Chapitre 2 : Vecteurs et droites du plan La notion de vecteur vu en classe de seconde est un outil essentiel dans la modélisation de problème tel qu en physique. Cette notion permet de comprendre plusieurs phénomènes, en voici un exemple : Deux fois par an, en février et en octobre, le soleil levant est aligné avec l entrée du grand temps d Abou Simbel, en Egypte, et la statue de Ramsès II, située à plus de 60m, au fond du sanctuaire. I. Colinéarité de deux vecteurs On reprend cette notion avec un rappel du cours de second sur les vecteurs colinéaires. Définition : Vecteurs colinéaires Soient u et v deux vecteurs du plan. Dire que u et v sont colinéaires signifie qu il existe un nombre réel k tel que v = ku (ou u = kv). C est-à-dire que les vecteurs u et v ont même direction. Remarque : Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul 0. En effet, pour tout vecteur u on a l égalité suivante : 0 = 0 u dans ce cas k = 0. Exemple : On considère le plan muni d un repère avec les vecteurs u ( 1 3 ) et v(2 6 ). On constate que les vecteurs u et v sont colinéaires puisque v = 2u. On aurait pu justifier la colinéarité en annonçant la seconde égalité u = 1 2 v. Propriété 1 : Droites parallèles Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont prallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On peut résumer la colinéarité entre deux vecteurs AB et CD par ces équivalences : 1
Propriété 2 : Le déterminant Dans un repère du plan, dire que les vecteurs u ( x ) et v (x ) sont colinéaires équivaut à dire que y y xy x y = 0 On appelle la quantité xy x y le déterminant des vecteurs u et v. Démonstration : Démontrons les deux implications dans cette équivalence. Supposons que u et v sont colinéaires et montrons que xy x y = 0. Il existe un nombre réel k tel que v = ku donc x = kx et y = ky. On en déduit que xy x y = x(ky) (kx)y = 0. On a prouvé que si u et v sont colinéaires, alors xy x y = 0. Supposons que xy x y = 0 et démontrons que u et v sont colinéaires. Si u = 0 alors u est colinéaire à v. Si u 0 l une de ses coordonnées, par exemple x est non-nulle et donc y = x x y. Ainsi, on pose k = x il en résulte que x x = kx et y = ky et donc v = ku On a prouvé que si xy x y = 0 alors u et v sont colinéaires. Par double implication, on a démontré l équivalence : «u et v colinéaires» équivaut à «xy x y = 0» Exemple : On considère le plan muni d un repère. On considère les vecteurs u ( 5 1 4 ) et v( ). Les vecteurs sont-ils colinéaires? 1 5+1 On calcule le déterminant de u et v : ( 5 1) ( 5 + 1) ( 1) ( 4) = (5 1) 4 = 0. Le déterminant des vecteurs u et v est nul donc les vecteurs sont colinéaires. Propriété 3 : Trois points alignés Soient A, B et C trois points du plan. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exemple : On considère le plan muni d un repère avec les points A(5; 2), B(8; 2) et C( 1; 10). Les points A, B et C sont-ils alignés? Les coordonnées des vecteurs sont AB ( 3 ) et AC ( 6 ) et 3 ( 8) 4 8 4 ( 6) = 0. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. On en conclut que les points A, B et C sont alignés. 2
II. Vecteurs directeurs d une droite Définition : Vecteurs directeur d une droite Un vecteur u est un vecteur directeur d une droite (d) s il existe deux points distincts A et B de (d) tels que AB = u Remarque : Un vecteur directeur d une droite ne peut pas être nul car les points A et B sont distincts. Propriété 1 : Deux droites parallèles Une droite de vecteur directeur u et une droite de vecteur directeur u sont parallèles si et seulement si les vecteurs u et u sont colinéaires. Démonstration : D après la définition, il existe deux points distincts A et B sur la droite de vecteur directeur u tel que AB = u. De même il existe deux points distincts A et B sur la droite de vecteur directeur u tel que A B = u. D après la propriété en partie I, on peut rapidement conclure. En effet, si on suppose que les droites sont parallèles alors (AB) et (A B ) sont aussi parallèles et donc AB = u et A B = u sont colinéaires. Réciproquement, si on suppose u = AB et v = A B colinéaire alors (AB) et (A B ) sont parallèles. 3
Propriété 2 : Vecteur directeur d une droite Soit u un vecteur directeur d une droite (d). Le vecteur v est un vecteur directeur de la droite (d) si et seulement si le vecteur v est non-nul et colinéaire à u. Démonstration : Le vecteur u est un vecteur directeur de (d) donc il existe deux points distincts A et B de (d) tels que u = AB. Supposons que v est un vecteur directeur de la droite (d) et montrons que v est non-nul et colinéaire à u. Il existe deux points distincts C et D de (d) tel que v = CD puisque C et D sont distincts v 0. Les points A, B, C et D sont alignés sur la droite (d), donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On en conclut que le vecteur v est colinéaire au vecteur u. Supposons que v est non-nul et colinéaire à u. Montrons que v est un vecteur directeur de (d). Il existe un point C distinct de A tel que v = AC et un réel k tel que v = ku. C est-à-dire AC = kab donc A, B et C sont alignés, autrement dit le point C est un point de (d). Donc v est un vecteur directeur de la droite (d). Propriété 3 : Vecteur directeur d une droite Soient A un point du plan, u un vecteur non-nul et (d) la droite passant par A de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite (d) si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Démonstration : C est une conséquence de la définition de vecteur directeur et de la propriété sur l alignement des points en partie I. 4
Propriété 4 : Vecteur directeur d une droite Dans le plan muni d un repère, le vecteur u ( 1 ) est un vecteur directeur de la droite (d) d équation m réduite y = mx + p où p est quelconque. Démonstration : On considère les points A(0; p) et B(1; m + p). Les deux points appartiennent à la droite (d) puisque p = m 0 + p et m + p = m 1 + p. Donc u = AB est un vecteur directeur de la droite (d). Exemple 1 : Soit la droite (d) d équation y = 2 x + 5. Déterminer un vecteur directeur de (d). 3 Le vecteur u ( 1 2) est un vecteur directeur de la droite (d). 3 Le vecteur v = 3u de coordonnées ( 3 ) en est un autre. 2 Exemple 2 : Soit u ( 2 ) un vecteur directeur de la droite (d) passant par A( 1; 2). 4 Déterminer l équation réduite de la droite (d). Le vecteur v = 1 2 u est un autre vecteur directeur avec v(1 2 ). Donc l équation réduite de la droite (d) est y = 2x + p. Or A est un point de la droite (d). Donc 2 = 2 ( 1) + p 2 = 2 + p. On en déduit que p = 4. L équation réduite de la droite (d) est donc y = 2x + 4. 5
III. Equations cartésiennes de droites Propriété 1 : Equations cartésiennes 1 Dans un repère du plan, toute droite (d) admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a; b) (0; 0). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d). Remarque : Un point A(x A ; y A ) appartient à la droite (d) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. C est-à-dire ax A + by A + c = 0. Démonstration : Soit A un point de (d) et u ( α ) un vecteur directeur de (d). β Un point M(x; y) appartient à (d) si et seulement si AM ( x x A) et u ( α ) sont colinéaires. y y A β C est-à-dire si le déterminant des deux vecteurs est nul : β(x x A ) α(y y A ) = 0 En développant, on obtient qu un point M(x; y) (d) si et seulement si βx αy βx A + αy A = 0. Cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec a = β, b = α et c = βx A + αy A. Puisque u 0, on a (α; β) (0; 0) et donc (a; b) (0; 0). Propriété 2 : Equations cartésiennes 2 Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a; b) (0; 0) est l équation d une droite. Cette droite a pour vecteur directeur u ( b a ). Démonstration : Soit (E): ax + by + c = 0 avec (a; b) (0; 0). On a by = ax c Si b = 0 alors on a forcément a 0 et x = c a. Donc c est une équation de la forme x = k qui est une équation de droite parallèle à l axe des ordonnées. Un vecteur directeur est de la forme u ( 0 β ), un autre vecteur directeur est v(0 a ). Si b 0 alors y = ax c = a x c, en posant m = a et p = c, on obtient une équation de la b b b b b forme y = mx + p, qui est une équation de droite sécante à l axe des ordonnées et de vecteur directeur u ( 1 ). Puisque b 0, un autre vecteur directeur est bu ( b m a ). Exemple : Dans un repère du plan, on considère (d) l ensemble des points M(x; y) tels que 2x + 4y 5 = 0. Déterminer un vecteur directeur de (d). (d) est une droite de vecteur directeur u ( 4 2 ). Les vecteurs v( 4 2 ) et w (2 ) sont aussi des vecteurs directeurs de (d) puisqu ils sont colinéaires à u. 1 6
IV. Décomposer un vecteur Propriété 1 : Règle du parallélogramme Soit A, B, C trois points du plan. AB + AC = AD où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Démonstration : AC = BD car ABDC est un parallélogramme. Donc AB + AC = AB + BD. Par la relation de Chasles, on en déduit que AB + AC = AD Propriété 2 : Coordonnée de point dans un repère de vecteur Soit A, B, C trois points non-alignés du plan. Pour tout point M du plan, - il existe des réels x et y tels que AM = xab + yac - ce couple de réels (x; y) est unique. On dit que (A; AB ; AC ) est un repère du plan et que (x; y) est le couple de coordonnées de M dans ce repère. Notation : M(x; y) dans le repère (A; AB ; AC ) signifie que AM = xab + yac. Ce couple (x; y) est aussi le couple de coordonnées de M dans le repère (A; B; C). Démonstration : Voir en TP. Exemple : APMQ est un parallélogramme, d où AM = AP + AQ. AP = 3 AB et AQ = 4 AC donc 2 3 AM = 3 2 AB + 4 3 AC On a donc M ( 3 ; 4 ) dans le repère (A; AB ; AC ). 2 3 7
Propriété 3 : Coordonnée de vecteur dans un repère de vecteur Soit u et v deux vecteurs non colinéaires du plan. Pour tout vecteur w du plan, il existe un unique couple de réels (x; y), tel que w = xu + yv Démonstration : Soit A un point du plan et les points B, C, M tels que AB = u, AC = v, AM = w. On applique la propriété précédente à ces points A, B, C, M et on admet que x ne dépend pas du point A choisi. Exemple : Sur la figure ci-contre, w = 2i j. Dans le repère (O; i; j), w a pour couple de coordonnées (2; 1) ce que l on note w (2; 1) ou w ( 2 1 ) 8