Pythagore : théorème, réciproque

Pythagore : théorème, réciproque

Pythagore : théorème, réciproque Savoir faire : Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore Démontrer qu un triangle est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore.

Pythagore : théorème, réciproque 1 ) Le théorème de Pythagore Activité: a) Construire un triangle ABR rectangle en R: b) Compléter le tableau suivant : AR² BR² AB² c) Que remarquez-vous? d) Avec le tableau suivant que peut-on en déduire maintenant :

d) Avec le tableau suivant que peut-on en déduire maintenant : AR² BR² AB²... Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3 Exemple 4 Exemple 5 e) Donner une propriété sur le triangle ABR.

Théorème de Pythagore: Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple : Soit un triangle ABR rectangle en R tel que AR = 4cm et BR = 3cm. Calculer AB.

Exemple : Soit un triangle ABR rectangle en R tel que AR = 4cm et BR = 3cm. Calculer AB. Donnée : Le triangle ABR est rectangle en R. Propriété : Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire : AB² = AR² + BR² Conclusion: AB² = AR² + BR² = 4²+ 3² = 16 + 9 AB >0 car AB est une longueur = 25 Donc AB = 5

Exercice 1: DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF. E 5 D 6 F Donnée : Le triangle DEF est rectangle en D. Propriété :

Exercice : DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm. Calculer EF E 5 Donnée : 6 Le triangle DEF est rectangle en D. Propriété : Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire : EF² = ED² + DF² Conclusion: EF² = ED² + DF² EF² = 5² + 6² EF² = 25 + 36 EF² = 61 D F

Conclusion: EF² = ED² + DF² E EF² = 5² + 6² 5 EF² = 25 + 36 EF² = 61 D 6 F EF >0 car EF est une longueur EF = 61 On dit «racine carré de 61». On a : 61 7,81.

Exercice 2: ABR est un triangle rectangle en R tel que AB = 10 cm et AR = 6cm. Calculer BR. A 6 10 R B Donnée : Le triangle ABR est rectangle en R. Propriété :

Exercice 2: ABR est un triangle rectangle en R tel que AB = 10 cm et AR = 6cm. Calculer BR. Donnée : R Le triangle ABR est rectangle en R. Propriété : Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire : AB² = AR² + BR² Conclusion: AB² = AR² + BR² BR² = AB² - AR² BR² = 10² - 6² BR² = 100-36 BR² = 64 A 6 10 B

Conclusion: AB² = AR² + BR² BR² = AB² - AR² BR² = 10² - 6² BR² = 100-36 BR² = 64 A 6 R 10 B BR >0 car BR est une longueur BR = 8cm

2 ) La réciproque du théorème de Pythagore: Activité: a) Soit le tableau suivant : AB AC BC Triangle 1 8 6 11 Triangle 2 4 3 5 Triangle 3 3 5 6 Triangle 4 6 8 10 Construire les quatre triangles. Que peut-on dire de ces triangles. b) Complétez le tableau suivant : AB² AC² AB² + AC² BC Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 c) Que remarquez-vous? Quelle propriété peut-on determiner?

Réciproque du théorème de Pythagore Soit un triangle dans lequel [BC] est le plus grand côté: Si BC² = AC² + AB² alors le triangle ABC est rectangle en C Si BC² AC² + AB² alors le triangle n'est pas rectangle. Exercice 1: AZE est un triangle tel que AZ = 10 cm ; EZ = 8 cm et AE = 6 cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle AZE, le plus long côté est [AZ], s'il est rectangle il l'est en E.

Exercice 1: AZE est un triangle tel que AZ = 10 cm ; EZ = 8 cm et AE = 6 cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle AZE, le plus long côté est [AZ], s'il est rectangle il l'est en E. On calcule séparément : AZ² et AE² + EZ² D'une part, AZ² = 10² = 100 D'autre part, AE² + EZ² = 8² + 6² =64 + 36 = 100 On constate que AZ² = EZ² + AE². Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AZE est rectangle en E. Exercice 2: AZE est un triangle tel que AZ = 10 cm ; EZ = 8 cm et AE = 6 cm. Démontrer que ce triangle n' est pas rectangle.

Exercice 2: ABC est un triangle tel que BC = 12 cm ; AC = 9 cm et AB = 7 cm. Démontrer que ce triangle n' est pas rectangle. Si le triangle ABC est rectangle, il est rectangle en A car le côté [BC] est le plus long. On calcule séparément : BC² et AC² + AB² D'une part, BC² = 12² = 144 D'autre part, AC² + AB² = 9² + 7² =81 + 49 = 130 On constate que BC² AC² + AB². Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est rectangle pas.

Exercice 1: Soit un triangle ERT tel que ER= 5 cm, ET= 12 cm et TR = 13 cm.démontrer que le triangle ERT est rectangle. Exercice 2: Soit un triangle AZE rectangle en Z tel que AZ= 13 cm et AE= 21 cm. Calculer ZE. Exercice 3: Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB= 4 cm et AC = 3 cm. Soit le point E tel que BE = 12 cm et CE = 13 cm. a) Construire la figure. b) Calculer BC. c) Montrer que le triangle BEC est rectangle.

Exercice 1: Soit un triangle ERT tel que ER= 5 cm, ET= 12 cm et TR = 13 cm.démontrer que le triangle ERT est rectangle. Dans le triangle ERT, le plus long côté est [TR], s'il est rectangle il l'est en E. On calcule séparément : TR² et ET² + ER² D'une part, TR² = 13² = 169 D'autre part, TE² + ER² = 12² + 5² =144 + 25 = 169 On constate que TR² = ET² + ER². Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ERT est rectangle en E.

Exercice 2: Soit un triangle AZE rectangle en Z tel que AZ= 13 cm et AE= 21 cm. Calculer ZE. Le triangle AZE est rectangle en Z. Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire : AE² = ZE² + AZ² 21² = ZE² + 13² ZE² = 21²- 13² ZE² = 441-169 ZE² = 272 ZE >0 car EF est une longueur ZE = 272 16,49

Exercice 3: Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB= 4 cm et AC = 3 cm. Soit le point E tel que BE = 12 cm et CE = 13 cm. a) Construire la figure. b) Calculer BC. c) Montrer que le triangle BEC est rectangle.

b) Le triangle ABC est rectangle en A. Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire : BC² = AB² + AC² BC² = 4²+ 3² BC² = 16 + 9 BC² = 25 BC >0 car BC est une longueur BC = 25 = 5

BC² = AB² + AC² BC² = 4²+ 3² BC² = 16 + 9 BC² = 25 BC >0 car BC est une longueur BC = 25 = 5 c) Dans le triangle BEC, le plus long côté est [CE], s'il est rectangle il l'est en B. On calcule séparément : CE² et BE² + BC² D'une part, CE² = 13² = 169 D'autre part, BE² + BC² = 12² + 5² =144 + 25 = 169 On constate que CE² = BE² + BC². Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BEC est rectangle en B.