Automtes et lngges L exmen corrigé RICM 9 jnvier 22 Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. Construire un utomte A cceptnt le lngge défini pr l grmmire G. Donner explicitement A sous l forme (Q,Σ,q,F, ). 2. Trouver une expression régulière pour ce même lngge. Indiction: 3 équtions suffisent. 3. Trouver un utomte déterministe miniml cceptnt ce même lngge. 2 Automtes et Arithmétique. Pour le lngge M = ( 3 ) ( 4 ) sur l lphet {} construire un utomte qui le reconnisse. 2. Est-ce que M est vide, non-vide et fini, ou ien infini? Si le lngge M est fini, donner l liste de tous ses mots. 3. Appliquer ce résultt pour trouver tous les entiers nturels non représentles sous l forme 3m +4n vec m,n N. 3 Simplifiction En pssnt pr les utomtes trnsformer l expression régulière étendue (+) (+) en forme régulière (non étendue). 4 Expressions rithmétiques polonises Dns les expressions rithmétiques en nottion préfixée (ou polonise) on met le symole de l opértion vnt les deux opérnds et on ne met ps de prenthèses. Pr exemple, u lieu de 2 + 3 on écrit +23, u lieu de ( + 2) (3 + 4) on écrit + 2 + 34.. Décrire toutes les expressions polonises sur,2,3,4,5 vec les opértions +, pr une BNF (Bckus-Nur Form) ou une grmmire hors contexte. 2. Trouver des rres syntxiques pour + 2 + 34 et + 23 5 Un lngge non-régulier, mis hors-contexte On considère le lngge L = { 2k 3k k N}. Prouver que L n est ps régulier. 2. Trouver une grmmire hors-contexte G qui génère L. Donner cette grmmire explicitement sous l forme G =(Γ,Σ,S,Π). Dériver les mots 4 6 et 3. Construire un utomte à pile cceptnt L. 6 Automtes et Arithmétique Décimle Construire les utomtes sur l lphet {,,2,3,...,9} qui cceptent tous les entiers nturels représentés en système déciml qui sont. multiples de 5; 2. multiples de 3; Indiction: Un nomre déciml est multiple de 3 si et seulement si l somme de ses chiffres est multiple de 3.
Solutions S. Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. En ppliqunt l méthode vue en cours on otient ε S P R 2 3 A =(Q,Σ,q,F, ) vec Q = {P,R,S,,2,3} Σ = {,} q = P F = {3}, ={SεP,PS,P,R,RP,R2,23} 2. On utilise les mêmes lettres S, P et R pour les lngges ccepté à prtir des étts S, P et R. Ces lngges stisfont le système d équtions: S = εp P = S + R R = P + L première éqution donne S = P, en sustitunt les expressions pour S et R dns l deuxième éqution on otient P = P + (P + ) ce qui est équivlent à P =( + )P + On résout cette dernière éqution: P =(+), d où L(A) =S = P =(+). 3. En déterminisnt l utomte A on otient B: ) P SP R Err 2 3,,
Avnt de minimiser on renomme les étts F C D E G H, I On pplique l lgorithme de minimistion., C X D - X Initilistion: E - - X F - - - X G - - - - X C X X D - X X Première itértion: E - - X X F - - - X X C X X X D - X X X Deuxième itértion: E - - X X X X F - - - X X C X X X X D - X X X X X Troisième itértion: E - - X X X X F - - - X X C X X X X X D - X X X X X Qutrième itértion: E - - X X X X F - - - X X X L itértion suivnte ne modifie ps le tleu. En oservnt les cses non-cochées on trouve l reltion d équivlence : C F, les utres étts ne sont ps équivlents. On construit
l utomte miniml: C F D E G H, I S2. Automtes et Arithmétique,. On construit d ord un utomte cceptnt ( 3 ) ( 4 ) C B G F A ε D E En le déterminisnt on otient: AD BE CF ADG BED CFE ADGF BEDG CFED ADEFG CDEFG BDEFG En complémentnt on otient un utomte pour M: Finlement on le simplifie en supprimnt les étts à prtir desquels les étts ccepteurs sont inccessiles. 2. En oservnt l utomte on voit que M = {,,} - non-vide et fini. 3. Un nturel k n est ps représentle sous l forme 3m +4n si et seulement si k M, d où l réponse:,2,5.
S3. Simplifiction Un utomte A pour ( + ) : Un utomte A2 pour ( + ) : A, B N K L M L utomte produit de A et A2 ccepte l intersection ( + ) ( + ) : AN AK BL AM Comme il n ps d étts ccepteurs, son lngge est vide, d où l expresion régulière : S4. Expressions rithmétiques polonises. L BNF: Expr ::== + Expr Expr Expr Expr ::== 2 3 4 5
2. L expression + 2 + 34 signifie ( + 2) (3 + 4). Son rre syntxique: Expr Expr Expr + Expr Expr + Expr Expr 2 3 4 L expression + 23 signifie (( ) + 2) 3. Son rre syntxique: Expr Expr 3 + Expr 2 S5. Un lngge non-régulier, mis hors-contexte. Pour démontrer que L = { 2k 3k k N} n est ps régulier on utilise l méthode de preuve pr contrdiction. Supposons que le lngge L est régulier. Donc il existe un utomte déterministe fini qui ccepte S. Soit M le nomre d étts de cet utomte. On choisit un mot prticulier w = 2M 3M.Prdéfinition du lngge L on w L. Comme w =5M +>M, on peut ppliquer le lemme de gonflement. Ce lemme dit, qu il existe une décomposition w = xuy vec u ε et xu M, telle que tous les mots de l forme xu i y pprtiennent ussi u lngge S. On ne sit ps quels sont les 3 morceux x, u et y de l décomposition, mis pumping lemm grntit leur existence. Comme xu M, les morceux x et u sont dns les M premiers crctères du mot w et ne peuvent contenir que des. Soient m et n les nomres de lettres dns x et u respectivement. Donc, on x = m, u = n, et, comme w = xuy, le dernier morceu y ne peut être utre chose que 2M m n 3M. Le mot gonflé w = xu 2 y est de l forme xu i y et doit pprtenir u lngge L. Mis w = xu 2 y = m ( n ) 2 2M m n 3M = m+2n+(2m m n) 3M = 2M+n 3M. Comme 2M + n 3M > 2 (on utilisé le fit que n>) et pr définition du lngge L, ce mot 3 ne peut ps pprtenir u même lngge L. L contrdiction otenue conclue l preuve. 2. G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S} Σ = {,} Π = {S S,S } Dérivtion de 4 6 : S S S Dérivtion de : S
3. L utomte à pile:,push(),pop() Pop(Z) S6. Automtes et Arithmétique Décimle. Un nomre déciml est multiple de 5 s il se termine pr ou pr 5, d où l expression régulière (++2+...+9) ( + 5) et l utomte,,2,...,9,5 2. L idée est de clculer l somme des chiffres modulo 3, on ur esoin de trois étts, et 2 pour représenter l somme mod 3, on ccepte lorsque l somme est multiple de 3 (c-à-d dns l étt ). Pour ne ps ccepter le mot vide ε (qui n est ps un nomre déciml) on utilise encore un étt I.,3,6,9 2,3,6,9,4,7,3,6,9 I,4,7,4,7,4,7,3,6,9