Toutes 3 èmes Mardi 3 mai 2016 Brevet blanc de mathématiques n 2 Durée de l épreuve : 2 h Calculatrice autorisée Consignes de présentation : - Ecrire le numéro d ordre en haut de la première copie. - Souligner les résultats à la règle, soigner l orthographe, la rédaction, les notations. - Pour les 3 èmes 1 à 9 : attacher toutes les copies ensemble, dans l ordre et scotcher le sujet à la fin de la copie. - Pour les 3 èmes 10 à 13, ne pas rendre le sujet mais le garder pour la correction. Les exercices sont indépendants. Toutes les étapes de calculs doivent apparaître sur la copie. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Maîtrise de la langue, respect des consignes Barème : 5 points 6 points 4 points 3 points 6 points 5 points 5 points 4 points 2 points page 1/4
Exercice 1 : On donne le programme de calcul ci-contre. 1) On choisit 3 comme nombre de départ. Prouver que le résultat du programme est 16. 2) On choisit 1 comme nombre de départ. Quel est le résultat du programme? Choisir un nombre. Lui ajouter 2. Calculer le carré de cette somme. Soustraire 9 au résultat obtenu. 3) On choisit 3 2 comme nombre de départ. Calculer le résultat exact du programme. 4) Déterminer quel(s) nombre(s) il faut choisir au départ pour que le résultat du programme soit nul. Exercice 2 : La pente d une route ou d un toit est la tangente de l angle que forme cette route ou ce toit avec l horizontale. Cette pente s exprime souvent en pourcentage : grimper une pente de 25 % c est monter de 25 m quand on avance de 100 m à l horizontale. Un train à crémaillère se déplaçant à la vitesse de 1,2 km.h -1 met 25 minutes pour aller de A à B sur une pente de 25 %. 1) Calculer la mesure de l angle CAK, arrondie au degré. 2) Calculer la différence d altitude BH entre A et B, arrondie au mètre. Exercice 3 : Pour chacune des questions suivantes, plusieurs propositions de réponses sont faites, une seule est exacte. Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue. Barème : réponse exacte : + 1 point ; absence de réponse : 0 point ; mauvaise réponse : 0,5 point (dans le doute, mieux vaut donc s abstenir!) 1 + est égal à Questions Réponse A Réponse B Réponse C 2 15 0,277 2 L écriture scientifique de 0,000 527 est 5,27 10 4 5,27 10 4 5,27 10 6 3 (3x 7) 2 est égal à 3x 2 42x + 49 9x 2 42x + 49 9x 2 42x 49 4 Voici les salaires des employés d une entreprise : 1 200 ; 1 440 ; 1376 ; 1 700 ; 1 230 ; 2 100 ; 1 310 ; 1 250 ; 1 500 et 1 400 Le salaire médian est 20 72 1 665 1 388 1 376 Exercice 4 : Pour répondre à la demande d un client, un décorateur a besoin de découper des triangles dans du carrelage. Les triangles doivent être rectangles et isocèles avec une hypoténuse de longueur 15 cm. Les carreaux qu il doit utiliser sont des carrés de 12 cm de côté. Ces carreaux sont-ils assez grands pour faire deux de ces triangles dans chacun d eux? Justifier. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. page 2/4
Exercice 5 : L eau en gelant augmente de volume. On a représenté sur le graphique ci-après, la fonction f qui, au volume d eau liquide (en litres) associe le volume de glace obtenu (en litres). Volume de la glace en fonction du volume d eau liquide 1) En utilisant le graphique et avec la précision permise par les graduations, répondre aux questions suivantes. a. Quel est le volume de glace obtenu à partir de 11 litres de liquide? b. Quel est l antécédent de 6,5 par la fonction f? Interpréter concrètement ce résultat pour la situation. 2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d eau liquide? Justifier. 3) On admet que 10 litres d eau donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d eau augmente-t-il en gelant? 4) Dans un lac au cours de l été, le niveau de l eau augmente de 20 % après de fortes pluies, puis il diminue de 15 % après plusieurs semaines de sécheresse. a. À la fin de l été, le niveau de l eau a-t-il augmenté ou diminué? De quel pourcentage? b. À la fin de l été, le lac a un niveau de 15,3 m, quel était son niveau au début de l été? Exercice 6 : Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. Affirmation 1 : Les équations 9x² + 11x + 2 = 0 et (5x 2) 2 49 = 0 ont une seule solution commune. Affirmation 2 : En vol, un faucon pèlerin met 6 secondes à atteindre sa proie située à 300 m. Il est plus rapide qu un ballon de foot tiré à la vitesse de 189 km/h. Affirmation 3 : Une pizza moyenne a un diamètre de 30 cm et une grande pizza a un diamètre de 44 cm. Si je commande deux pizzas moyennes, j aurai plus à manger que si je commande une grande. page 3/4
Exercice 7 : Un jeu est constitué des dix étiquettes suivantes, toutes identiques au toucher, qui sont mélangées dans un sac totalement opaque. Deux angles droits seulement Côtés de même longueur deux à deux Quatre côtés de même longueur Deux côtés parallèles seulement Diagonales qui se coupent en leur milieu 1) On choisit au hasard une étiquette parmi les dix. Quatre angles droits Seulement deux côtés de même longueur Côtés opposés parallèles Diagonales de même longueur Diagonales perpendiculaires a. Quelle est la probabilité de l événement M «L étiquette contient l expression "de même longueur"»? b. Quelle est la probabilité de l événement D «L étiquette contient le mot "diagonales"»? c. Déterminer la probabilité de l événement «D ou M». 2) On choisit cette fois au hasard deux étiquettes parmi les dix et on doit essayer de dessiner un quadrilatère qui a ces deux propriétés. a. Madjid tire les deux étiquettes suivantes : Diagonales perpendiculaires Diagonales de même longueur Julie affirme que la figure obtenue est toujours un carré. Madjid a des doutes. Qui a raison? Justifier la réponse. b. Julie tire les deux étiquettes suivantes : Côtés opposés parallèles Quel type de figure Julie est-elle sûre d obtenir? Justifier. 3) Lionel tire les deux étiquettes suivantes. Seulement deux côtés de même longueur Lionel est déçu, pourquoi? Quatre côtés de même longueur Quatre angles droits Exercice 8 : Sur le schéma ci-contre, la pyramide a pour base le carré ABCD, pour sommet S et sa hauteur est [SO]. On coupe cette pyramide par le plan parallèle à la base ABCD et passant par le point O' où O' est un point de [SO]. On donne AB = 8 cm ; SO' = 6 cm et SO = 15 cm. Un fromage de chèvre a la forme du tronc de pyramide ABCDA'B'C'D'. 1) Calculer le volume de la pyramide SABCD. 2) En déduire le volume exact du fromage de chèvre. page 4/4
Exercice 1 (5 points) Correction du Brevet Blanc de mathématiques n 2 1) (3 + 2) 9 = 5 9 = 25 9 = 16 Si je choisis 3 au départ, j obtiens 16. 2) ( 1 + 2) 9 = 1 9 = 1 9 = 8 Si je choisis 1 au départ, j obtiens 8. 3) 3 2 + 2 ² 9 = 3 2 + 2 3 2 2 + 2 9 = 9 2 + 12 2 + 4 9 = 13 + 12 2 Si je choisis comme nombre de départ, j obtiens +. 4) Pour tout nombre x, le programme effectue le calcul ( + 2) 9. On cherche tel que ( + 2) 9 = 0 ( + 2) 3²= 0 ( + 2 + 3)( + 2 3) = 0 ( + 5)( 1)= 0 Or A B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 Donc ( + 5)= 0 ou ( 1) = 0 = 5 ou = 1 Pour que le résultat du programme soit nul, il faut choisir le nombre 5 ou le nombre 1. Exercice 2 (6 points) 1) Dans ACK rectangle en K, on a tancak = = = 0,25 donc 2) Calculons la distance AB. ou, =, = 0,02 km/min Le train roule a une vitesse de 0,02 km/min d où AB = vitesse temps = 0,02 25 = 0,5 km AB = 500 m. 25 minutes = h = h AB = vitesse temps = 1,2 AB = 500 m = 0,5 km Cherchons la distance AC parcourue par le train quand il se trouve à une altitude de 25 m. Le triangle ACK est rectangle en K donc, d après le théorème de Pythagore, AC² = AK² + CK² AC² = 100² + 25² = 10 000 + 625 = 10 625 or, AC est une longueur donc AC = = 25² 17 = m Calculons BH. Les droites (BC) et (HK) sont sécantes en A et (CK) // (BH) car (CK) (AH) et (BH) (AH) d après le théorème de Thalès on a : = = en particulier = d où BH = La différence d altitude est d environ 121 m. = = = 121 m
Exercice 3 (4 points) 1) C car + = + = = 2) B car 0,000 527 = 5,27 10-4 = 3) B car (3x 7) 2 = (3x) 2 2 3x 7 + 7 2 = 9x 2 42x + 49 4) B car il y a 10 données et 10 : 2 = 5 donc la médiane de la série est la moyenne de la 5 ème et de la 6 ème données de la série ordonnée : 1 200 1 230 1 250 1 310 1 376 1 400 1 440 1 500 1 700 2 100 Me = = 1 388. Exercice 4 (3 points) Le triangle voulu est isocèle rectangle d hypoténuse 15 cm. D après le théorème de Pythagore, si on nomme c la longueur des côtés de l angle droit, on a c² + c² = 15² soit 2c² = 225 ou encore c² = 112,5 or une longueur est toujours positive donc c =,, Pour obtenir un triangle isocèle rectangle d hypoténuse 15 cm, le décorateur a besoin de carrés d au moins 10,6 cm de côté Les carrés de 12 cm de côtés sont donc assez grands. OU Le décorateur a des carrés de 12 cm de côté, soit d la longueur de sa diagonale. Le demi-carré est un triangle isocèle rectangle D après le théorème de Pythagore, on a donc d² = 12² + 12² = 144 + 144 = 288 Or une longueur est toujours positive donc d =, Avec des carrés de 12 cm de côtés, on peut faire des triangles isocèles rectangles d environ 16,97 cm d hypoténuse Donc les carrés de 12 cm sont assez grands. Exercice 5 (6 points) 1) a. On obtient 12 L de glace à partir de 11 L de liquide. b. L antécédent de 6,5 par la fonction f est 6. Pour obtenir 6,5 L de glace, il faut congeler 6L d eau. 2) La fonction f est représentée par une droite qui passe par l origine, la situation est donc une situation de proportionnalité donc le volume de glace est proportionnel au volume d eau liquide. 3) =, =, = ou pour donner 10,8 L de glace, les 10 L d eau ont été multipliés par où = or, multiplier une quantité par 1 +, c est l augmenter de a %, = 1,08 = 1 + donc le volume augmente de 8 %
4) a. Le niveau d eau a augmenté de 20 % puis a diminué de 15 % Or, augmenter une quantité de a % c est la multiplier par 1 + et diminuer une quantité de a % c est la multiplier par 1 -. Donc le niveau d eau est multiplié par b où b = 1 + 1 = 1,2 0,85 = 1,02 = 1 + Ainsi, à la fin de l été, le niveau a augmenté de 2% par rapport à la situation initiale. b. Soit c le niveau d eau au début de l été, 1,02 c = 15,3 donc c = 15,3 : 1,02 = 15. Au début de l été, le niveau de l eau était de 15 m. Exercice 6 (5 points) Affirmation 1 : VRAI Les deux équations n ont bien qu une solution commune. (5x 2) 2 49 = 0 (5x 2)² 7² = 0 [(5x 2) 7][(5x 2) + 7] = 0 (5x 9)(5x + 5) = 0 Or A B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0 Donc 5x 9 = 0 ou 5x + 5 = 0 5x = 9 ou 5x = 5 x = ou x = 1 Les solutions de l équation (5x 2) 2 49 = 0 sont 1 et. Pour x = 1 : 9x² + 11x + 2 = 9 ( 1)² + 11 ( 1) + 2 = 9 11 + 2 = 0 donc ( 1) est une solution commune. Pour x = : 9 + 11 + 2 = 9 + 11 + 2 = + + 2 0 Donc n est pas une solution commune. Affirmation 2 : FAUX Le faucon est moins rapide que le ballon. En vol, un faucon pèlerin met 6 secondes à atteindre sa proie située à 300 m. Or, vitesse= Donc la vitesse du faucon pèlerin est = = 50 m/s = =, = 0,050 3600 /h = 180 /h or, / < / Affirmation 3 : FAUX Je mange moins en prenant 2 pizzas moyennes. Les pizzas sont des disques de diamètres respectifs 30 cm et 44 cm Or aire d un disque = ² et rayon = diamètre : 2 Donc aire de 2 pizzas moyennes = 2 ²= 2 15²= 2 225 = 450 ² et aire d une grande pizza = ²= 22² = 484 ² donc aire de 2 pizzas moyennes < aire d une grande pizza.
Exercice 7 (5 points) 1) a. p(m)= é " ê " é La probabilité de l événement M est. = = b. p(d)= é " " é La probabilité de l événement M est. = c. p(d ou M)= é diagonale " ê " é La probabilité de l événement D ou M est. = = 2) a. Madjid a raison : un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur n est pas un carré si les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. Exemple : Le quadrilatère ABCD ci-contre a ses diagonales [AC] et [BD] perpendiculaires et de même longueur mais ce n est pas un carré. b. Julie a un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles donc c est un parallélogramme. De plus, ce quadrilatère a 4 côtés de même longueur donc Julie obtient un losange. 3) Lionel est déçu car ce n est pas possible de trouver un quadrilatère qui satisfasse ces deux conditions à la fois : il ne peut pas dessiner un rectangle (quadrilatère avec 4 angles droits) et qui n a que deux côtés de même longueur car les côtés opposés d un rectangle sont égaux deux à deux. Exercice 8 (4 points) 1) La pyramide SABCD a pour base le carré ABCD et pour hauteur SO Or Volume d une pyramide = h et Aire d un carré = côté² Donc V SABCD = AB² SO = ² = 64 5 = 320 cm 3 La pyramide SABCD a un volume de 320 cm 3. 2) On a coupé la pyramide SABCD par un plan parallèle à sa base passant par le point O' donc la pyramide SA'B'C'D' obtenue est une réduction de SABCD de rapport = = Or dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k 3 Donc V SA'B'C'D' = = 320 =, cm 3 Le fromage a la forme du tronc de pyramide ABCDA'B' C'D' Donc V fromage = V SABCD V SA'B'C'D' = 320 20,48 = 299,52 cm 3 Le fromage de chèvre a un volume de 299,52 cm 3.