Chapitre 3 triangle rectangle et perpendicularite : on vous dit tout! I l égalité de Pythagore : rappels Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC²=AB²+AC² 1 ) l égalité de Pythagore pour calculer une longueur inconnue d un triangle rectangle 9 B A? 12 On sait que ABC est un triangle rectangle en A. Or d après l égalité de Pythagore BC²=AB²+AC². Donc BC² = 9² + 12² BC² = 81 + 144 BC² = 225 C BC = BC = 15 F 7,2 7,8 R? On sait que ROF est un triangle rectangle en R. Or d après l égalité de Pythagore FO²=OR²+FR². Donc 9,7² = OR² + 7,2² 94,09 = OR² + 51,84 O OR² = 94,09 51,84 OR² = 42,25 OR = OR = 6,5 2 ) l égalité pour vérifier qu un triangle est ou n est pas rectangle N 8,5 7,8? L M 3,6 Dans le triangle LMN, NL est le côté le plus long. On a NL² = 8,5² = 72,25 On a aussi : LM² + MN² = 3,6² + 7,8² = 12,96 + 60,84 = 73,8. L égalité de Pythagore n est pas vérifiée donc le triangle LMN n est pas un triangle rectangle. Soit un triangle ABC tel que AB=21, AC=29 et BC=20. Ce triangle est-il un triangle rectangle? Dans le triangle ABC, AC est le côté le plus long. On a AC²=29²=841. On a aussi : AB² + BC² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. L égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ABC est un triangle rectangle en B. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 1
II Prouver qu un triangle est rectangle prouver la perpendicularité 1 ) Les mots pour le dire Toutes les propositions suivantes parlent du même phénomène : la perpendicularité. (AB) (d) La droite (AD) est perpendiculaire à la droite (d). La droite (AD) fait un angle droit avec la droite (d). La droite (AD) et la droite (d) sont perpendiculaires. La droite (AD) et la droite (d) sont orthogonales. La droite (AD) et la droite (d) forment un angle de 90 D autres mots encore seront à découvrir au lycée. 2 ) Triangle inscrit dans un cercle ABC sont 3 points distincts. Si le point A est sur le cercle de diamètre [BC] alors ABC est un triangle rectangle en A. Conséquence : Dans un triangle, si la médiane relative à 1 côté mesure la moitié de côté, alors ce triangle est rectangle. (cela signifie que la longueur de la médiane est égal au rayon du cercle circonscrit, et par conséquent que le triangle est rectangle) 3 ) Rappel des autres cas possibles où intervient la perpendicularité Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. La médiatrice d un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Pour prouver qu une droite est la médiatrice d un segment, on peut prouver que cette droite est un axe de symétrie du segment (non confondu avec le segment) ou bien que chaque point de la droite est à égale distance des extrémités du segment. Un losange est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu. Pour prouver qu un quadrilatère est un rectangle, on peut prouver que ses 4 côtés sont de la même longueur ; ou bien prouver que c est un parallélogramme avec 2 côtés consécutifs de même longueur Un rectangle est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits. Pour prouver qu un quadrilatère est un rectangle, on peut prouver que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu ; ou bien prouver que c est un parallélogramme avec un angle droit ; ou bien prouver que c est un quadrilatère avec 3 angles droits Un carré est à la fois un losange et un rectangle et possède donc toutes leurs propriétés réunies. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 2
III Trigonométrie (trigone = polygone à 3 côtés = triangle) 1 ) étude dans le triangle rectangle Activité : les triangles suivants ont été agrandis ou rétrécis à la photocopieuse : Que peux-tu dire des angles pour chaque taille de triangle? (juste pour ta culture générale, de tels triangles sont appelés triangles «semblables» : ils ont les mêmes angles, mais pas les mêmes dimensions) En prenant les mesures sur les figures, remplis le tableau ci-dessous : (= ) Triangle en degrés Moyen Grand Petit Avec la calculatrice en mode DEG (voir plus loin), calcule le cosinus de l angle en appuyant sur la touche COS puis en tapant l angle mesuré. Que remarques-tu? Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 3
2 ) le cosinus d un angle aigu Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle (aigu) par la longueur de l hypoténuse. La calculatrice donne des valeurs approchées comme par exemple : Cos 40 0,766 Comment mettre une calculatrice scientifique collège en mode DEG (degrés)? Pour la casio (vert-bleu) SECONDE puis CONFIG puis 3 : DEG Pour la TI (orangé-rouge ou bleue) MODE puis DEG Pour tester si ça a marché : vérifier que cos (60) = Pour la culture générale : le mode RAD correspond aux mesures d angles en RADIANS. Il sera étudié au lycée. Le mode GRA ou GRAD correspond aux mesures d angles en GRADES. C est une mesure inventée lors de la révolution française et qui n est pratiquement plus utilisée aujourd hui. Propriété : Le cosinus d un angle aigu est toujours strictement compris entre 0 et 1. ATTENTION! C est un bon truc pour vérifier qu on travaille bien avec un angle aigu, car sinon le cosinus peut être négatif ou nul ou égal à 1. Remarque : le cosinus est un rapport de 2 grandeurs identiques et il n a donc pas d unité. A quoi ça sert? - Calculer une longueur inconnue d un triangle rectangle à condition de connaître la mesure d un angle aigu et la longueur d un des côtés du triangle. Exemple : Soit un triangle ABC rectangle en A tel que = 30 et BC = 5cm. Calculer AB. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 4
- Trouver la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle. Si on connait le cosinus d un angle, on peut trouver la mesure de l angle à l aide de la touche ARCCOS de la calculatrice. Exemple : Dans le triangle KLM rectangle en K on a LM = 12 et KL = 3. Quelle est la mesure de l angle? est l angle dont le cosinus vaut 0,25. Exemple qui demande une petite adaptation : Dans le triangle ABC rectangle en B, on cherche la longueur du côté opposé à l angle. On doit donc appliquer d abord la propriété : les trois angles de tous les triangles sont supplémentaires afin de connaître la mesure de l angle aigu :. Une autre méthode de résolution de ce cas de figure est donnée au paragraphe suivant. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 5
3 ) Le sinus et la tangente CAH SOH TOA Comme le cosinus, le sinus et la tangente sont des rapports de longueur. CAH SOH TOA Mme Heisler utilisait plutôt SIN OP HYP COS ADJ HYP et TANG OP ADJ qui était une formule tout aussi saugrenue mais moins grossière. Propriétés : Dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le côté le plus long. Donc : Et Pour la tangente, on peut juste dire qu elle est un nombre strictement positif. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 6
Propriété importante : La démonstration de cette propriété s appuie sur des théorèmes et autres propriétés bien connus : Si on cherche à expliciter l écriture : On écrit la définition du cosinus et du sinus d un angle aigu : ( ) ( ) On développe les carrés sur les fractions : On fait la somme des numérateurs car les 2 termes ont le même dénominateur : On utilise l égalité de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C (AC²+BC²=AB²) CQFD. Cette démonstration n est pas à connaître par cœur, mais il est intéressant de pouvoir en suivre le raisonnement. Blanche Heisler madameheisler@gmail.com 7