A8 MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PAISTECH, ISAE-SUPAEO, ENSTA PAISTECH, TELECOM PAISTECH, MINES PAISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PAISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOUS 8 DEUXIÈME ÉPEUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l épreuve : 3 heures L usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.
Transformation d Ornstein-Uhlenbeck Définition (Fonctions dérivables) Pour tout entier k, on notera Cb k () l ensemble des fonctions bornées de classe C k sur dont toutes les dérivées d ordre inférieur ou égal à k sont aussi bornées. On note où, comme d habitude, f () = f. ÎfÎ Œ =sup f(x) et ÎfÎ k,œ = sup Îf (j) Î Œ, xœ j=,,k Définition (Fonctions à croissance lente) On dira qu une fonction f est à croissance lente si et seulement si il existe (A, m) œ ú + N tels que pour tout réel x, f(x) ÆA ( + x m ). On notera C l () l ensemble des fonctions continues sur qui sont à croissance lente. On note C k l () l ensemble des fonctions à croissance lente, de classe Ck dont toutes les dérivées jusqu à l ordre k sont à croissance lente. On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour k Ø, pour toute fonction f de classe C k+ sur [a, b], f(b) = kÿ j= f (j) (a) j! (b a) j + k! b a (b t) k f (k+) (t) dt. I Préliminaires. Montrer que pour toute fonction f de classe C k+ sur [a, b], f(b) = kÿ j= f (j) (a) j! (b a) j + (b a)k+ k! ( ) k f (k+) (a + (b a)) d. Pour n œ N et >, on définit g n, : æ x æ x n e x.. Démontrer que pour tout >, pour tout n Ø, lim x æ+œ x g n, (x) =, et en déduire que g n, est intégrable sur.
On admettra que 3. Calculer e y / =. Œ e 3t e t dt en utilisant le changement de variables = arcsin(e t ). 4. Démontrer que pour tout (m, n) œ N, la fonction x æ ( + x m )( + x n ) + x n+m, est bornée sur. EndéduirequeC l () est un -espace vectoriel qui est stable par produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent à C l (). II Transformation d Ornstein-Uhlenbeck Pour simplifier les notations, pour t Ø, on pose t = apple e t. 5. Démontrer que pour tout f œc l (), pour tout x œ et tout t Ø la fonction est intégrable sur. æ y æ f e t x + t y e y Pour tout t Ø, on définit alors la fonction P t f par P f = f et pour tout t>, P t f : æ x æ f e t x + t y e y Pour x œ, on note h x la fonction définie par h x : + æ t æ P t f(x).
6. Démontrer que, pour tout f œc l () et tout x œ, h x est une fonction continue sur + vérifiant lim P tf(x) = f(y)e y tæœ Indication. On pourra utiliser, après l avoir prouvée, l inégalité suivante : pour tout (x, y) œ et tout t Ø : - -e t x + t y- Æ x + y. 7. A l aide d un changement de variables, démontrer que pour tout f œc l (), tout x, h œ et tout t> : P t f(x + h) = f(e t x + t y)exp e t (y h) t Pour > et y œ fixés, soit  y la fonction définie par  y :[ /, / ] æ h æ exp( (y h) ). 8. Montrer que sup Ây(h) Õ Æ hœ[ /, / ] I ( y + ) si y Æ, ( y + ) exp( ( y ) ) si y >. 9. Soit f œc l () et t> fixé. Déterminer lim hæ P t f(x + h) P t f(x) h En déduire que P t f est de classe C sur et que pour tout x œ, sadérivéeest donnée par : (P t f) Õ (x) = e t f(e t x + t y) ye y t 3
. Démontrer que pour tout (a, b) œ et tout m Ø : a + b m Æ m ( a m + b m ). En déduire que pour tout f œc l (), on a x æ P t f(x) œc l (). On admet dorénavant le lemme suivant. Lemme Si f appartient à Cl k alors pour tout t>, la fonction x æ P t f(x) est de classe C k et (P t f) (k) (x) =e kt f (k) (e t x + t y) e y () III Générateur infinitésimal Dans toute cette partie, on suppose que f appartient à Cl () et l on fixe x œ.. Démontrer que h x est C sur ú + et que pour tout t >, h Õ x(t )= e t x (P t f Õ )(x)+ e t t f Õ (e t x + t y) ye y. Soit g œcl (), montrer que g( t y) ye y = t g Õ ( t y) e y 3. Montrer que h x est C sur + à l aide du théorème de prolongement et que h Õ x() = f ÕÕ (x) xf Õ (x). On notera L l opérateur défini par ou de façon plus simple, pour tout x œ, L : Cl æ C l () f æ Lf : x æ f ÕÕ (x) xf Õ (x) (Lf)(x) =f ÕÕ (x) xf Õ (x). 4
IV Théorème central limite On admet le théorème de représentation suivant. Théorème Pour toute fonction f œcl (), pourtouty œ, Œ f(x)e x / dx f(y) = L(P t f)(y) dt. Soit (X n,nø ) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépendantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisé (, A, P). On suppose de plus que X 3 a une espérance finie. 4. Montrer que X et X ont une espérance finie. Indication. On pourra découper l espace probabilisé par rapport à. selon la position de X (Ê) On suppose dorénavant que E # X $ =et E [X ]=. On fixe n Ø et l on pose S = ÿ n X i et S (j) = ÿ n X i. n n i =j 5. appeler la définition de l indépendance mutuelle des variables X,,X n.endéduire que les variables X et (X,,X n ) sont indépendantes. 6. Pour g fonction bornée, montrer que pour m œ{,, 3} et tout i œ{,,n}, È È E Xi m g(s (i) ) = E [Xi m ] E g(s (i) ). () Dans les questions suivantes, on suppose g œc 3 b. 7. Déduire de () l identité suivante : E # g ÕÕ (S) Sg Õ (S) $ = n nÿ È E g ÕÕ (S) g ÕÕ (S (i) ) ÿ n 3 E 5X i g Õ (S) g Õ (S (i) ) X 46 i g ÕÕ (S (i) ). (3) n n 5
8. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question, établir l identité suivante : E [Lg(S)] = n 3/ nÿ E 5X i g (3) (S (i) + nÿ n 3/ 5 E Xi 3 6 X i ) d n ( ) g (3) (S (i) + 6 X i ) d. n 9. Montrer que - -E [Lg(S)]- Æ Îg(3) Î Œ n E X + X 3È.. En utilisant la question 9 et l équation (), montrer que pour f œcb, pour tout t>, pour tout réel x, (P t f) (3) (x) = e 3t t f ÕÕ (e t x + t y) ye y /, puis que Î(P t f) (3) Î Œ Æ Ú fi e 3t t ÎfÎ,Œ.. En déduire que sup fœc b - E [f(s)] f(y)e y / - --- Æ fi ÎfÎ,Œ n E X + X 3È. On admet que l expression suivante - sup -E [f(x)] E [f(y )]- fœcb ÎfÎ,Œ Æ définit une distance entre les lois de X et de Y. On a donc montré que la vitesse de convergence dans le théorème de la limite centrée est de l ordre de / n. Fin du problème 6