VII CARACTERITIQUE D UNE ECTION En dehors de la compression et du cisaillement où les contraintes sont uniformes sur les sections, les autres sollicitations (torsion, fleion.. nécessitent la connaissance des caractéristiques de la section de la poutre (moments statiques et quadratiques et aes principau. 1. Centre d une surface plane oit une surface plane et R (, z un repère tel que ( soit dans le plan de. oit M ( un point de et ds un élément de surface entourant M. Définition : Le centre de la surface est le barcentre de l ensemble des points M de affectés chacun d un coefficient égal à son élément d aire ds. Coordonnées de dans R : O OM ds ds O + avec et ds Propriétés : Lorsqu une surface possède un centre de smétrie, le centre de cette surface est le centre de smétrie Lorsqu une section peut se décomposer en plusieurs surfaces simples i, alors : O O i, O i i RDM - VII - 1 / 6
. Moment statique oit une surface plane et un repère R ( de son plan. Définition : Le moment statique W( de la surface plane par rapport à l ae ( de son plan est défini par : De la même manière : W( ds (m 3 W( ds Propriété : En comparant ces relations avec la définition du centre de surface projetée sur ( et, ds ( : ds, on obtient : W ( et W ( Théorème 1 : Le moment statique d une surface plane par rapport à un ae ( de son plan est égal au produit de l aire de la surface par la coordonnée du centre de cette surface. Théorème : Le moment statique d une surface plane par rapport à un ae de son plan passant par le centre de cette surface est nul (démonstration : on prend 0 dans le théorème précédent 3. Moments quadratiques Définition : Le moment quadratique I( de la surface plane par rapport à l ae ( de son plan est défini par : I( ds (m 4 RDM - VII - / 6
Propriété (Th. de Koenig Le moment quadratique I( au moment quadratique I(, de la surface par rapport à l ae ( de son plan est égal de par rapport à l ae (, augmenté du produit de l aire de la surface par le carré de la distance des aes. I ( I(, + d De même : I ( I(, + d' (démonstration :Théorème de Hugens Définition : Le moment quadratique polaire I O de la surface plane par rapport au point O de son plan est défini par : I O ρ ds (m 4 Propriété : Le moment quadratique polaire d une surface plane par rapport à un point de son plan est égal à la somme ds moments quadratiques par rapport à deu aes rectangulaires de son plan passant par ce point I I( + I( 0 Remarque : Le moment quadratique d une surface plane par rapport à un ae ( z perpendiculaire à son plan est égal au moment quadratique polaire de par rapport au point O où l ae coupe le plan. Application : Moments quadratiques de géométries simples RDM - VII - 3 / 6
4. Moment produit Définition : Le moment produit I( de la surface plane par rapport au aes ( et ( de son plan est défini par : I( ds (m 4 Remarque : i les aes ( et ( sont orthogonau et si l un d eu est ae de smétrie de, on a : I( 0 Propriété (th. de Koenig Le moment produit I( de la surface plane par rapport au repère ( de son plan est égal au moment produit I(, de la surface plane par rapport au repère (, de son plan augmenté du produit de l aire de la surface par les coordonnées de son centre de surface I( + I(, Conséquence i les aes (, et (, sont situés dans le plan de la surface plane et sont orthogonau et si l un des aes est ae de smétrie de, le moment produit I( a pour valeur : I (, 5. Changement de repère Considérons une surface plane et deu sstèmes d aes ( tels que ( ϕ. et (, de son plan RDM - VII - 4 / 6
Propriété : Les moments quadratiques et produit de la surface par rapport au aes ( et ( s epriment par rapport à ceu des aes ( et ( sous la forme : I( + I( I( I( I( + cos( ϕ I( sin( ϕ I( + I( I( I( I( cos( ϕ + I( sin( ϕ I( I( I(, sin( ϕ + I( cos( ϕ Démonstration : Changement de base sur les définitions 6. Aes principau et centrau Définition : Les deu aes perpendiculaires ( et ( du plan de la surface plane pour lesquels le moment quadratique de est maimal pour l un et minimal pour l autre sont appelés aes principau en O de la surface. Les aes principau au centre de surface de sont appelés aes centrau. Propriété : Les aes perpendiculaires ( et ( situés dans le plan de la surface plane sont les aes principau en O si et seulement si le moment produit I(, est nul. I(, 0 ( et ( aes principau Conséquence : A partir des résultats précédents on obtient la direction des aes principau et l epression des moments quadratiques etrémau: I( tan( ϕ I( I( I( + I( 1 I ma + I( I( I( + I( 1 I min I( I( [ ] + 4 I( [ ] + 4 I( Démonstration : Calcul des etremums en fonction de l angle ϕ RDM - VII - 5 / 6
7. Détermination graphique Cercles de Möhr uivant que les moments quelconques où les aes principau d une poutre sont connus, deu problèmes peuvent se poser : a Détermination des aes principau Problème : On connaît I(, I( et I( d une section par rapport au aes rectangulaires ( et on cherche les directions principales ( et ( ainsi que les I ma et I min correspondants. Résolution Utilisation de la construction graphique des cercles de Möhr dans le sens direct b Détermination des moments Problème : Dans une section on connaît les directions principales (, ainsi que I ma et I min et on cherche pour les aes ( définis par (, ϕ, les valeurs de I(, I( et I(. (Problème rencontré lorsque l un des aes ( ou ( est ae de smétrie de la poutre Résolution Utilisation de la construction graphique des cercles de Möhr dans le sens inverse, Avec les formules réciproques de changement de repère, lorsque I(, 0 : I( + I( I( I( I( + cos( ϕ I( + I( I( I( I( cos( ϕ I( I( I( sin( ϕ Remarque : Ces calculs sont similaires à ceu rencontrés lors de l étude des contraintes RDM - VII - 6 / 6