Géométrie dans le plan

Chapitre 2 Géométrie dans le plan 2.1 Vecteurs colinéaires Dénition. Deux vecteurs du plan u et v sont colinéaires si et seulement si : λ R u = λ v. Exemple. u 2 et v 6 sont colinéaires car : v = 3 u. 5 15 Exemple. u 3 et v 4 4 ne sont pas colinéaires car : 7 10 3 10. Il n'y a pas de situation 7 de proportionnalité entre les coordonnées de u et les coordonnées de v. Propriété. Deux vecteurs du plan u x et v y x sont colinéaires si et seulement si : y x y x y = 0. 1

2 CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Démonstration. Procédons par équivalences : u et v sont colinéaires λ R u = λ v x = λ x λ R y = λ y x x = λ λ R y y = λ x x = y y x y = x y x y x y = 0 Exemple. u 13 et v 143 sont colinéaires car : 13 77 ( 143) ( 7) = 0. 7 77 Exemple. u 8 et v 1 ne sont pas colinéaires car : 8 0,6 ( 1) ( 5) = 0,2 0. 5 0,6 Propriété. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Démonstration. Procédons par équivalences : (m (AB) ) (m (CD) ) m (AB) = m (CD) en notant m le coecient directeur d'une droite. y B y A x B x A = y D y C x D x C y AB = y CD x x AB CD x AB y CD = x CD y AB x AB y CD x CD y AB = 0 AB et CD sont colinéaires. Propriété. Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires. Démonstration. Conséquence triviale de la propriété précédente.

2.2. VECTEURS ET DROITES 3 Exemple. Les points A(1 ; 5), B(9 ; 7) et C(189 ; 52) sont alignés car AB 8 et AC 188 2 47 sont colinéaires. En eet : 8 47 188 2 = 0. 2.2 Vecteurs et droites 2.2.1 Vecteur directeur d'une droite Dénition. Un vecteur u est un vecteur directeur d'une droite D si et seulement s'il existe deux points distincts A et B de D tels que AB = u. Remarque. A et B étant distincts, un vecteur directeur n'est jamais nul. Propriété. Les droites D et D ayant pour vecteurs directeurs respectifs u et u sont parallèles si et seulement si u et u sont colinéaires. Démonstration. Application triviale de la dénition d'un vecteur directeur et d'une propriété de la section précédente (sur le parallélisme de deux droites). Propriété. Si u est un vecteur directeur d'une droite D, alors : un vecteur v est un vecteur directeur de D si et seulement si u et v sont colinéaires entre eux, et que v n'est pas nul. Démonstration. u étant un vecteur directeur de D, il existe par dénition deux points distincts A et B de D tels que AB = u. Procédons par implications : (= ) Montrons que si v est un vecteur directeur de D, alors u et v sont colinéaires entre eux. v est un vecteur directeur de D = C, D D v = CD = λ R v = λ u car CD et AB sont colinéaires puisque A, B, C et D sont quatre points de D. Donc u et v sont colinéaires. ( =) Montrons que si u et v sont colinéaires entre eux avec v non nul, alors v est un vecteur directeur de D. v est non nul et colinéaire à u = λ R v = λ u = λ R AC = λ AB

4 CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN en notant C un point du plan tel que v = AC. Ainsi, AC et AB sont colinéaires donc A, B et C sont alignés : C D. AC = v est donc un vecteur directeur de D. Les deux implications sont vraies, donc les assertions sont équivalentes et la propriété est démontrée. Propriété. On note D la droite du plan passant par un point A donné et dirigée par un vecteur u non nul donné. Un point M appartient à D si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Démonstration. Application triviale de la dénition d'un vecteur directeur et d'une propriété de la section précédente (sur l'alignement de trois points). Remarque. Ainsi, une droite du plan peut être caractérisée par un point A et un vecteur u donnés. On peut la noter (A ; u) (elle correspond alors à un repère à une dimension). Propriété. Dans le plan muni d'un repère, le vecteur u 1 est un vecteur directeur de la m droite D : y = mx + p. Démonstration. Les points A(0 ; p) et B(1 ; m+p) sont deux points distincts de D donc AB 1 m est un vecteur directeur de D. Exemple. La droite D : y = 4 7 x 2 3 car v = 7 u. admet pour vecteur directeur u 1, mais aussi v 7 4 7 4 2.2.2 Équation cartésienne d'une droite Propriété. Dans le plan muni d'un repère, toute droite D admet une équation de la forme : ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0). Cette forme de présentation est appelée équation cartésienne de D.

2.2. VECTEURS ET DROITES 5 Démonstration. Démonstration exigible. Si A(x A ; y A ) est un point de D et u α en est un vecteur directeur, alors : β M(x ; y) D AM et u sont colinéaires (x x A ) β = α (y y A ) βx + ( α)y + (αy A βx A ) = 0 ax + by + c = 0 avec a = β, b = α et c = αy A βx A. De plus, comme u n'est pas nul, on a : (α ; β) (0 ; 0) d'où (a ; b) (0 ; 0). Remarque. Dire que D admet pour équation ax + by + c = 0 signie que : M(x ; y) D ax + by + c = 0. Remarques. Une droite D admet une innité d'équations cartésiennes. Si u α dirige une droite D, alors celle-ci admet une équation cartésienne de la forme β βx αy + c = 0. Exemple. On note D la droite du plan repéré passant par A( 5 ; 4) et dirigée par u 3. 7 D'après la remarque, D admet une équation cartésienne de la forme : 7x 3y + c = 0. Comme de plus A D, on a : 7x A 3y A + c = 0 7 ( 5) 3 4 + c = 0 c = 23 Ainsi, une équation cartésienne de D est 7x 3y 23 = 0. Une autre équation cartésienne de D est 14x + 6y + 46 = 0. Propriété. Dans le plan muni d'un repère, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) dénit une droite, qui admet pour vecteur directeur u b. a Démonstration. On admet cette propriété.

6 CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Exemple. Dans le plan muni d'un repère, l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2x 3y +5 = 0 est une droite qui admet pour vecteur directeur u 3. 2 Elle admet également pour vecteurs directeurs v 6 et w 3. 4 2 2.3 Décomposition d'un vecteur du plan Théorème-Dénition. Si A, B et C sont trois points non alignés du plan, alors : pour tout point M du plan, il existe un unique couple de nombres réels (x ; y) tel que AM = x AB + y AC. ( On dit que A ; AB, ) AC est un repère du plan et que (x ; y) est le couple de coordonnées de M dans ce repère. Démonstration. On admet ce théorème. Exemple. Dans le parallélogramme ANPQ, on place le point M milieu de [AN]. Ainsi : AP = AQ + 2 AM ; AN = 0 AQ + 2 AM ; AQ = AQ + 0 AM. On en tire les coordonnées des points suivants ( dans le repère A ; AQ, ) AM : P(1 ; 2), N(0 ; 2) et Q(1 ; 0). Propriété. Si u et v sont deux vecteurs non colinéaires du plan, alors : pour tout vecteur w du plan, il existe un unique couple de nombres réels (x ; y) tel que w = x u + y v. Dans ce cas, les coordonnées de w dans le repère (A ; u, v) sont w x. y ( Exemple. Sur la gure précédente, on a, dans le repère A ; AQ, ) AM : MP = AQ + AM donc MP 1 ; MQ = AQ AM donc MP 1 ; 1 1 PQ = 0 AQ 2 AM donc MP 0. 2