc M (ABC). Les points A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si, les vecteurs u = AB et v = AC ne sont pas colinéaires. Un plan peut donc être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan. La propriété devient donc : Propriété 4 bis M appartient au plan P passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires u et v si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que AM = x u + y v Deux plans dirigés par un même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. En effet, deux droites sécantes de l un, de vecteurs directeurs respectifs u et v, sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. On peut ainsi démontrer le théorème du toit. Propriété 5 Soient u et v deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que w = x u + y v Remarque Une droite d de vecteur directeur w est parallèle à un plan P de vecteurs directeurs u et v si, et seulement si, u, v et w sont coplanaires. Soit A un point de l espace et B,C, D les points tels que u = AB, v = AC et w = AD. Comme u et v ne sont pas colinéaires, A,B, C ne sont pas alignés et définissent le plan (ABC). u, v, w sont coplanaires si, et seulement si, les points A,B,C,D sont coplanaires ce qui signifie que D (ABC), c est-à-dire qu il existe des réels x et y tels que AD = x AB + y AC autrement dit, tels que w = x u + y v. Exercices n o 30-31 - 32-33 - 34 p 325 3

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 4 (D) Repères de l espace 1. Décomposer un vecteur de l espace Propriété 6 Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires de l espace. Pour tout point M, Il existe des réels x, y, z tels que AM = x AB + y AC + z AD. Ce triplet (x; y; z) est unique. Voir activité 3 p 305. 2. Repérage dans l espace Définition 3 Un repère (O ; i ; j ; k ) de l espace est formé : d un point O origine du repère ; d un triplet ( i ; j ; k ) de vecteurs non coplanaires. De la propriété 6, appliquée avec A=O, AB = i, AC = j, AD = k, on déduit : Propriété 7 Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet (x ;y ;z) de réels tels que OM = x i + y j + z k. On note M(x; y; z). Propriété et définition 4 Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l espace. Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet (x ;y ;z) de réels tels que x u = x i + y j + z k. On note u (x; y; z) ou y z 4

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 5 Propriété 8 Dans un repère de l espace, Si u (x; y; z) et v (x ; y ; z ) alors u + v (x + x ; y + y ; z + z ) et k u (kx;k y;kz) pour tout réel k. Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles. Si A(x A, y A, z A ) et B(x B, y B, z B ) alors AB(x B x A, y B y A, z B z A ) Voir exercice n o 86 p 330-331. ( xa + x B Le milieu de [AB] a pour coordonnées 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 ) Exercices n o 35-36 - 37-38 - 39-40 - 41-42 - 43-44 - 45-46 - 47-48 - 49 p 325-326 3. Représentation paramétrique d une droite Activité n o 4 p 305 Dans l espace muni d un repère, on considère la droite d passant par le point A(x A, y A, z A ) et de vecteur directeur u (a;b;c) où (a;b;c) (0;0;0). Un point M(x; y; z) appartient à d si, et seulement si, il existe un réel t tel que AM = t u, ce qui s exprime avec les coordonnées par le système : ou encore x x A = at y y A = bt z z A = ct x = x A + at y = y A + bt z = z A + ct Propriété 9 Soient x A, y A, z A, a,b,c des réels avec (a;b;c) (0;0;0). Dans un repère de l espace, la droite d passant par A(x A, y A, z A ) et de vecteur directeur a u (a;b;c) ou b est l ensemble des points M de coordonnées c x = x A + at y = y A + bt, t R z = z A + ct Ce système d équations est appelé une représentation paramétrique de d. Remarque Une droite a une infinité de représentations paramétriques. 5

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 6 Exemples x = 4 5t y = 2 + 2t, t R est une représentation paramétrique de la droite d passant par z = 1 + 3t le point A(4; 2;1) et dirigée par le vecteur u ( 5;2;3) car ( 5;2;3) (0;0;0) Le point obtenu en prenant t = 1 est le point B(9; 4; 2). Il appartient à la droite d et on a AB = t u = u Soit le point C( 6;2;7). Pour savoir s il appartient à la droite d, on cherche t tel que l on ait à la fois les trois égalités 6 = 4 5t 2 = 2 + 2t, 7 = 1 + 3t On constate que ce système de trois équations a pour solution t = 2. Le point C appartient donc à la droite d et AC = 2 u 4. Représentation paramétrique d un plan Dans l espace muni d un repère, on considère le plan P passant par le point A(x A, y A, z A ) et dirigé par les vecteurs directeurs u (a;b;c) et v (a ;b ;c ). Un point M(x; y; z) appartient au plan P si, et seulement si, il existe deux réels t et t tels que AM = t u + t v, ce qui s exprime avec les coordonnées par le système : ou encore x x A = at + a t y y A = bt + b t z z A = ct + c t x = x A + at + a t y = y A + bt + b t z = z A + ct + c t Ce système, lorsque t et t décrivent R, est appelé une représentation paramétrique du plan P. Exercices n o 50-51 - 52-53 - 55 p 326-327 Exercices n o 89-91 - 92-94 - 95-96 - 98 p 331-332 Problème n o 102 p 331-332 6

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 7 II. Produit scalaire dans l espace (A) Extension du produit scalaire de l espace Définition 5 Soient u et v deux vecteurs de l espace et A, B et C trois points tels que u = AB et v = AC. Il existe au moins un plan P contenant A, B et C. On définit le produit scalaire de u et v comme étant le produit scalaire u. v dans le plan P. On retrouve les propriétés du produit scalaire dans le plan. Propriété 10 Avec les normes : u. 1( v = u + v 2 u 2 v 2) ou AB. AC = 1 2 2 (AB 2 + AC 2 BC 2 ). Avec le cosinus : Si u et v sont non nuls, u. v = u. v cos( u, v ) ou AB. AC = AB.AC.cos( B AC ). Avec le projeté orthogonal : Si A B, il existe un seul plan Q orthogonal à la droite (AB) et passant par C. Ce plan coupe la droite (AB) en un unique point H appelé projeté orthogonal de C sur la droite (AB). H est aussi le projeté orthogonal de C sur (AB) dans un plan P contenant A,B et C. On a donc u. v = AB. AC = AB. AH. Produit scalaire et orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Dans un repère orthonormé : Un repère (O ; i ; j ; k ) est orthonormé si, et seulement si les vecteurs i ; j ; k sont deux à deux orthogonaux et i = j = k Propriété 11 L espace étant muni d un repère orthonormé : Si u (x; y; z) et v (x ; y ; z ) alors u = x 2 + y 2 + z 2 u. v = xx + y y + zz. Si A(x A, y A, z A ) et B(x B, y B, z B ) alors AB= (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2. Voir exercice n o 30 p 355. Propriété 12 : Propriétés algébriques Soient u, v et w trois vecteurs de l espace et k un réel. Symétrie : u. v = v. u Bilinéarité : u.( v + w ) = u. v + u. w et u.(k v ) = k u. v Identités remarquables : ( u + v ).( u v ) = u 2 v 2 Voir exercice n o 32 p 355. ( u + v ) 2 = u + v 2 = u 2 + 2 u. v + v 2 ( u v ) 2 = u v 2 = u 2 2 u. v + v 2 Exercices n o 18-19 - 20-21 - 22-23 - 24-25 - 26-27 - 28-29 - 31-33 - 36 p 354-355 7

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 8 (B) Vecteur normal à un plan Définition 6 Un vecteur n est normal à un plan P si, et seulement si, il est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Propriété 13 Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Un vecteur normal n à un plan P est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires u et v de P. u et v dirigeant P, pour tout vecteur w de P, il existe des réels x et y tels que w = x u + y v. Alors n. w = n.(x u + y v ) = x n. u + y n. v = x 0 + y 0 = 0. Donc n est orthogonal à tout vecteur de P. Propriété 14 Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan. ROC Soit d orthogonale à P et une droite de P. Montrons que d et sont orthogonales. La droite d est orthogonale au plan P donc par définition, il existe deux droites d 1 et d 2 sécantes de P telles que d soit orthogonale à d 1 et d 2. Soient u, v 1 et v 2 des vecteurs directeurs respectifs de d, d 1 et d 2. u est orthogonal à v1 et v 2, vecteurs non colinéaires de P donc u est normal à P. D après la propriété 13, u est orthogonal à tout vecteur de P en particulier à w, un vecteur directeur de, et donc d et sont orthogonales. Propriété 15 (admise) Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux. Remarque Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur de toutes les droites orthogonales au plan. Un droite de vecteur directeur u est donc orthogonale à un plan de vecteur normal n si, et seulement si, u et n sont colinéaires. Propriété 16 (admise) Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de l un est colinéaire à un vecteur normal de l autre. Définition 7 Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, l un contient une droite orthogonale de l autre. Exemple (CGH) est perpendiculaire à (ADE) car (CGH) contient (GH) qui est orthogonale à (ADE). (CH) est incluse dans (CGH) mais (CH) n est pas perpendiculaire à (AED) 8

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 9 Propriété 17 (admise) Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l un est orthogonal à un vecteur normal de l autre. (C) Equation cartésienne d un plan Exercices n o 38-39 - 40-41 - 42-43 - 44-45 - 46 p 356-357 Propriété 18 : Propriété caractéristique d un plan Soit n un vecteur non nul et P le plan passant par A et de vecteur normal n. Un point M appartient au plan P si, et seulement si, AM. n = 0 Si M appartient au plan P passant par A et de vecteur normal n, alors AM est un vecteur de P et donc AM. n = 0. Réciproquement, supposons que AM. n = 0. Soit H le projeté orthogonal de M sur P. Alors AM. n = ( AH + HM). n = AH. n + HM. n = 0 + HM. n = HM. n. Or AM. n = 0 donc HM n = 0 donc HM= 0 car n 0. Par conséquent M=H et donc M P Propriété 19 Dans un repère orthonormé de l espace, L ensemble des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a,b,c) (0,0,0) est un plan de vecteur normal n (a;b;c). Tout plan admet une équation de la forme ax +by +cz +d = 0 avec (a,b,c) (0,0,0). Cette équation est appelée équation cartésienne du plan Comme (a,b,c) (0,0,0), il existe (x 0 ; y 0 ; z 0 ) tels que ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0. Donc d = ax 0 by 0 cz 0 Soit un point M(x; y; z) qui vérifie ax + by + cz + d = 0 a(x-x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. En posant A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) et n (a;b;c), on a ax + by + cz + d = 0 AM. n = 0. D après la propriété 18, l ensemble des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n. Soit P le plan passant par A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) et de vecteur normal n (a;b;c) M(x; y; z) P AM. n = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ax + by + cz + d = 0 en posant d = ax 0 by 0 cz 0 Exemple L ensemble des points M(x; y; z) tels que 4x + y + 2z 4 = 0 est un plan P de vecteur normal n (4;1;2). A(0 ;0 ;2), B(0 ;4 ;0) et C(1 ;0 ;0) sont des points non alignés de P. P est le plan (ABC). 9

TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 10 Equation des plans de coordonnées x = 0 est une équation du plan (yoz) : ceci signifie qu un point appartient au plan (yoz) si, et seulement si, ses coordonnées sont de la forme (0; y; z) avec y, z réels. y = 0 est une équation du plan (xoz) z = 0 est une équation du plan (xoy) Exercices n o 47-48 - 49-50 - 51-52 - 53-54 - 55-56 - 57-58 - 59-61 - 62-63 - 64 p 357-358 Exercices n o 65-66 - 67-68 - 69-70 - 71 p 358-359 Exercices n o 99-109 - 110-111 p 363 à 366 10