Mr ABIDI Farid M-SE-ST Produit dans le plan () ABCD est un carré direct de côté 1. On construit le triangle équilatéral direct ABE, puis le carré direct EBGF. 1. Compléter la figure1. Que vaut l angle CBE? En déduire BCi BE puis DAi BE.. Calculer EAi EB. 4. Démontrer que le triangle BCG est équilatéral. En déduire BCi BG puis DAi EF. 5. Calculer AEi EF. 6. En utilisant la relation de Chasles, calculer DEi BF. 7. En déduire que les points D, E, G sont alignés. Exercice Cet exercice est un QCM. Indiquer pour chaque question la réponse exacte (remplir le tableau sur la feuille annexe). Aucune justification n est demandée. 1. ABC est un triangle équilatéral de côté 4. I et H sont les milieux respectifs de [AC] et [BC]. I se projette en D sur (AH) (voir figure ). Alors a) ABi AI = AH AD b) ABi AI = 8 c) ABi AI = 4. Dans la même figure, a) DCi AB = 0 b) DCi DB = 0 c) DAi BH = 0. A, B, C sont trois points non alignés tels que ABi AC = 8 et AC =. Alors a) cos( ) 8 8 ABC = b) AB = c) ACi BC = 1 4. Dans un repère orthonormal, AB( 4;) et CB( 1;5). Alors a) ABi AC = 6 b) BC = 6 c) BCi AB = 19 5. Dans un repère orthonormal, la courbe d équation + 10 + 4 + = 0 est un cercle x y x y a) de rayon b) de rayon 6 c) de centre Ω( 5;4) 6. ABC est un triangle avec AB = 4, BC = 6 et ABC = 40. Alors l arrondi au centième de AC est a),9 b) 15, c),91 7. ABC est un triangle avec AB =, AC = 5, BC = 6. I est le milieu de [BC]. Alors a) AI = 4 b) AI = c) AI = 6 Exercice ABCD et AEFG sont deux carrés, comme sur la figure. Les droites (DF) et (CE) se coupent en I. 1. Compléter la figure. Que pensez-vous des droites (AI) et (DE)?. On se place dans un repère orthonormal ( A, i, j) avec i colinéaire à AD et de même sens, et j colinéaire à AE et de même sens. On suppose pour simplifier que AD = et AE =. Donner les coordonnées des sommets des carrés.. Donner les coordonnées du vecteur FD, en déduire qu une équation de la droite (DF) est x + 5y 4. Donner une équation de la droite (CE). 18 1 5. En déduire que les coordonnées de I sont I, et la preuve de la conjecture du 1. 19 19 www.mathsecondaire.tn 015/016 1 / 5
Mr ABIDI Farid M-SE-ST Produit dans le plan () Feuille annexe Figure 1 Figure Question 1 4 5 6 7 Réponse www.mathsecondaire.tn 015/016 Figure / 5
Mr ABIDI Farid Série : Produit scalaire e M - SE 015/016. L angle ABC est droit et l angle ABE vaut 60 donc l angle EBC vaut 0. On en déduit que ( BC BE = BC BE cos EBC) = cos(0 ) = Comme DA = BC, DA BE = BC BE =. ( 1 EA EB = EA EB cos AEB) = cos(60 ) = 4. On sait que BC = BG = 1(propriétés des carrés et des triangles équilatéraux). D autre part, CBG = EBG EBC = 60. Le triangle BCG, isocèle avec un angle de 60, est équilatéral. Par suite, ( 1 BC BG = BC BG cos CBG) = cos(60 ) = 1 Et comme DA = BC et EF = BG, DA EF = BC BG =. 5. Calculons maintenant AE AF = AE ( AE + EF ) = AE + AE EF = 1+ AE EF. D autre part, AE EF = EA EF = EA EF cos( FEA ) et comme on peut écrire FEA = FEB + BEA = 150, AE EF = cos(150 ) =. Finalement AE AF = 1+ 6. Calculons maintenant DE BF avec la relation de Chasles : DE BF = ( DA + AE) ( BE + EF ) = DA BE + DA EF + AE BE + AE AF. Il se trouve que tous ces produits ont déjà été calculés, à l exception de AE BE, mais on 1 sait que AE BE = ( EA) ( EB) = EA EB =. 1 1 Finalement DE BF = + + = 0 7. On vient de prouver que (DE) est perpendiculaire à (BF). Il est bien connu que (EG) et (BF) sont perpendiculaires (diagonales d un carré). Les droites (DE) et (EG) sont donc parallèles, et comme elles ont E en commun, les points D, E et G sont alignés. Exercice 1. AB AI = AB AI cos( BAI ) = 4 cos(60 ) = 4 : réponse c.. (DA) et (BH) sont perpendiculaires donc DA BH = 0 : réponse c.. a) est forcément faux (un cosinus est entre 1 et 1). b) serait vrai si A, B, C étaient alignés (puisque AB AC = AB AC cos( BAC 8 ), si AB = alors cos( BAC ) = 1), reste c. Vérifions : AC BC = AC ( BA + AC ) = AC AC AB = 9 8 = 1 www.mathsecondaire.tn 015/016 / 5
Mr ABIDI Farid Série : Produit scalaire e M - SE 015/016 4. b) est faux ( BC = 6 ) ainsi que c ( BC AB = CB AB = ( 4 ( 1) + 5) = 19 ), il reste a). Vérifions : AB AC = AB ( AB + BC ) = AB AB CB = 5 19 = 6 5. Mettons sous forme canonique l équation du cercle : x + y 10x + 4y + = 0 ( x 5) 5 + ( y + ) 4 + = 0 ( x 5) ( y + ) = 6 Le centre a pour coordonnées (5; ) et le rayon est 6. Réponse b) 6. AC = AB + BC AB BC cos ABC = 16 + 6 48cos(40 ) d après la relation d Al ( ) Kashi. On obtient à la calculatrice AC,90. Réponse a) BC 7. Le théorème de la médiane s écrit AB + AC = AI +, soit obtient donc AI = 8 =. Réponse b) 6 9 + 5 = AI +, on Finalement Question 1 4 5 6 7 Réponse c c c a b a b Exercice 1. Les droites (AI) et (DE) semblent perpendiculaires.. Sachant que ABCD est de côté et AEFG de côté, on a : A (0;0), B(0; ), C(; ), D (;0), E (0;), F( ;), G(0; ) ( ). FD 5 soit FD. La droite (FD) passe par D, et elle est dirigée par FD, un 0 point M ( x; y ) lui appartient si et seulement si DM et FD sont colinéaires, soit si et seulement si ( x ) = 5( y 0) x + 6 = 5y x + 5y 0 4. EC soit EC 5. Le coefficient directeur de (EC) est donc, et son ordonnée 5 à l origine est clairement (l ordonnée de E). Elle e donc pour équation réduite 5 y = x + ou pour équation cartésienne y = 5x + 6 5x + y 5. Résolvons le système formé par les équations de (FD) et (EC) pour déterminer les coordonnées de I : x + 5y = 6 ( 5) ( ) 15x + 5y = 0 1. Il vient : donc 19y = 1 et y = et 5x + y = 6 ( ) ( 5) 15x 6y = 18 19 6x + 10y = 1 18 18 1 donc -19 x = 18 et y =. Finalement, 5x 10y = 0 19 I 19 19. 18 19 On a donc AI et 1 ED 18 1 donc AI ED = = 0. Les droites (AI) et (ED) 19 19 19 sont donc perpendiculaires. Remarque : en appelant a et b les côtés des deux carrés, on pourrait faire les mêmes calculs (en plus compliqué), et on obtiendrait toujours la même orthogonalité. www.mathsecondaire.tn 015/016 4 / 5
Mr ABIDI Farid Série : Produit scalaire e M - SE 015/016 Figures : Exercice www.mathsecondaire.tn 015/016 5 / 5