Exercice 1 : ( 4 points ) On donne l expression : A = ( - ) - 1) Développer et réduire l expression A. 2) Factoriser l expression A. 3) Le nombre (-1) est-il solution de l équation ( ) = 0? Justifier. 4) Résoudre l équation 4x(4x 6) = 0. 1) A = 16x² - 24x 4x 3 ² 9 16x² 24x 9 9 16x² 24x 4x(4x 6 3) 4) ( ) est équivalente à 4x (4x 6) 0 C est un produit nul donc 4x = 0 ou 4x-6=0 x = 0 ou 4x 6 6 3 x 4 2 2) ) Cette équation admet deux solution 0 et 2 3 Exercice 2 : ( 4 points ) Voici trois propositions : pour chacune d elles, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. o Proposition 1 : Une voiture roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Pour parcourir 90 km, il lui faut donc 1h50min. d 90 t 1,5 Pour parcourir 90km il faut 1,5 heure c'est-à-dire 1h30min. La proposition 1 est fausse. v 60 o Proposition 2 : la fonction f définie par x 2(x +7) 14 est linéaire. 2( x 7) 14 2x 14 14 2x donc c est une fonction linéaire Donc la proposition 2 est vraie o Proposition 3 : les solutions de l inéquation 2x + 1-5 sont représentées sur la partie non hachurée ci-dessous 0 x -3 Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à -3. Donc la proposition 3 est fausse. Exercice 3 : ( 5 points ) 1 ) On considère la fonction f : x -2x + 7 Répondre aux questions suivantes par des calculs appropriés. Ces calculs devront figurer sur la copie. Quelles sont les images des nombres -3 et? a) f(-3) = 13 et f( ) = b) Quels sont les antécédents des nombres -1 et 0? f(4) = -1 et f( ) = 0 Page 1 sur 6
2 ) On donne sur la feuille annexe 1 la représentation graphique d une fonction g. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Vous laisserez apparents les pointillés permettant la lecture. a) Quelles sont les images des nombres -1 et 2? L image de -1 est -6 et l image de 2 est 3 b) Quels sont les antécédents des nombres 0 et -2? Les antécédents de -2 sont 1 et -3. Exercice 4 : ( 4,5 points ) ABC est un triangle tel que : AB = 4,2 cm ; BC = 7 cm ; AC = 5,6 cm 1) Démontrer que ABC est un triangle rectangle, puis que son aire est 11,76 cm 2. 2) On sait que si A est l aire d un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b et c données, le rayon R du cercle circonscrit à ce triangle est : R = abc 4A a) En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. b) Démontrer que l on pouvait prévoir ce résultat. 1) Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté BC²= 7²=49 et AB²+AC²=4,2²+5,6²=17,64+31,36=49 Donc BC²=AB²+AC² D après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en A. AB AC 4,2 5,6 Aire(ABC) 11,76cm² 2 2 abc 7 4,2 5,6 164,64 2) R 3. 5cm 4A 4 11,76 47,04 b) ABC est un triangle rectangle en A donc il est inscrit dans le cercle de diamètre [BC]. Le rayon du cercle BC 7 est donc 3,5cm 2 2 Page 2 sur 6
Exercice 5 : ( 4 points ) Sur le dessin ci-contre (qui n est pas en vraie grandeur), on sait que : ABC est un triangle rectangle en B. E [AB] et D [AC]. AE = 2,4 cm ; AB = 3 cm ; AC = 8 cm ; AD = 6,4 cm. 1) Calculer la mesure de l angle arrondie au degré. 2) Démontrer que (ED) et (BC) sont parallèles 3) En déduire que AED est un triangle rectangle. 1) Dans le triangle ABC rectangle en B : sin BCA ˆ BA AC 3 sin B CA ˆ donc 22 8 côté opposé sin BCA ˆ hypoténuse 2) A, E, B et A, D, C sont alignés dans le même ordre : AE AB 2,4 AD 6,4 0,8 et 0, 8 donc 3 AC 8 AE AB AD AC D après la réciproque du théorème de Thalès (ED) et (BC) sont parallèles. 3) (ED) et (BC) sont parallèles et (AB) et (BC) sont perpendiculaires. Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc (AE) et (ED) sont perpendiculaires et AED est un triangle rectangle. Exercice 6 : ( 4,5 points ) Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur : BREV est un rectangle tel que BR = 13 cm et BV = 7,2 cm. T est le point du segment [VE] tel que VT = 9,6 cm. N est le point d intersection des droites (BT) et (RE). 1) Calculer en justifiant la longueur BT. 2) Démontrer que TE = 3,4 cm ; puis calculer en justifiant la longueur EN. 1) Dans le triangle BVT rectangle en V, d après le théorème de Pythagore : BT²=BV²+VT² BT² = 7,2²+9,6²=144 donc BT = 144 12cm BREV est un rectangle donc (BV) et (ER) sont parallèles et BR = EV = 13 cm, T [VE] donc TE = 13-9,6=3,4 cm. V, T, E sont alignés, B, T, N sont alignés, et (BV) et (EN) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : BT VT BV 12 9,6 7,2 3,4 7.2 51 NE 2, 55cm TN TE NE TN 3,4 NE 9,6 20 Page 3 sur 6
Exercice 7 : ( 7 points ) Au cours d une embauche pour la cueillette de pêches, un ouvrier agricole a le choix entre trois formules de salaire : Formule A : Formule B : Formule C : un salaire mensuel de 930 euros. une somme mensuelle de 310 euros, à laquelle s ajoutent 40 euros par tonne de pêches cueillies. un salaire basé uniquement sur la cueillette, 80 euros par tonne de pêches cueillies. 1) Compléter le tableau sur la feuille annexe 1. 2) Représenter graphiquement dans le repère de la feuille annexe 2, en prenant comme unités 1 cm pour 1 tonne sur l axe des abscisses et 1 cm pour 100 euros sur l axe des ordonnées, les fonctions et définies par : ( ) ; ( ). (Remarque : la fonction f traduisant la formule A a déjà été représentée.) 3) On cherche la quantité de pêches récoltées en tonnes pour laquelle cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire mensuel avec les formules B et C. a) Donner une valeur approchée de cette quantité, en la déterminant sur le graphique (on laissera apparents les pointillés ayant permis la lecture). b) Donner la valeur exacte de cette quantité, en la déterminant par un calcul. 310 40x 80x 310 80x 40x 310 40x x 310 40 7,75tonnes L ouvrier agricole aura le même salaire avec la formule A ou la formule B s il cueille 7,75tonnes 4) Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l ouvrier s il espère cueillir 13 tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés permettant la lecture). Quel serait alors son salaire? Ce sera la formule C ; il gagnera alors environ 1050 euros. Exercice à prise d initiative Exercice 8 : ( 4 points ) a) Calculer 3² 2² ; 12² 11² et 100² 99². 3² 2² = 9 4=5; 12² 11²=144 121=23 et 100² 99²=10 000. 9801=199 b) Si on note n un nombre entier positif, le nombre (n + 1)² n² est-il forcément impair? (n + 1)² n² = n²+2n+1 n²=2n+1 c est donc nécessairement un nombre impair Page 4 sur 6
Annexe 1 à rendre avec la copie. Graphique de l exercice 3, 2 ème partie : y 6 5 4 3 2 1-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1-2 -3-4 -5-6 Tableau de la question 1 de l exercice 7 Nombres de tonnes de pêches cueillies dans un mois Salaire mensuel en euros avec la formule A Salaire mensuel en euros avec la formule B Salaire mensuel en euros avec la formule C 5 11 15 x 930 930 930 930 310+40 5=510 310+40 11=750 310+40 15=910 310+40x 80 5=400 80 11=880 80 15=1200 80x Page 5 sur 6
Numéro d anonymat :... Annexe 2 à rendre avec la copie. Prix( ) 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 ( ) 1000 900 800 f(x) = 930 ( ) 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Masse (tonnes) Page 6 sur 6