Chapitre III : Configurations planes et repérage Extrait du programme : I. Configurations planes Dans cette partie, aucune nouveauté! La rédaction devra être apprise, comme indiquée dans les exercices avec la plus grande rigueur. Voici ce qu il faut savoir : 1. Les triangles a. Les droites remarquables (livre p 4) b. Proportionnalité du triangle : (livre p4) Théorème des milieux Théorème de Thalès c. Triangle rectangle : (livre p43) Trigonométrie Théorème de Pythagore Triangle inscrit dans un demi-cercle
. Quadrilatères (livre p 44-45) On considère un quadrilatère quelconque ABCD Comment montrer que ABCD est un trapèze de bases (AB) ET (CD)? (AB) // (DC) avec ABCD non croisé Comment montrer que ABCD est? (AB)//(DC) et (AD)//(BC) AB = DC et AD = BC Les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu AB = DC et (AB) // (DC) avec ABCD non croisé Comment montrer que ABCD est un rectangle? A = B = C = 90 et que côtés consécutifs sont perpendiculaires et que les diagonales sont de même longueur Comment montrer que ABCD est un losange? AB = DC = AD = BC et que côtés consécutifs sont de même longueur et que les diagonales sont perpendiculaires Comment montrer que ABCD est un carre? on montre que ABCD est à la fois un rectangle et un losange
II. Repère du plan et coordonnées d un point Définitions : Un repère du plan est défini par la donnée de 3 points non alignés O, I et J. On note (O ;I ;J) le repère ainsi défini. O s appelle l origine du repère. Dans un repère, tout point M du plan est repéré par un couple unique (x ;y) de réels que l on appelle le couple de coordonnées du point M dans le repère (O ;I ;J). Plus précisément, x est appelé abscisse du point M et y est appelé ordonnée du point M. Il existe 4 types de repères : Le triangle OIJ est Rectangle isocèle en O Rectangle en O Isocèle en O quelconque Le repère est : orthonormal orthogonal normé quelconque III. Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé Propriété : Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) d un repère (O ; I ; J). Alors le milieu I du segment [AB] a pour abscisse la moyenne des deux abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées, c'est-à-dire : x I = x A x B y I = x A x B Point-méthode 11 : Utiliser les coordonnées du milieu Le plan est muni d un repère orthonormé (O ;I ;J) On donne les points A ( ; 3 ), L ( 1;1 ), C ( ; ) et D ( 4;0 ) a. Faire une figure sur laquelle on placera les points intervenants dans l énoncé. b. Déterminer les coordonnées du milieu de [CD]. c. Déterminer les coordonnées du point B, symétrique de A par rapport à L. d. Quelle est la nature du quadrilatère ADBC? Solution : b. Le milieu de [CD] a pour coordonnées : x C x D = 4 = 1 et y y C D = 0 = 1 Il s agit donc du point L.
c. Si on a une symétrie centrale par rapport à L, cela veut dire que L est le milieu de [AB]. L milieu de [AB] donc : x L = x A x B y L = y A y B On écrit la formule des coordonnées du milieu 1 = x B 1 = 3 y B On remplace les valeurs connues = x B = 3 y B On multiplie par x B = 0 y B = 5 On résout Ainsi B(0 ;5) d. L est le milieu de [AB] et de [CD] donc ACBD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, c est donc. Propriété : On considère deux points A et B de coordonnées(x A ; y A ) et (x B ; y B ) dans un repère orthonormal (O ; I ; J). Alors la distance AB est donné par : AB = (x B x A ) (y B y A ) Démonstration faite en exercice (vient du théorème de Pythagore) Point-méthode 1 : Utiliser la formule de la distance Soit A ( 1; ), B ( 3;3 ), C ( 0;6 ), D ( 5;4 ) et E ( 3; ) a. Faire une figure b. A est-il le milieu de [CE]? c. Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet A. Est-il équilatéral? d. Démontrer que le triangle ADE est isocèle de sommet A. Est-il rectangle en A? Solution : b. Attention de ne pas partir de la conclusion. Il ne faut pas dire que x x C E est égal à x A dès le début, il faut le démontrer : Le milieu de [CE] a pour coordonnées : x C x E = 0 3 = 3 x A Donc A n est pas le milieu de [CE]. c. Au lieu de comparer AC et AB, on va comparer AC² et AB² afin de ne pas avoir la grande racine. AB² = ( x B x A )² ( y B y A )² = ( 3 1 ) ² ( 3 ) ² = 16 1 = 17 (Attention aux signes ) AC² = ( 0 1 ) ² ( 6 ) ² = 16 1 = 17 AB² = AC² donc AB = AC et ainsi, ABC est bien isocèle en A.
Or BC² = ( 0 3 ) ² ( 6 3 ) ² = 9 9 = 18 BC² AB² donc ABC n est pas équilatéral. d. AD² = ( 5 1 ) ² ( 4 ) ² = 16 4 = 0 AE² = ( 3 1 ) ² ( ) ² = 4 16 = 0 AD² = AE² donc ADE est isocèle en A. Pour démontrer qu un triangle est rectangle, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. DE² = ( 3 5 ) ² ( 4 ) ² = 4 36 = 40 Or AD² AE² = 0 0 = 40 Ainsi, DE² = AD² AE² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en A.