Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre 1 Produit scalaire dans le plan 1.1 Expressions et propriétés du produit scalaire Si les vecteurs u et v sont deux vecteurs colinéaires Définition 1 Si u et v sont deux vecteurs colinéaires alors le produit scalaire des vecteurs u et v, qu on note v, est le nombre réel défini par : v = u v s ils sont de même sens v = u v s ils sont de même sens A l aide de projections orthogonales ( pour des vecteurs non nuls ) : Définition 2 Si AB et AC sont deux vecteurs non nuls, on définit leur produit scalaire par AB. AC = AB. AH, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB). Avec des longueurs et des angles ( pour des vecteurs non nuls ) : Propriété 1 Soient u et v deux vecteurs, alors : v = u v cos( u ; v ) v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) ou encore AB. AC = AB AC cos( AB; AB. AC = 1 2 (AB2 + AC 2 BC 2 ) AC) Dans un repère orthonormal : Théorème 1 Soit deux vecteurs u ( ) x et v y ( ) x dans un repère orthonormé (O; ı ; j ), alors v = xx + yy y Quelques propriétés importantes : Propriété 2 Soient u, v et w des vecteurs et k un réel. v = v. u ( on dit que le produit scalaire est symétrique ) (k u ). v = (k v ) = k v ( u + v ). w = w + v. w (Les deux derniers points définissent ce qu on appelle la bilinéarité) Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/??
1.2 Distance d un point à une droite Propriété 3 Soit A un point et D une droite du plan de vecteur normal n La distance de A à D est AH = BA. n où B est un point quelconque de D n Dans un repère orthonormal du plan, où D a pour équation ax + by + c = 0, avec (a;b) (0,0) et A(x A ;y A ) on a AH = ax A + by A + c a2 + b 2 2 Produit scalaire dans l espace 2.1 Produit scalaire Définition 3 Soient u et v deux vecteurs de l espace. Soient A, B et C trois points de l espace tels que AB = u et AC = v. Il existe au moins un plan P contenant A, B et c. Alors v = AB. AC dans le plan P 2.2 Propriétés du produit scalaire dans un repère orthonormé Théorème 2 Soient u et v deux vecteurs de l espace muni d un repère orthonormé (O, i, j, k ) tels que x u y et v z alors on a : u = x 2 + y 2 + z 2 x y z v = xx + yy + zz Preuve : On utilise le théorème de Pythagore... Comme u et v peuvent être mis dans le même plan, on peut appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan donc on a : 1 v = 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) Donc d après le premier point, 1 (( v = (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2) ( x 2 + y 2 + z 2) ( x 2 + y 2 + z 2)) 2 1 ( v = x 2 + 2xx + x 2 + y 2 + 2yy + y 2 + z 2 + 2zz + z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2) 2 1 v = 2 (2xx + 2yy + 2zz ) v = xx + yy + zz 2.3 Propriétés du produit scalaire dans un repère orthonormé Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 2/??
Propriété 4 Soient u, v et w des vecteurs de l espace et k un réel. v = v. u ( symétrie ) (( u + v ) 2 = u 2 + 2 v + v 2 (( u v ) 2 = u 2 2 v + v 2 (( u + v ).(( u v ) = u 2 v 2 (k u ). v = (k v ) = k v ( 1ère condition de bilinéarité ) ( u + v ). w = w + v. w ( 2ème condition de bilinéarité ) Preuve Les 5 premiers points viennent directement des propriétés du produit scalaire dans le plan puisque les vecteurs u et v peuvent être rendus coplanaires. Par contre, il reste à démontrer le dernier point : En munissant l espace d un repère orthonormé, on a x u y, v z et donc, d après le théorème : x y z et w x y z ( u + v ). w = (x + x )x + (y + y )y + (z + z )z ( u + v ). w = xx + x x + yy + y y + zz + z z ( u + v ). w = xx + yy + zz + x x + y y + z z donc ( u + v ). w = w + v. w 3 Orthogonalité dans l espace 3.1 Droites orthogonales Définition 4 Soient u et v deux vecteurs de l espace. u et v sont orthogonaux lorsque v = 0 Deux droites D et de vecteurs directeurs u et v sont orthogonaux lorsque u et v le sont. On note alors D 3.2 Droite orthogonale à un point Théorème 3 et définition Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d un plan P alors est orthogonale à toute droite de P. On dit que est orthogonale au plan P et on note P. Soit u un vecteur directeur de et (A, v 1, v 2 ) un repère de P. On a alors : P v 1 = 0 et v 2 = 0 Preuve : A faire Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 3/??
3.3 Vecteur normal à un plan Théorème 4 et définition Soit A un point de l espace et soit n un vecteur non nul. L ensemble des points M tels que AM. n = 0 est un plan P passant par A et orthogonal à toute droite de vecteur directeur n. n est appelé vecteur normal de P Remarque 1 Un plan a une infinité de vecteur normaux mais ils sont tous colinéaires les uns aux autres 4 Equation cartésienne d un plan Propriété 5 Munissons l espace d un repère orthonormé (O, i, j, k ). Un plan de vecteur normal a n b a pour équation ax + by + cz + d = 0 c 5 Distance d un point à un plan Propriété 6 x o Soit Ay o un point et P un plan d équation ax + by + cz + d = 0 z o on a d(a; P) = ax o + by o + cz o + d a2 + b 2 + c 2 Preuve : Soit H le projeté orthogonale de A sur P Le vecteur a n b est un vecteur normal donc colinéaire à AH. c Il existe donc k R tel que ka AH kb kc x H x H x o = ka x H = x o + ka soit H y H, on a alors y H y o = kb c est-à-dire y H = y o + kb z H z H z o = kc z H = z o + kc Or H P donc on a ax H + by H + cz H + d = 0 ce qui donne a(x o + ka) + b(y o + kb) + c(z o + kc) + d = 0 On développe et on obtient : ax o + ka 2 + by o + kb 2 + cz o + kc 2 + d = 0 puis ka 2 + kb 2 + kc 2 = ax o by o cz o d Et enfin k = ax o by o cz o d a 2 + b 2 + c 2 On a alors AH 2 = k 2 ( a 2 + b 2 + c 2) et donc AH 2 = k 2 ( a 2 + b 2 + c 2) Ce qui donne AH 2 = ( ax o by o cz o d) 2 a 2 + b 2 + c 2 puis AH = ax o by o cz o d a2 + b 2 + c 2 Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 4/??
6 Barycentres dans le plan et l espace n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. 6.1 barycentre de n points pondérés Propriété 7 et définition A 1,A 2,...,A n sont n points et a 1,a 2,...a n n réels tels que a 1 + a 2 +... + a n 0. Il existe un point G unique tel que a 1GA1 + a 2GA2 +... + a n GA n = 0 Ce point est appelé barycentre des n points pondérés (A 1,a 1 ),(A 2,a 2 ),...,(A n,a n ) 6.2 propriétés Propriété 8 A 1,A 2,...,A n sont n points et a 1,a 2,...a n n réels tels que a 1 + a 2 +... + a n 0. Il existe un point G unique tel que a 1GA1 + a 2GA2 +... + a n GA n = 0 Si G est le barycentre de (A 1,a 1 ),(A 2,a 2 ),...,(A n,a n ) avec a 1 + a 2 +... + a n 0, alors, pour tout réel k 0, G est le barycentre de (A 1,ka 1 ),(A 2,ka 2 ),...,(A n,ka n ) Propriété 9 Le barycentre G de n points pondérés peut-être obtenu de la façon suivante : 1. On regroupe certains d entre eux dont la somme des coefficients est non nulle. 2. On les remplace par leur barycentre ( partiel ) affecté de cette somme. 3. On garde les points tels quels. Exemple 1 L isobarycentre des sommets d un tétraèdre ABCD est le barycentre G des points (A,1),(B,1),(C,1),(D,1) G est aussi le barycentre de (A,1),(G 1,3) avec G 1 centre de gravité du triangle BCD ou encore le barycentre de (I,2),(J,2) avec I et J milieux respectifs de [AB] et [CD]. Propriété 10 Si G est le barycentre de (A 1,a 1 ),(A 2,a 2 ),...,(A n,a n ) avec a 1 + a 2 +... + a n 0, alors, pour tout point M, a 1 MA 1 + a 2 MA 2 +... + a n MA n = (a 1 + a 2 +... + a n ) MG 6.3 coordonnées d un barycentre Dans l espace muni d un repère (O, i, j, k ), soient les points i G x i y i z i pour 1 i n Le barycentre G des points (A 1,a 1 ),(A 2,a 2 ),...,(A n,a n ) avec a 1 + a 2 +... + a n 0 a pour coordonnées : a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n a 1 + a 2 +... + a n a 1 y 1 + a 2 y 2 +... + a n y n a 1 + a 2 +... + a n a 1 z 1 + a 2 z 2 +... + a n z n a 1 + a 2 +... + a n Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 5/??
6.4 barycentre dans le plan complexe 6.5 caractérisations barycentriques 6.5.1 cas de la droite et du segment Soient A et B deux points distincts de l espace. Propriété 11 La droite (AB) est l ensemble des barycentres des points A et B. Le segment [AB] est l ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe 6.5.2 cas de l intérieur du triangle Propriété 12 L intérieur d un triangle ABC est l ensemble des barycentres de (A,a), (B,b) et (C,c) avec a,b et c non nuls et de même signe. 6.5.3 cas du plan Soient A,B et C trois points non alignés de l espace. Propriété 13 Le plan (ABC) est l ensemble des barycentres des points A,B et C. Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 6/??