MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE, DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEURE ET TECHNIQUE, DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE, CHARGE DE LA CULTURE, DE LA JEtJNESSE ET DES SPORTS REPUBLIQUE GABONAISE Union-Travai I-Justice DIRECTION DE L'ACADEMIE PROVINCIALE DE L'OGOOUE MARITIME SERVICE DES EXAMENS ET CONCOURS BACCALAUREAT BLANC PROVINCIAL Session: avril 203 Epreuve de Mathématiques Séries: Cet E Durée: 4 h Coefficient: 5 EXERCICE : (4 points) Dans le plan orienté, on considère deux points A et B (on prendra AB = 6 cm pour la figure). /. Déterminer et représenter l'ensemble (2:) des points M du plan tels que: MA = 3. MB /' 2. Déterminer et représenter l'ensemble (r) des points M du plan tels que: Mes(MA,MB) == ; [n]. 3..,,... a. Placer le point C image de B par la rotation r de centre A et d'angle orienté de mesure 2n. 3-2 b. Placer le point D tel que: AD = -AB. 3 On désigne par s la similitude directe du plan qui transforme A en B et C en D. On note Q le centre de s. a. Déterminer le rapport et l'angle de s. b. Exprimer QB en fonction de QA et donner une mesur de l'angle orienté (QA, QB). c. En déduire la position de Q et le placer sur la figure. /' d. Démontrer que les points Q, A, C, et D sont cocycliq ues. EXERCICE 2 : (5 points) Soit n un nombre entier naturel (n;::: ). Une urne contient des boules numérotées de à 2n. On y trouve: boule le numéro ; 2 boules portant le numéro 2 ; 2 2 boules portant le numéro 3 ; 2 3 boules portant le numéro 4 ; etc... et enfin; 2n 2 - boules portant le numéro 2n. Page sur 4
Partie : On appelle N le nombre de boules contenues dans l'urne.,r' 4 n /' v. Montrer que N = - et que N est un multiple de 3. 2. On désigne par le nombre de boules portant un numéro impair, et par P le nombre de boules portant un numéro pair. / 4 n -l. _ a. Montrer que: =- 3.-(,,'/b. Exprimer alors en fonction de N et montrer que: P = 2I = 2N. / 3 Partie 2: On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne et on désigne par X le nombre de boules tirées portant un numéro pair. A. Donner en fonction de N, la loi de probabilité de la variable aléatoire X. "l' (' 2. Calculer son espérance mathématique et vérifier qu'elle ne dépend pas de N.. Partie 3 : On suppose maintenant que: 00::;; ::;; 000. o \f". Quel est le plus grand numéro porté par les boules? ('2. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité pour que cette boule porte un nméro supérieur (J \ ou égal à 8? PROBLEME: ( points) Partie A: Pour n entier naturel non nu l, soit ln la fonction définie sur l'intervalle K =[0; +oo[ par: ln (x) =-,e- n. a Soit a un élément non nul fixé dans K. Pour tout entier naturel n, on pose: In (a) = fin (x)dx. o. Justifier l'existence de In (a). Calcule r 0 (a). 2..,r' / r a. Montrerque: \:IxEK et \:InEN", ln,(x) = In-I (x)-in(x) et In(O)=O. a b. En déduire que: \:In E ff, In (a)-i n _ (a) =_ an, e-. r C. Puis que: \:In EN", In (a) = -(t a, )e- a. k=o k. 3. Dans cette question, on pose: a =. k ni) On appelle (ujnef\l la suite numérique définie par: un =- ( LI e- = fin (x)dx. k=o k. 0 On note (en) la courbe représentative de /" dans un repère orthonormé d'unité graphique 3 cm. a. Montrer que: \:In EN, un 20. Puis donner une interprétation géométrique de un' n. X n x Page 2 sur 4
ri' '),,. Partie B : c. En déduire que: 'lin EN, 0:-:;; un :-:;; (n + )!. Déterminer la limite de un en +00. d. En déduire que: e = lim (i J. n--hoo k=o k! Soit f la fonction définie sur [0; +oo[ par: f( x) = ln (ex + e- x ), (C) sa courbe représentative. /:,/./ /" a. Déterminer la limite de f en +00. /' 'b. Montrerque: 'IIx>O, f(x)=x+n(+e- Zx ). O / ( c. En déduire que la courbe (C) admet pour asymptote la droite () d'équation: y =x. () r" d. Etudier la position relative de (C) et (). 2. fi \ r' a. Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations. ') /b. Construire (C) et () dans un repère orthonormé (O,,J) d'unité 3 cm. Partie C : X ZI Pout tout x élément de [0; +00[, on pose: F (x) =fin ( + e- ) dt. On ne cherchera pas à calculer F(x).. 2. o," )_.("it 7 (' a. Montrerque F est bien définie et positive sur [0;+00[. l'a v " b. Soit Â. un réel strictement positif, en utilisant la question. de la Partie B, interpréter z.,/ graphiquement F(À). a. Justifier que F est dérivable sur [O;+oo[ et calculer F'(x). b. Etudier le sens de variation de F sur [0; +oo[. 3. Soit a un réel strictement positif. a. Montrer que: 'lit E [; + a], on a --:-:;; -:-:;;. + a t b. En appliquant les inégalités des accroissements finis à la fonction ln, établir que: a - :-:;; ln ( + a) :-:;; a. + a 4. Soit x un réel strictement positif. J: -2 x a. Déduire de la question 3 que: fdt:-:;; F(x):-:;; Je-Zdt. 0 + e 0 b. Puis que:..ln 2 -..ln ( + e- Zx ):-:;; F(x):-:;;.._..e- zx 2 2 2 2 \./ Î >--, Page 3 sur 4
S. On admet que la limite de F en +00 existe et est un nombre réel noté k. Etablir que: 2. n2 :5: k:5:.!... 2 2 6. Pour tout entier naturel n, on pose: v = n+ (- e'- 2 ) e-2n a. Montrer que: Vn EN, 0:5: v n :5: -'-------'--- 2 b. Déterminer la limite de v n en +00. ( n f ln ( + e- 2 )dt. Page 4 sur 4
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