Concours d ntré 00-00 Composition d Mathmatiqus Duré: 3 hurs Juillt 00 Rmarqu: L usag d un calculatric non programmabl st prmis. La répartition ds nots st sur points. I- ( points) Résoudr l inéquation ln ln( 3) II- (points) On suppos l plan compl rapporté au rpèr orthonormé. En désign par A l point d affi, par B l point d affi i, par (C) l crcl d cntr O t d rayon t par (D) la droit d équation y =. ( O; u, v ) z i A tout point M d affi z i, on associ l point M d affi z = z i ) Détrminr l nsmbl ds points M d affi z tl qu z =. ) Montrr qu z =. Intrprétr géométriqumnt l résultat. z 3) a- Montrr qu, pour tout point M n appartnant pas à (D), st un imaginair pur. z i b- Démontrr qu ls du droits (AM ) t (BM) sont prpndiculairs. c- M étant un point donné n appartnant pas à (D), construir géométriqumnt l point M. d- Précisr la position d M lorsqu M appartint à la droit (D) privé d B. z III- ( points) Dans l plan compl rapporté au rpèr orthonormé ( O; u, v ). On considèr la suit ds points: A0, A,., An, An+,..., d affis rspctivs z0, z,, zn, zn+,, défini par : z0 = 0 t zn+ = zn i (n ntir naturl) i ) Montrr qu, qul qu soit n, An+ st l imag d An par un similitud dirct dont on détrminra l cntr I, l rapport k t l angl α. ) a- Montrr qu, qul qu soit n, l triangl IAn An+ st rctangl n An+. b- Déduir un construction d An+ à partir d An t placr ls points A0, A, A, A3, A, A (pour fair la figur t uniqumnt dans c but, on prnd comm unité graphiqu cm ). Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
3) On pos ak = air (IAk Ak+) t Sn = a0+ a+ a+..+ an a- Montrr qu la suit d trm général ak st un suit géométriqu dont on détrminra l prmir trm t la raison. b- Calculr Sn n fonction d n t détrminr sa limit lorsqu n tnd vrs +. IV- ( points) On dispos d 3 urns U, U t U3, contnant chacun 6 bouls : U contint bouls blus t bouls rougs. U contint 3 bouls blus t 3 bouls rougs. U3 contint bouls blus t boul roug. ) Dans ctt parti, on considèr l urn U. On n tir, au hasard, un boul. On ffctu ctt opération fois n rmttant chaqu fois la boul tiré dans l urn U. a- Qull st la probabilité d obtnir bouls blus t boul roug dans l ordr suivant : blu, blu, blu, blu, roug? b- Qull st la probabilité d obtnir bouls blus t boul roug dans n import qul ordr? c- Qull st la probabilité d obtnir au moins un boul blu? ) Dans ctt parti, on choisit au hasard, un ds 3 urns U, U, U3, t on tir au hasard un boul a- Qull st la probabilité d obtnir un boul blu? b- On sait qu la boul tiré st blu: qull st la probabilité qu ll provinn d U3? V- (9 points) A- On considèr la fonction f, défini sur ] 0, + [, par f () = (ln ) t l on désign par( C ) sa courb rprésntativ rlativmnt au rpèr orthonormé ( O; i, j). ) Montrr qu f () = + t f () = +. lim lim 0 ) Montrr qu f st dérivabl sur ] 0, + [ t qu f ' () = (ln 3) 3) Soit g la fonction défini sur ] 0, + [ par g () = ln 3 a- Etudir ls variations d g. b- Montrr qu g () =0 possèd un solution uniqu α t qu.0 < α <.. c- Etudir l sign d g () sur ] 0, + [. Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
) a- Etudir ls variations d f. ( ) b- Montrr qu f ( ). En déduir qu - 0.67 f ( ) 0. 6 ) a- Etudir l sign d f () t montrr qu f () < 0 si t sulmnt si ], ² [. b- Calculr f () t f ( ² ) t tracr (C). B- On considèr la fonction F défini sur ] 0, + [ par F () = f(t)dt. On appll ( ) la courb rprésntativ d F. ) a- Sans calculr F (), étudir ls variations d F sur ] 0, + [. b- Qu put-on dir ds tangnts à ( ) n ss points d abscisss t ²? ) a- Démontrr qu ln(t)dt ln b- Démontrr qu F () = ln 3 (ln) ln 3 c- Calculr F (). lim 0 3 ln d- En rmarquant qu F ( ) = ln 3, calculr ln lim F() t lim F() - Drssr un tablau d variation d F t tracr ( ). 3) Calculr l air S du domain limité par (C), l a ds abscisss t ls du droits d équations = t = ². Donnr un valur approché d S à 0-3 près par cès. Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
Concours d ntré 00-00 Solution d Mathmatiqus Duré: 3 hurs Juillt 00 I- Ctt inéquation st défini pour : C qui donn -< < t > 3, d où 3 0 3 0 < <. L inéquation : ln ln( 3) donn >-3 6 D où 0 qui st vérifié pour < ou < < La solution accptabl st alors : < < ou II- ) z = donn, d où - points M st la droit (D) privé d B. z i z i ) z z = z i z i z i = z i z 3 < < Or z z z M d' ou OM Et par suit l point M st un point du crcl (C) z = i t si z = + iy on obtint y =, donc l nsmbl ds y M O B (D) 3) a- M n appartint pas à (D), donc Im(z). z i z (Im( ) ) z i z i z i i z t Im(z) z i z i ( z i)( z i) z i Donc b- On a M (C) - A z st un imaginair pur. z i z AM zm za z qui st un imaginair pur, donc ls du droits (A M ) t (BM) z z z z i BM M B sont prpndiculairs. c- M n appartint pas à (D), donc (A M ) t (BM) sont prpndiculairs donc M s trouv sur la prpndiculair mné d A à (BM) t M st un point d (C), donc M st l point d intrsction autr qu A d cs du nsmbls. d- Si M st un point d (D) privé d B alors z = + i avc 0 0 Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
i i z alors M st confondu avc A. i i i III- ) On a zn zn i zn i, c st la form compl d un similitud. i i i b i On a a t z i a i Donc An+ st l imag d An par la similitud dirct d cntr I (+i), d rapport t d angl. ) a- On a ( IAn ; IAn ) ( ) t IAn IAn, donc l triangl st rctangl n An+ b- IAn A n st rctangl isocèl n An+ t ( An I; An An ) ( ) donc An st l intrsction du dmi-crcl d diamètr [IAn] t d la médiatric d [IAn]. On a z0 =0, z = i, 3 3 z = i, z3 = i, z = i, z = i y IA n A n A A 3 A A A A 0 0 3) a- On a a k air ( IAk Ak ) IAk IAk sin IAk Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
Donc a k t d raison b- On a IA k IA k a k st l trm général d un suit géométriqu d prmir trm S n a lim S n n q 0 q q n n n a 0 0 IA IV-) a- On a p (d avoir B, B, B, B, R)= 6 6 6 6 6 3 b- Avoir un boul roug parmi cinq bouls rvint à avoir: (R, B, B, B, B) ou (B, R, B, B, B) ou (B, B, R, B, B) ou (B, B, B, R, B) ou (B, B, B, B, R) 0 D où p (d avoir R t B)= 3 3 c- L évènmnt : avoir au moins un boul blu st l contrair d l évènmnt ls bouls sont rougs, d où : p (au moins un )= 6 ) a- Considérons ls du évènmnts : B : la boul tiré st blu 3 Ui : la boul tiré provint d Ui p( B) p( U) p( B / U) p( U ) p( B / U ) p( U3) p( B / U3) 3 p ( B) 3 6 3 6 3 6 b- p p( U B) 8 p( B) 9 3 ( U3 / B) V- A. ) lim f ( ) lim lim ln ( ) Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
lim f ( ) lim limln ( ) ( ) 0 0 0 ) f st dérivabl sur ]0 ; [comm étant l produit d du fonctions dérivabls sur ]0 ; [ f ( ) ln (ln 3) 3) a- On a g( ) 0 pour tous, donc g st strictmnt croissant dans b- On a limg( ) t lim g( ) 0 g st continu t strictmnt croissant t g() vari d à alors g() = 0 admt un solution uniqu. g (, 0) = ln (, 0) +,0 3-0,0 < 0 g (, ) = ln (, ) +, 3 0,00 >0 Donc,0 < <, c- g() < 0 pour 0 < < t g() > 0 pour > g() = 0 pour = ] 0; [ ] 0; [ ) a- f () a mêm sign qu g(), d où l tablau d variations d f : 0 f () - 0 + f () f ( ) b- On a f ( ) (ln ) t ln 3 0 ( ) d où f ( ) ( 3 ) On a,0 < <, d où,0< -<, t, < ( -) <,6 t puisqu,, ( ) alors,0,,6,0 t par suit 0,67 < f ( ) < -0,6 Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
d où = ou = donc la courb (C) coup l a n du points d abscisss t ) a- f () = 0 donn ln 0 alors 0 << t >, puisqu f ( ) < 0 0 f () + 0 f ( ) 0 + Donc f () > 0 pour 0 < < ou > f () < 0 pour < < Donc f() < 0 si t sulmnt si b- On a f() = 0 t f ( ) = 0. (On aura t ) f ( ) ln lim lim 0 Donc st un dirction asymptotiqu. y ]; [ - 0 0 B- ) a- On a F ()= f() avc F() = 0, d où l tablau d variations d F : 0 F () + 0 0 + F() 0 Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb
b- Ls tangnts à ( ) au points d abscisss t ) a- Posons u = ln t t v =, on a u t t v=t, d où t lnt b- On a F( ) (lnt ) dt lnt dt t t t sont parallèls à car F () F ( ln t dt t lnt dt ln = t lnt t t ln t lnt = ln ln ln ( 3) ln = ln 3 ln 3 c- On a limf( ) 0 3 ln d- On a limf( ) lim ln ( ) 3 ln F( ) lim - = 0 st un asymptot vrtical à (). y y st un dirction asymptotiqu à F () = 0, F ( ) = - -,389 y () n ) = 0 0 6 8 0 3 3) Pour ]; [, () st au-dssous d, donc S f ( ) d F( ) F(),390 unités d'air. Faculté d géni - Univrsité Libanais Touts ls sssions d'amns d'ntré sont disponibls sur www.ulfg.ul.du.lb