MDI Lycée Clément Ader ATELIER DE MATHEMATIQUES I. Multiplication et division de nombres relatifs Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif. Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signe contraire est négatif. II. Priorité des opérations. Suppression des parenthèses 1. Règles de priorité des opérations Règle 1 : On calcule d'abord les expressions entre parenthèses (s'il y en a) Règle 2 : En l'absence de parenthèses on effectue : d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions, ( et ont le même niveau de priorité) puis les additions et soustractions (+ et - aussi). Règle 3 : deux opérations ayant le même niveau de priorité s'effectuent dans l'ordre où elles sont écrites. Exemples : a = 3 + 2 5² = 3 + 2 25 = 3 + 50 = 53 b = 3-4 + 5 = -1 + 5 = 4 c = 3 2 4 = 6 4 = 1,5 2. Suppression des parenthèses dans une somme On peut supprimer les parenthèses précédées du signe + du signe - à condition de changer les signes des termes entre parenthèses. III. Développer, factoriser 1. Pour développer un produit k (a + b) = k a + k b On multiplie k par chaque terme de la somme (a+b) (a+b) (c+d) = a c + a d + b c + b d On multiplie chaque terme de la somme (a+b) par chaque terme de la somme (c+d) 2. Pour factoriser une somme On cherche un facteur commun à tous les termes de la somme. On peut ainsi réduire certaines expressions. Exemples : 3 10 + 3 13 = 3 (10 + 13) = 3 23 = 69 2a + 3a = (2 + 3) a = 5a
IV. Résolution d'une équation Exemple : Résoudre l'équation 7x - 3 = 9 Si 7x - 3 = 9 alors on a (7x - 3) + 3 = 9 + 3 soit 7x = 12 c'est-à-dire x = 12/7. Vérification : 7 (12/7) - 3 = 12-3 = 9 donc 12/7 convient Conclusion : L'équation 7x - 3 = 9 admet une seule solution 12/7. V. Fractions 1. Egalité de deux fractions. Avec k 0 et b 0, on a 2. Simplification de fraction. Exemple : Avec a 0, on a : 3. Multiplication de fractions. Avec a 0 et b 0, on a : Inverse d'une fraction. Soit b 0 et d 0 : l'inverse de a/b est. 4. Division avec des fractions. Avec b 0, c 0 et d 0, on a :. Pour diviser par, on multiplie par son inverse. VI. Puissances 1. Définitions Soit n un nombre entier positif : a n = a a... a n est l'exposant et il y a n facteurs. aº = 1, et pour a 0,. a -n est l'inverse de a n.
2. Exemples 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 10-2 5-1 3. Quelques formules. C'est l'inverse de a. Produit des puissances somme des exposants..quotient des puissances différence des exposants.. Puissance d'un produit produit des puissances. VII. Médiatrices La médiatrice du segment [AB] est la droite d perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu I de [AB]. Tout point M de d vérifie MA = MB. Réciproquement, si un point M vérifie MA = MB alors M est un point de la médiatrice d. VIII. Parallélogrammes Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles. Soit un quadrilatère : Proposition 1 : S'il est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux. Réciproque 1 : Si ses diagonales se coupent en leurs milieux, c'est un parallélogramme. Proposition 2 : S'il est un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur. Réciproque 2 : Si ses côtés opposés ont même longueur, c'est un parallélogramme. Réciproque 3 : S'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme.
Parallélogrammes particuliers Définition 1 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit. Proposition 1 : Tous les angles d'un rectangle sont droits. Proposition 2 : Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur. Réciproque 2 : Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle. Définition 2 : Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur. Proposition 3 : Un losange est un parallélogramme. Réciproque 3 : Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Proposition 4 : Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange. Définition 3 : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. IX. Théorème de Pythagore Propriété de Pythagore Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ². Réciproquement Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A. X. Théorème de Thalès Soient (d) et (d ) sont deux droites sécantes en A, Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A, Soient C et N deux points de la droite (d ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
Exemple Sur la figure ci-dessus, on donne : AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm, MN = 3 cm. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Calculer AM, puis BC. Solution : Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès, on a : c est-à-dire : De, on déduit que : AM = Donc : AM = 8 cm De, on déduit que : BC = Donc : BC = 4,5 cm Réciproquement Données : A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre.
Réciproque du théorème de Thalès : Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en A, Soient B et M deux points de (d), distincts de A, Soient C et N deux points de (d ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Exemple : Sur la figure ci-dessus, les points A, M, B et A, N, C sont alignés. Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Solution : On a : et. Donc :. De plus, les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les points C, A, N sont alignés dans le même ordre que les points B, A, M. D après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.