Application de la théorie des ondelettes

- Application de la théorie des ondelettes Valérie Perrier Laboratoire de Modélisation et Calcul de l IMAG Institut National Polytechnique de Grenoble Valerie.Perrier@imag.fr Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images numériques, Tunis, ENIT, 4-8 mars 25

Planning des cours Cours Transformée en Ondelettes Continue D et applications Cours 2 Transformée en Ondelettes Continue 2D. Partie I : théorie et implémentation. Cours 3 Transformée en Ondelettes Continue 2D. Partie II : Applications en imagerie médicale. Cours 4 Bases d ondelettes D et applications. Cours 5 Bases d ondelettes 2D. Applications au traitement d images (compression, débruitage).

Bibliographie générale Livres : - S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes, Les Editions de l Ecole Polytechnique, 2. - B. Torresani, Analyse continue par ondelettes, Savoirs actuels - Interéditions/CNRS éditions, 995. Liens intéressants : - WaveLab : bibliothèque de TO -gratuite- tournant sur matlab : http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/ - Wavelet Digest : le site de la communauté ondelettes : évènements, bibliographie, softwares, liens,.. http://www.wavelet.org - Let It Wave : la première startup française vendant des ondelettes, bandelettes, etc.., créée par S. Mallat : http://www.letitwave.fr/

Cours : Transformée en Ondelettes Continue D et applications - I - Transformée en Ondelettes Continue - Généralités - Introduction : de Fourier aux ondelettes 2 - Définitions : ondelettes, TOC. 3 - Propriétés de la TOC. Formules d inversion. 4 - Implémentation. 5 - Exemples. Représentation temps-échelle. 6 - Analyse de la régularité locale d une fonction - II - Applications de la transformée en Ondelettes continue - Détection et calcul de singularités par la technique de suivi des maxima lines de Mallat 2 - Turbulence : analyse spectrale locale. Comparaison spectres Fourier/ondelettes.

- I -Transformée en Ondelettes Continue - Généralités - De l analyse de Fourier à l analyse par ondelettes L analyse de Fourier est une analyse en fréquence d un signal f(x) (x=temps) Si la fonction f est périodique de période T: c n (f) = T ou, si f appartient à L (R) : T f(x)e 2iπ n T x dx ˆf(ν) = + f(x)e 2iπνx dx donne le contenu fréquentiel de f pour la fréquence n T ou ν.

Exemple : deux notes de musique jouées en même temps 2 representation temporelle 2..2.3.4.5.6.7.8.9.5 representation frequentielle.4.3.2. 2 3 4 5 6 Signal f(x) = sin(4πx) + sin(7πx) (haut), et module de sa transformée de Fourier b f(ν) (bas)

Perte de localisation temporelle : Exemple de deux notes de musique jouées l une après l autre : l analyse en fréquence n informe pas sur la localisation temporelle du changement de régime dans le signal. representation temporelle.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9.4 representation frequentielle.3.2. 2 3 4 5 6 Signal composé d une succession de deux sinusoïdes (de 2 et 85 Hertz) et module de sa transformée de Fourier

Transformée de Fourier à fenêtre glissante : Il s agit de calculer la transformée de Fourier du signal temporel découpée en morceaux! 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Multiplication du signal f(x) par une fenêtre glissante h(x b) (réelle) et calcul de la transformée de Fourier de ce produit : G f (ν, b) = f(x) h(x b) e 2iπνx dx b est le temps, ν est la fréquence.

Transformée de Fourier à fenêtre glissante Exemple des deux notes de musique : L analyse temps-fréquence permet de retrouver à la fois les fréquences (les notes) et l information temporelle (l ordre dans lequel elles sont jouées). fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients Fourier Fenetre 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8

Limitations de la TF à fenêtre glissante En dessous d une échelle d étude a, correspondant à la taille de la fenêtre h, la transformée de Fourier à fenêtre glissante présente les mêmes limitations que la transformée de Fourier. Considérons par exemple le signal f 2 = f + δ + δ 2 (où f est la succession de deux notes précédentes) : il est impossible de trouver en pratique une valeur de a qui permette une visualisation simultanée des deux phénomènes : cela impliquerait que la fenêtre h soit bien localisée à la fois en temps et en fréquence, ce qui est impossible d après le principe d incertitude de Heisenberg (le meilleur compromis restant la gaussienne). L analyse en ondelettes a pour objectif de rendre compte de ces deux phénomènes simultanément, en introduisant une fenêtre dont la taille varie avec la fréquence.

Transformée de Fourier à fenêtre glissante fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients Fourier Fenetre 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 Signal f 2 et sa transformée de Gabor avec a = α sinusoides =.5

Transformée de Fourier à fenêtre glissante fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients Fourier Fenetre 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 Signal f 2 et sa transformée de Gabor avec a = α Dirac =.5

Dans la transformée en Fourier à fenêtre : G f (ν, b) = + = < f / ψ b,ν > les fonctions analysantes sont : f(x) h(x b) e 2iπνx dx ψ b,ν (x) = h(x b) e 2iπνx

Dans la transformée de Gabor, la fenêtre h est une Gaussienne d échelle σ : h(x) = σ e π( x σ )2. Les fonctions de Gabor sont alors (σ = ): ψ b,ν (x) = e π(x b)2 e 2iπνx Fonction de Gabor frequence 2 Fonction de Gabor frequence 5 Fonction de Gabor frequence 5.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.2.2.4.4.4.6.6.6.8.8.8 2.5.5.5.5 2 2.5.5.5.5 2 2.5.5.5.5 2 Fonctions de Gabor pour ν = 2, 5, 5 (partie réelle)

2 - Transformée en ondelettes continue - Définition y ~ a ~ a 2 f(t) x x 2 x Wf(a, b) = + f(x) ψ a,b (x) dx a >, b R Les fonctions analysantes ou ondelettes sont définies par : ψ a,b (x) = ( ) x b ψ a a

fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Signal f 2 (deux notes+scratch) et sa transformée en ondelettes

2 - Définition d une ondelette Une fonction ψ(x) L (R) L 2 (R) est une ondelette si elle vérifie la condition d admissibilité : C ψ = bψ(ν) ν 2 dν <. Ce qui implique R + Exemples : ψ(x)dx = (équivalent si xψ intégrable). L ondelette de Morlet (complexe) : ψ(x) = e πx2 e iπx On a ˆψ(ν) = e π(ν 5)2. Les dérivées de la Gaussienne : ψ n (x) = dn dx n e πx2, n. (pour n = 2, l ondelette est appelée chapeau mexicain ). On a ˆψ n (ν) = (2iπν) n e πν2.

Ondelettes dans l espace physique : ψ a,b (x) = x b ψ a a «Ondelette de Morlet echelle.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.2.2.4.4.4.6.6.6.8.8.8 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 Ondelettes de Morlet d échelles a = /2,, 2 (partie réelle). L échelle a donne la taille du support (inverse d une fréquence), b donne la position.

Transformée de Fourier des ondelettes : ˆψ a,b (ν) = a ˆψ(aν) e 2iπbν.9 Transformee de Fourier des ondelettes echelle 2,, /2.8.7.6.5.4.3.2. 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Transformée de Fourier (module) des ondelettes de Morlet d échelles a = /2,, 2. Les ondelettes sont des filtres passe-bande autour de la fréquence ν = ν a. Pour l ondelette de Morlet ν = 5 (maximum de ˆψ).

2 - Définition équivalente Soit f L 2 (R). On a de façon équivalente : pour tout a >, b R, Wf(a, b) = Wf(a, b) = a Z + a «x b f(x) ψ dx a ˆf(ν) b ψ(aν) e 2iπνb dν Vu du coté temporel (ou spatial) x, Wf(a, b) renseigne sur le signal f autour du point b dans un voisinage de taille a. Vu du coté fréquentiel (ν), Wf(a, b) renseigne sur le signal ˆf autour de la fréquence a. L analyse en ondelettes est une analyse temps-échelle. Dém : Il suffit d appliquer la formule de Parseval : Wf(a, b) =< f/ψ a,b >=< ˆf/ ˆψ a,b >

3 - Transformée en ondelettes continue : Inversion Soit f une fonction réelle. La Transformée en Ondelettes Continue : s 2 W : L 2 (R, dx) L 2 R + R, dadb C ψ a 2 f(x) s 2 C ψ Wf(a, b) est une isométrie. On a donc la conservation de l énergie : f(x) 2 dx = 2 C ψ dadb Wf(a, b) 2 a, 2 et la formule de synthèse :» 2 f(x) = Re C ψ Wf(a, b) ψ a,b (x) dadb. a 2

Démonstration (de la formule de conservation de l énergie). De la définition équivalente de la TOC, et en utilisant la formule de la transformée de Fourier inverse, on déduit que la transformée de Fourier de la fonction b Wf(a, b) est ν a ˆf(ν) ψ(aν). b La formule de Parseval appliquée à cette fonction donne : Donc I = Wf(a, b) 2db = a dadb Wf(a, b) 2 = a 2 d après le théorème de Fubini. ˆf(ν) 2 ψ(aν) 2dν b ˆf(ν) 2» da ψ(aν) 2 b dν a On souhaite alors faire le changement de variable en a : ξ = aν, celui-ci impose que ν soit de signe constant. On coupe alors l intégrale : I = R + h R ˆf(ν) 2 + da b i ψ(aν) 2 dν + R h R ˆf(ν) 2 + da b i ψ(aν) 2 dν a a = R + h R ˆf(ν) 2 + dξ ξ b ψ(ξ) 2 i dν + R h R ˆf(ν) 2 dξ ξ b ψ(ξ) 2 i dν

Il faut alors distinguer le cas ψ réelle de ψ complexe analytique (i.e. ˆψ nulle sur R ): - Si ψ est réelle, alors b ψ est une fonction paire et On a alors Z I = C ψ 2 dξ ξ b ψ(ξ) 2 = dξ ξ ˆf(ν) 2dν = C ψ 2 b ψ(ξ) 2 = C ψ 2 f(x) 2dx - Si ψ est complexe analytique, alors b ψ s annule sur R et I = C ψ ˆf(ν) 2dν Comme f est supposée réelle, on a R + I = C ψ 2 ˆf(ν) 2dν = 2 f(x) 2dx R + ˆf(ν) 2dν, et

3 - Formule d inversion avec une ondelette de synthèse différente Décomposition avec une ondelette d analyse g : a >, b R, «x b W g f(a, b) = f(x) ḡ dx a a Synthèse avec une ondelette de reconstruction h : f(x) = 2 c gh W g f(a, b) a h x b a «da a 2 db Condition d admissibilité sur les fonctions g et h (g,h L 2 (R)) : c gh = ĝ(k)ĥ(k) dk < + k Il suffit dans ce cas que l une ou l autre des fonctions h et g soit une ondelette (i.e. de moyenne nulle).

4 - Implémentation On peut voir la transformée en ondelettes continue comme un produit de convolution, pour a fixé: où l on a noté : Wf(a, b) = Z + a = (f ˇψ a )(b) ˇψ a (x) = ψ x «a a «x b f(x) ψ dx a

4 - Exemple de programme matlab % ondelette.m % PROGRAMME DE TRANSFORMEE EN ONDELETTES % Le signal a analyser doit s appeler y ii=sqrt(-) %..y=signal a analyser (en mémoire) n=length(y)-; p=fix(log(n)/log(2)); dx=/n; t=:dx:; x=-:dx:; % calcul de l ondelette a=/2;a=a^ (/2);p=2*p; for i=p-:-: a=a^ i; % échelle xx=x/a; g=exp(-xx.^ 2/2).*exp(ii*5*xx)./sqrt(a); % ondelette de morlet

ou g=(-2*xx.^ 2).*exp(-2*xx.^ 2)./sqrt(a); % chapeau mexicain % calcul des coefficients d ondelettes a l echelle a W=zeros(p,n+); wa=conv(y,g); W(i+,:n)=abs(wa(n+:2*n)); end % trace subplot(3,,),plot(t(:n),y(:n)),title( fonction a analyser ) subplot(3,,2),imagesc(w(:p,:n)), title( coefficients d ondelettes )

5. Interprétation, exemples La transformée en ondelettes continue Wf(a, b) est une analyse temps-échelle : b est le temps, a est l échelle, qui joue le rôle de l inverse d une fréquence. Exemples : () Si f est une fréquence pure f(x) = cos(2πkx), alors «e 2iπkx + e 2iπkx Wf(a, b) = ψ a,b (x) dx 2 = h ˆψa,b (k) + 2 ˆψ a,b ( k)i a h = ˆψ(ak) e 2iπkb + 2 ˆψ( ak) e 2iπkbi Si l ondelette ψ est complexe analytique : a Wf(a, b) = ˆψ(ak) e 2iπkb 2 Si l ondelette ψ est réelle : Wf(a, b) = a Re ˆψ(ak) e 2iπkb

Exemple : fréquence pure f(x) = cos(2πx) (k = ) fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Module de la transformée en ondelettes, en utilisant l ondelette de Morlet (ondelette complexe analytique)

Exemple : fréquence pure f(x) = cos(2πx) (k = ) fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Transformée en ondelettes, en utilisant la dérivée seconde de la Gaussienne (ondelette réelle)

Exemples : (2) Si f est un Dirac f(x) = δ(x x ) (mesure ponctuelle en x ), alors : Wf(a, b) = δ(x x ) ψ a,b (x) dx = ψ a,b (x ) «x b = ψ a a A chaque échelle a, b Wf(a, b) est l ondelette d échelle a centrée en x (à une symétrie + conjugué près).

Exemple 2 : le Dirac δ x fonction a analyser.8.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 Signal Dirac et sa transformée en ondelettes (module, ondelette de Morlet), (division par a)

Exemples : le créneau fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Créneau et sa transformée en ondelettes (module, ondelette de Morlet) (division par a)

Exemples : l onde modulée fonction a analyser.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Onde modulée et sa transformée en ondelettes (division par a)

Exemples : 2 sinusoides + bruit 4 fonction a analyser 2 2 4..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 signal et sa transformée en ondelettes (division par a)

Exemples : fonction höldérienne d exposant 2 fonction a analyser.8.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8.9 coefficients d ondelettes 5 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) = p cos(2πx) et sa transformée en ondelettes (division par a)

6. Analyse de la régularité locale d une fonction Régularité lipschitzienne/höldérienne α d une fonction f α : paramètre de régularité. α : f est Lipschitz-α en x (f C α {x }) si : h R, f(x + h) f(x ) C h α. Extension à α R + non entier : f C α {x } si f est de classe C n avec n = [α] et h R, f (n) (x + h) f (n) (x ) C h α n. f uniformément Lipschitz-α sur [A, B] si C >, x [A, B], h R, f(x + h) f(x ) C h α (idem pour α > ) Extension aux α négatifs (distributions) : f uniformément Lipschitz-α sur ]A, B[ si sa primitive est Lipschitz-(α + ) sur ]A, B[.

Remarques, exemples Une fonction Lipschitz-α en x, avec < α <, est continue mais a priori non dérivable. Une fonction de classe C en x est Lipschitz- en x. La régularité α avec n < α < n + permet de classifier la régularité entre de classe C n et de classe C n+. Une fonction bornée est Lipschitz-. Par exemple la fonction de Heavyside H(x) = si x et si x <. La distribution δ est Lipschitz-( ) (comme dérivée-distribution de H). La fonction x x α ( < α < ) est Lipschitz α, la fonction p cos(2πx) est Lipschitz- 2.

Lien entre la régularité lipschitzienne d une fonction et les coefficients d ondelettes Soit α fixé. On considère ψ une ondelette de classe C n, à support compact, supp ψ [ C, C], avec n α moments nuls. Caractérisation de la régularité de f en un point x : Théoreme Si f L 2 (R) est Lipschitz-α n en x, alors A > tel que b (a, b) R R +, Wf(a, b) A a α+ x α 2 ( + a ) Réciproquement, si α non entier et α < n et s il existe A > et α < α tels que (a, b) R R +, Wf(a, b) A a α+ 2 ( + b x a alors f est Lipschitz-α en x. α )

Conséquence pratique Si supp ψ = [ C, C], le cône d influence de x dans le plan temps-échelle est constitué des points (b, a) tels que x soit dans le support de ψ a,b = [b Ca,b + Ca]. Si f est Lipschitz-α en x, alors il existe K >, tel que pour tout b vérifiant b x < Ca (i.e. b dans le cône d influence de x ), on a : Wf(a, b) Ka α+ 2 La réciproque est vraie (pour une autre constante K), si α est non entier. α peut être calculé en pratique par la pente de la courbe : log a log Wf(a, b)

-II - Applications de la transformée en Ondelettes continue - Détection et calcul de singularités par la technique de suivi des maxima lines de Mallat Références : - S. Mallat, W.L. Hwang Singularity detection and processing with wavelet, IEEE Trans. Info. Theory, 38(2):67-643, Mars 992. - S. Mallat, S.Zhong Characterization of Signals from Multiscale Edges, IEEE Trans. Patt. Anal. and Mach. Intell., 4(7):7-732, Juillet 992.

Lien entre les ondelettes et la régularité lipschitzienne ψ n moments nuls, α n, supp ψ = [ C,C]. f est uniformément Lipschitz-α au voisinage d un point x si pour tout (b, a) vérifiant b x < Ca, on a : Wf(a, b) K a α+ 2, et inversement, si α non entier. α est estimé asymptotiquement en calculant la pente de la courbe log Wf(a, b) en fonction de log a. échelle a Chaine de maxima d ondelettes x Position x

Les lignes de maxima Point de module max : tout point (b, a ) t.q. la courbe b Wf(b, a ) est localement maximum en b = b. Lignes de maxima : toute courbe connexe (b, a(b)) de points de module max dans le demi-plan position-échelle. Toutes les singularités (α < ) sont détectées en suivant les modules maximaux d ondelettes dans les fines échelles. Si ψ = ( ) n θ (n) avec θ gaussienne, alors les points de module max de W ψ f(a, b) appartiennent à des courbes connexes, qui ne s interrompent jamais quand l échelle diminue.

Exemple : le Dirac representation temporelle 25.8 2.6 5.4.2 5.2.4.6.8 (a) Le Dirac 2 4 6 8 (b) les coefficients d ondelettes Chaînage des maxima 8.8 chaîne : 9 log2(scale) 2 3 2 3 9.2 9.4 9.6 4 9.8 5.2.4.6.8 (c) chaînage 3 3.5 4 4.5 5 (d) évaluation de la singularité en.5

Exemple : f(x) = x.25 3 + x.7 2 3.5 representation temporelle 25 2 5 5.5.2.4.6.8 (a) La fonction Chaînage des maxima 2 3 4 4 5 2 4 6 8 (b) les coefficients d ondelettes chaîne 2 et 3: log2(scale) 2 3 4 5.2.4.6.8 (c) chaînage 6 7 8 9 2 3 4 5 (d) évaluation de la singularité en.7 (trait continu) et.25 (trait pointillé)

La fonction f(x) = x.25 3 + x.7 2 3 bruitée (SNR=.) 2 representation temporelle 25.5.5 2 5 5 log2(scale).2.4.6.8 (a) La fonction Chaînage des maxima 2 3 4 2 5 6 8 7 9 2 3 4 3 6 5 9 2 78 23 2 25 24 22 4 26 2829 27 3 3 33 32 35 34 39 36 5 44 38 37 43 42 44.2.4.6.8 (c) chaînage 4 5 6 7 2 4 6 8 (b) les coefficients d ondelettes chaîne 2 et 3: 8 2 3 4 5 (d) évaluation de la singularité en.7 (trait continu) et.25 (trait pointillé)

2. Analyse spectrale locale. Comparaison spectres Fourier/ondelettes, et application en turbulence Références : - Thierry Philipovitch, Applications de la Transformée en Ondelettes Continue à la Turbulence Homogène Isotrope Bidimensionnelle, Thèse de Doctorat de l Université Paris VII, 994. - Valérie Perrier, Thierry Philipovitch, Claude Basdevant, Wavelet spectra compared to Fourier spectra, J. Math. Phys. 36(3), pp. 56-59, 995. - Marie Farge, Wavelet Transforms and their Applications to Turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 4, 395-457 (992).

(a) Spectre de Fourier d un signal. Définition Soit s(x) un signal réel. Sa transformée de Fourier est définie par : ŝ(k) = + et son spectre de puissance : s(x) e 2iπkx dx E(k) = ŝ(k) 2 pour k. L énergie totale E du signal s vérifie : E = 2 + s(x) 2 dx = 2 + ŝ(k) 2 dk = + E(k)dk.

(b) Spectre local, spectre global en ondelettes. Définition Soit ψ L (R) L 2 (R) une ondelette avec p moments nuls : x n ψ(x) dx = for n =,... p, and x p ψ(x) dx. Cette condition est équivalente à l existence d une fonction continue bornée ϕ, telle que ϕ() =, lim x ϕ(x) = et ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω). La transformée en ondelettes s du signal s est : s(a, b) = W ψ s(a, b) = a s(x)ψ( x b a ) dx,

La conservation de l énergie de la transformée en ondelettes s écrit : avec : c ψ = R + E = c ψ ˆψ(ω) 2 ω dω. s(a, b) 2 da a 2 db, Le spectre local en ondelettes est défini pour k et x R : Ẽ(k,x) = c ψ k s( k k, x) 2 où k est la fréquence la plus importante de l ondelette ψ. Ce spectre local mesure la contribution à l énergie totale provenant du voisinage du point x et du nombre d onde k, le voisinage dépendant de la forme de l ondelette ψ dans l espace physique et dans l espace de Fourier. A partir du spectre local, on peut définir un spectre moyen en ondelettes Ẽ(k) : Ẽ(k) = Ẽ(k,x) dx qui est relié à l énergie totale par : E = R + Ẽ(k) dk

Relation entre le spectre de Fourier et le spectre moyen en ondelettes On a la relation entre le spectre de Fourier E(k) et le spectre moyen en ondelettes Ẽ(k) : Ẽ(k) = c ψ k E(ω) ˆψ( k ω k ) 2 dω Le spectre en ondelette est une moyenne du spectre de Fourier pondéré par le carré de la transformée de Fourier de ψ centrée en k. On montre plus loin que le comportement du spectre en ondelettes à haute fréquence dépend du comportement de l ondelette à petits nombres d onde - et donc du nombre de moments nuls.

Démonstration : Ẽ(k) = = = c ψ k c ψ k Ẽ(k,x) dx s( k k,x) 2 dx ŝ(ν) 2 ˆψ( k ν k ) 2 dν en appliquant le théorème de Parseval à la fonction x s( k k, x), et on a déjà vu que la transformée de Fourier de la fonction x s(a, x) est ν a ŝ(ν) ˆψ(aν).

Appli. : spectres à décroissance algébrique (turbulence) Considérons un signal dont le spectre de Fourier vérifie : E(k) = k α for k > k a > Son spectre en ondelettes est donné par : Ẽ(k) = Z ka E(ω) c ψ k ˆψ( k ω k ) 2 dω + c ψ k k a ω α ˆψ( k ω k ) 2 dω Si l ondelette ψ a exactement p moments nuls, on peut écrire : ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω) avec ϕ continue et ϕ() =. Donc : Ẽ(k) = k (2p+) k 2p Z ka ω 2p E(ω) ϕ(k ω k ) 2 dω +k (2p+) k 2p c ψ c ψ ω 2p α k a ϕ(k ω k ) Comme ϕ( k ω ) quand k +, le premier terme se comporte k comme k (2p+) quand k (E est finie!) 2 dω

Le comportement du second terme dépend de 2p α. Ainsi: Si α < 2p + : le second terme du membre de droite s écrit : k α k α c ψ k ka k ω 2p α ϕ(ω) 2 dω L intégrale a une limite non nulle quand k, ce terme se comporte comme k α donc on a Ẽ(k) k α pour k + qui se comporte comme le spectre de Fourier. Si α > 2p + : par le théorème de Lebesgue, la deuxième intégrale a une limite finie non nulle quand k et le spectre en ondelettes sature à haute fréquence : Ẽ(k) k (2p+) pour k + ce qui est indépendant du signal (mais dépend de l ondelette!). Si α = 2p +, on a de la même manière k α ln k pour le comportement du second terme et Ẽ(k) k α ln k pour k +.

Une condition suffisante pour que le spectre moyen en ondelettes ait le même comportement en k α que le spectre de Fourier est : x n ψ(x) dx = pour n α 2 Exemple : E(k) = k 6. Nombre de moments nuls critique : 2.5. 5 Fourier p=2 p=4 p=8 log E(k) -5 - -5 log k Spectre de Fourier E(k) = k 6, et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) pour des ondelettes avec p cancellations, ˆψ(k) = k p exp( πk 2 ), p = 2, 4 and 8 (échelle log-log).

Généralisation en dimension deux pour l analyse de champs turbulents numériques Vorticity field analysis Fourier Enstrophy spectrum -2-4 p=2 p=4 p=8 p=6-6 K Spectre de Fourier et spectre en ondelettes d un champ de vorticité 2D (spectres d enstrophie ). Les ondelettes sont des dérivées de Gaussienne isotropiques ˆψ( k) = k p exp( π k 2 ) avec p = 2, 4, 8, et 6 (échelle log-log).

Appli. 2 : Spectres a décroissance exponentielle. (Cas du vortex Gaussien en turbulence 2D) Supposons que le spectre de Fourier vérifie : E(k) = e k2 Le spectre moyen en ondelettes s écrit : Ẽ(k) = k e ω2 ω c ψ k ˆψ( k ) 2 dω Si ˆψ(ω) = ω p ϕ(ω) avec ϕ continue bornée, ϕ() =, ϕ( ) =, on a : Ẽ(k) = k (2p+) k 2p e ω2 ω ϕ( 2p k ω c ψ k ) 2 dω D après le théorème de Lebesgue, l intégrale converge vers une limite finie non nulle quand k +, donc Ẽ(k) k (2p+) pour k +

Le comportement du spectre en ondelettes dépend du nombre p de moments nuls de l ondelette : Ẽ(k) k (2p+) pour k + -2-4 Fourier p=2 p=8 p=6 log E(k) -6-8 - -2 log k Spectre de Fourier E(k) = e k2 et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) pour des ondelettes avec p cancellations, ˆψ(k) = k p exp( πk 2 ), p = 2, 8 et 6 (échelle log-log).

Spectre local. Connection avec les théorèmes de régularité Théorème: soit f une fonction localement intégrable, Hölderienne d ordre α > en x (i.e. f C [α] (x ) et f ([α]) (x + h) f ([α]) (x ) = O(h s ) avec α = [α] + s, < s < ). Soit ψ une ondelette telle que ψ L (R), x α ψ L (R) et ψ a [α] + cancellations, alors : f(a, x) = a α+/2 O( + x x α a α ) when a, () Réciproquement, si () est vérifié et si f C ɛ (R) pour un ɛ >, alors f ([α]) (x + h) f ([α]) (x ) = O(h α ln(/h)). Dans ce cas, le spectre local en ondelette vérifie : quand k +. Ẽ(k,x) = k (α+/2) O( + k α x x α ) k α

Ondelettes avec un nombre infini de moments nuls Une possibilité est de construire des ondelettes avec un nombre infini de moments nuls. Exemple : ˆψ(k) = exp( α 2 ln2 ( k )).5 Paul s Wavelets - Fourier space, alpha=2, 4 & 6.5 2 3 4 5 3 Physical space 2 - -2-4 -3-2 - 2 3 4 Representation dans l espace physique et l espace de Fourier pour α = 2 (ligne continue), α = 4 (ligne pointillée) et α = 6

Exemple 2 : ˆπ n (k) = α n exp 2 (k2 + «k ) 2n n..5 Perrier s wavelets - Fourier space, n=2, 4 & 6.5 2 3 4 5 3 Physical space 2 - -2-4 -3-2 - 2 3 4 Representation dans l espace physique et l espace de Fourier pour n = 2 (ligne continue), n = 4 (ligne pointillée) et n = 6). Le maximum de la transformée de Fourier de π n est atteint pour k n = n 2(n+) et on a k n.5

Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = k 6 Fourier n=2 n=4-5 n=8 log E(k) - -5 log k Spectre de Fourier E(k) = k 6 et spectres en ondelettes associés calculés avec l ondelette π n pour n = 2, 4 et 8 (échelle log-log).

Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = e k2 Pour un spectre de Fourier E(k) = e k2, le spectre en ondelettes s écrit en utilisant l ondelette π n : α2 n Ẽ(k) = c πn k n avec : β n (k) = + 2 k k n exp (β n (k) ω 2 + ) dω ω2n Par le changement de variable : ω = [β n (k)] 2(n+) ξ, on obtient : Ẽ(k) = α2 n [β n (k)] c πn k n 2(n+) n exp [β n (k)] n+ (ξ 2 + ξ 2n ) dξ La méthode de Laplace (phase stationnaire) donne : e xφ(t) dt 2π e xφ(t ) p xφ (t ) si x + pour φ atteignant son maximum en t.

On obtient : Ẽ(k) α2 n c πn r π 2(n + ) k exp c(n) k k n «2 2! n+, avec : c(n) = n n+ ( + n ). On ne récupère pas exactement le comportement du spectre de Fourier, mais on a une décroissance exponentielle plutôt qu algébrique. De plus pour les grands n, le spectre en ondelettes à petite échelle est proche d une Gaussienne car Ẽ(k) k e k2 k + et grand n

Comparaison spectres Fourier/Ondelettes pour E(k) = e k2-2 -4 Fourier n=2 n=4 n=8 log E(k) -6-8 - -2 log k Spectre de Fourier E(k) = e k2 et spectres en ondelettes associés Ẽ(k) calculés avec l ondelette π n pour n = 2, 4 et 8 (échelle log-log).