Modélisation et Simulation

Cours de modélisation et simulation p. 1/83 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di

Cours de modélisation et simulation p. 2/83 Fonctions linéaires Les fonctions linéaires f(x) sont parmi les fonctions les plus simples qu on puisse rencontrer. Elles ont la forme f(x) = a T x, x R n, a R n Elles ont deux importantes propriétés f(x (1) + x (2) ) = f(x (1) ) + f(x (2) ) f(kx) = kf(x), qui impliquent k R f(k 1 x (1) + k 2 x (2) ) = k 1 f(x (1) ) + k 2 f(x (2) )

Cours de modélisation et simulation p. 3/83 Mouvements libre et forcé Soit donné un système dynamique avec fonction de transition ϕ. Considérons les deux mouvements particuliers: Mouvement libre: le mouvement obtenu quand la fonction d entrée u( ) = 0 est nulle ϕ l (, t 0, x 0 ) = ϕ(, t 0, x 0, 0) Mouvement forcé: le mouvement obtenu quand l état initial x(t 0 ) = x 0 = 0 est nul ϕ f (, t 0, u( )) = ϕ(, t 0, 0, u( ))

Cours de modélisation et simulation p. 4/83 Système dynamique linéaire Un système dynamique linéaire jouit des propriétés suivantes. Chaque mouvement est la somme des mouvements libres et forcés correspondantes, c.-à-d. ϕ(, t 0, x 0, u( )) = ϕ l (, t 0, x 0 ) + ϕ f (, t 0, u( )) la transformation ϕl est une transformation linéaire, ϕ l (t, t 0, ax 01 + bx 02 ) = aϕ l (t, t 0, x 01 ) + bϕ l (t, t 0, x 02 ) c.-à-d. si l état initial est une combinaison linéaire de deux états x 01 et x 02 alors le mouvement libre correspondant est la même combinaison linéaire des deux mouvements libres associés à x 01 et x 02 la transformation ϕf est une transformation linéaire, ϕ f (t, t 0, au 1 ( ) + bu 2 ( )) = aϕ f (t, t 0, u 1 ( )) + bϕ f (t, t 0, u 2 ( )) c.-à-d. si l entrée est une combinaison linéaire des deux entrées u 1 ( ) et u 2 ( ) alors le mouvement forcé correspondant est la même combinaison linéaire des deux mouvements forcés associés à u 1 ( ) et u 2 ( ) la transformation de sortie est linéaire.

Cours de modélisation et simulation p. 5/83 Système dynamique linéaire Définition. Un système est dit linéaire si les ensembles U, Ω, X, Y et Γ sont des espaces vectoriels. la fonction de transition ϕ est linéaire en X Ω pour tous les t0, t T c.-à-d. ϕ(t, t 0, x 0, u( )) = ϕ l (, t 0, x 0 ) + ϕ f (, t 0, u( )) la transformation de sortie η est linéaire en X pour tous les t T, c.-à-d. y(t) = H(t)x(t)

Cours de modélisation et simulation p. 6/83 Exemple Considérons le système linéaire ẋ = cx(t) + au 1 (t) + bu 2 (t), x(0) = 1 1 1.5 0.8 0.6 0.4 1 0.2 u 1 0 u 2 0.5 0.2 0.4 0.6 0 0.8 1 0 5 10 t 0.5 0 5 10 t où a = 3, b = 1. 2 Mouvement 2 Mouvement forcé 1 Mouvement libre 1.5 1.5 0.9 0.8 1 1 0.7 x 0.5 0 x forcé 0.5 0 x libre 0.6 0.5 0.4 0.5 0.5 0.3 1 1 0.2 0.1 1.5 0 5 10 t 1.5 0 5 10 t 0 0 5 10 t Mouvement= mouvement libre (u 1 = u 2 = 0) + mouvement forcé (x(0) = 0))

Cours de modélisation et simulation p. 7/83 Exemple (II) 1 x(0)=1 2 x(0)=2 8 x(0)=2*1+3*2 0.9 1.8 7 0.8 0.7 1.6 1.4 6 0.6 1.2 5 x 0.5 x 1 x 4 0.4 0.8 3 0.3 0.2 0.6 0.4 2 0.1 0.2 1 0 0 5 10 t 0 0 5 10 t 0 0 5 10 t Superposition des conditions initiales dans le mouvement libre (u( ) = 0)).

Cours de modélisation et simulation p. 8/83 Exemple (III) 2 u=u 1 6 u=u 2 30 u=3 u 1 + 4 u 2 1.5 5 25 1 4 20 x x 3 x 15 0.5 2 10 0 1 5 0.5 0 5 10 t 0 0 5 10 t 0 0 5 10 t Superposition des entrées dans le mouvement forcé (x(0) = 0)).

Cours de modélisation et simulation p. 9/83 Exemple (IV) x(0)=1; u=u 1 +2u 2 x(0)=3;u=2 u 1 u 2 x(0)=2*1 4*3; u= (2*1 4*2) u 1 + (2*2 4*( 1)) u 2 14 6 25 12 5 20 10 4 15 8 3 10 x x x 5 6 2 0 4 1 5 2 0 10 0 0 5 10 t 1 0 5 10 t 15 0 5 10 t Si à la condition initiale x 01 et à l entrée u 1 correspond une sortie y 1 à la condition initiale x 02 et à l entrée u 2 correspond une sortie y 2 alors à la condition initiale k 1 x 01 + k 2 x 02 et à l entrée k 1 u 1 + k 2 u 2 correspond une sortie k 1 y 1 + k 2 y 2. Dans l exemple k 1 = 2 et k 2 = 4.

Cours de modélisation et simulation p. 10/83 Propriétés des systèmes linéaires Dans les systèmes linéaires chaque mouvement peut être décomposé dans la somme d un mouvement libre et d un mouvement forcé et ces mouvements sont linéaires dans l état initial x 0 et la fonction d entrée. On peut montrer le théorème suivant: Théorème. Chaque système à dimensions finies, linéaire et régulier peut être décrit par des équations du genre ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) où A( ), B( ) et C( ) sont matrices continues en T. Notons que si x R n, u R m, y R p, alors A( ) est une matrice d ordre [n, n], B( ) est une matrice d ordre [n, m] et C( ) est une matrice d ordre [p, n].

Cours de modélisation et simulation p. 11/83 Propriétés des systèmes linéaires (II) Le théorème inverse est aussi valable. Théorème. Soient données les trois matrices A( ), B( ), C( ) continues en T = R et les équations, ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) alors il existe un et un seul système linéaire, régulier et à dimensions finies qui les satisfait. En d autre termes, définir un système linéaire revient à définir un triple de matrices (A( ), B( ), C( )) où les deux premières décrivent la dépendance entrée-état et la troisième la dépendance état-sortie.

Cours de modélisation et simulation p. 12/83 Notation matricielle La notation ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) est une manière compacte pour écrire l ensemble d équations suivantes ẋ 1 (t) = a 11 (t)x 1 (t) + + a 1n (t)x n (t) + b 11 (t)u 1 (t) + + b 1m (t)u ( t). ẋ n (t) = a n1 (t)x 1 (t) + + a nn (t)x n (t) + b n1 (t)u 1 (t) + + b nm (t)u ( t) y 1 (t). y p (t) = c 11 (t)x 1 (t) + + c 1n (t)x n (t) = c p1 (t)x 1 (t) + + c pn (t)x n (t)

Cours de modélisation et simulation p. 13/83 Systèmes linéaires invariants Une sous-classe remarquable des systèmes linéaires est la classe des systèmes invariants, caractérisés par le fait que les matrices (A( ) = A, B( ) = B, C( ) = C) sont constantes et ne dépendant donc pas du temps. On peut montrer que dans ce cas le mouvement du système est donné par x(t) = e At x(0) + t 0 e A(t ξ) Bu(ξ)dξ

Cours de modélisation et simulation p. 14/83 Stabilité mouvement/équilibre Nous pouvons exprimer le problème de la stabilité d un mouvement d un système linéaire sous forme d un problème de stabilité de l état d origine d un nouveau système. Soit x( ) = ϕ(, t, x, ū( )) le mouvement nominal qui satisfait la relation x(t) = A(t) x(t) + B(t)ū(t), t t Soit ˆx( ) = ϕ(, t, ˆx, ū( )) le mouvement perturbé qui satisfait la relation ˆx(t) = A(t)ˆx(t) + B(t)ū(t), t t Nous définissons le mouvement z( ) comme la différence entre le mouvement perturbé et le mouvement nominal z(t) = ˆx(t) x(t)

Cours de modélisation et simulation p. 15/83 La dynamique de z(t) est ż(t) = ˆx(t) x(t) = A(t)ˆx(t) + B(t)ū(t) A(t) x(t) B(t)ū(t) = = A(t)z(t) Dans un système linéaire, la stabilité (instabilité) d un mouvement implique la stabilité (instabilité) de tous les mouvements et en particulier aussi celui de l origine de l espace d état (qui est un état d équilibre en correspondance de ū = 0) La stabilité d un système linéaire dépend seulement des propriétés de la matrice A( ). La stabilité d un système linéaire peut être étudiée en analysant la stabilité de l origine du système libre ẋ(t) = A(t)x(t)

Cours de modélisation et simulation p. 16/83 Stabilité: cas linéaire Il est possible donc de formuler des définitions de linéarité dans le cas linéaire. Définition. Un système dynamique linéaire est dit simplement stable si son mouvement libre est limité pour chaque valeur de la condition initiale. Définition. Un système dynamique linéaire est dit asymptotiquement stable si le mouvement libre tend vers l origine pour t pour chaque valeur de la condition initiale. Définition. Un système dynamique linéaire est dit instable si il existe au moins une condition initiale telle que le mouvement libre qui en suit soit non limité. En d autres termes, la stabilité d un système linéaire équivaut à une indépendance du mouvement par rapport aux conditions initiales pour t.

Cours de modélisation et simulation p. 17/83 Stabilité et valeurs propres Définition (Polynôme caractéristique). Le polynôme caractéristique A d une matrice A est la polynôme A (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n 2 + + a n L équation A ( ) = 0 s appelle équation caractéristique et ses racines λ i, i = 1,...,n les valeurs propres (complexes) de la matrice A.

Cours de modélisation et simulation p. 18/83 Stabilité et valeurs propres (II) On peut montrer que l étude de stabilité d un système linéaire peut être ramené au calcul de la partie réelle des valeurs propres de la matrice A. Théorème. Un système linéaire ẋ(t) = Ax(t) est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de la matrice A ont une partie réelle négative. Théorème. Un système linéaire ẋ(t) = Ax(t) est simplement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de la matrice A ont une partie réelle non positive et celles avec partie réelles nulles (par exemple valeurs imaginaires) ont une multiplicité 1. Théorème. Un système linéaire ẋ(t) = Ax(t) est instable si et seulement si il existe soit au moins une valeur propre avec une partie réelle positive soit au moins une valeur propre avec une partie réelle nulle et multiplicité supérieure à 1.

Cours de modélisation et simulation p. 19/83 Critère de Hurwitz Le calcul du signe de la partie réelle des valeurs propres de A ne nécessite pas les calcul de toutes les valeurs propres. Il est suffisant d effectuer quelques tests sur les coefficients a i du polynôme caractéristique. Un de ces tests est le test de Hurwitz qui est vérifié si et seulement si toutes les racines du polynôme caractéristique ont une partie réelle négative.

Cours de modélisation et simulation p. 20/83 Critère de Hurwitz (II) Théorème. Soit A (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n 2 + + a n le polynôme caractéristique d un système linéaire ẋ(t) = Ax(t). Considérons la matrice d Hurwitz qui est une matrice de taille [n, n] de la forme H = a 1 1 0 0 a 3 a 2 a 1 1 a 5 a 4 a 3 a 2 a 7 a 6 a 5 a 4.... où a n+i = 0 pour i > 0. La conditions nécessaire et suffisante pour la stabilité asymptotique du système est que tous les mineurs principaux de la matrice de Hurwitz soient positifs.

Cours de modélisation et simulation p. 21/83 Exemple Le système avec A = [ 0 1 a b ] étudié précédemment a le polynôme caractéristique [ ] λ 1 det(λi A) = det = λ(λ + b) + a = λ 2 + bλ + a a λ + b La matrice de Hurwitz est carrée et de taille n = 2 et puisque a 1 = b, a 2 = a, [ ] b 1 H = 0 a Si et seulement si a > 0 et b > 0 alors ce système est stable.

Cours de modélisation et simulation p. 22/83 Condition nécessaire Théorème. Condition nécessaire pour la stabilité asymptotique de A est que tous les coefficients a i du polynôme caractéristique soient positifs. Il s ensuit que une matrice A dont le polynôme caractéristique ait quelque coefficient négatif ou nul correspond à un système qui n est pas asymptotiquement stable. Le calcul des coefficients à partir de la matrice A demande le calcul d un déterminant. Ceci peut être onereux dans le cas de n grand. Une procédure plus rapide s appuie sur la formule de Souriau

Cours de modélisation et simulation p. 23/83 Formule de Souriau Théorème. par Les coefficients a i, i = 1,..., n du polynôme caractéristique A (λ) d une matrice A sont donnés a 1 = (tra) a 2 = 1 2 (a 1trA + tra 2 ) a 3 = 1 3 (a 2trA + a 1 tra 2 + tra 3 ). a n = 1 n (a n 1trA + a n 2 tra 2 + + tra n ) où tra k est la somme des éléments de la diagonale de la matrice A k Notons aussi que on peut montrer que nx λ i = tra i=1 où λ i, i = 1,..., n sont les valeurs propres de A. Il s ensuit que toutes les matrices avec trace positive ou nulle ne peuvent pas être asymptotiquement stables.

Cours de modélisation et simulation p. 24/83 Exemple Montrons que la formule de Souriau est satisfaite dans le cas du système A = dont le polynôme caractéristique est [ ] 0 1 a b A = λ(λ + b) + a = λ 2 + bλ + a Puisque Il est facile vérifier que A 2 = [ a b ab a + b 2 ] a 1 = b = tra a 2 = a = 1/2a 1 (tra + tr(a 2 )) = 1/2( b 2 2a + b 2 )

Cours de modélisation et simulation p. 25/83 Stabilité et connexion Considérons un système résultant de l interconnexion de plusieurs sous-systèmes. Une question importante est d analyser la stabilité du système résultant sur la bases de la stabilité de chacun des sous-systèmes. Quelque résultat existe pour la connexion en cascade et en parallèle. Théorème. Un système linéaire (A, B, C) composé par la cascade (ou le parallèle) de deux sous-systèmes linéaires (A 1, B 1, C 1 ) et (A 2, B 2, C 2 ) est asymptotiquement stable si et seulement si les deux sous-systèmes sont asymptotiquement stables. Notons aussi que le polynôme caractéristique A ( ) d un système composé par la cascade de deux sous-systèmes linéaires (A 1, B 1, C 1 ) et (A 2, B 2, C 2 ) est le produit des deux polynômes caractéristiques A1 ( ) et A2 ( ).

Systèmes linéaire du premier ordre Ils sont caractérisés par une seule variable d état x et dans la version autonome ils ont la forme ẋ = Ax, x(0) = x 0, A R, A 0 Ce modèle exprime une dynamique où le taux de (de)croissance de x est proportionnel à sa taille. L équation différentielle a la solution x(t) = ce At où c = x(0). Puisque la valeur propre λ 1 = A, l état d équilibre x = 0 est un état asymptotiquement stable pour A < 0 et instable pour A > 0. Si A < 0 alors la quantité τ = 1/A est dénotée la constante de temps. Cette quantité est une mesure du temps de réponse d un système de premier ordre. Les systèmes avec petite τ répondent vite aux entrées, ceux avec une grande τ répondent lentement. D habitude, on considère qu un système autonome est très proche à son état stable après qu un intervalle de temps égale à 4 fois la constante de temps s est écoulé. Cours de modélisation et simulation p. 26/83

Cours de modélisation et simulation p. 27/83 Exemple Considérons un exemple issus de la finance: soit x un capitale qui est investi à un taux d intérêt constant k. Supposons que la croissance du capital ait lieu de manière continue. L évolution du capital peut être décrite par une équation du type ẋ(t) = kx(t) où le scalaire k est le seul élément de la matrice A. Cette modélisation est très simplifié puisque elle se base sur plusieurs assomptions: par exemple le taux d intérêt est constant dans le temps et indépendant du montant.

Simulations k=1 k= 1 30 2.5 2 20 1.5 10 1 0 10 x x 0.5 0 0.5 20 1 30 1.5 40 50 2 0 0.5 1 1.5 t 2 2.5 3 2.5 0 0.5 1 1.5 t 2 2.5 3 L ensemble de trajectoires est obtenu en variant la condition initiale x0. Cours de modélisation et simulation p. 28/83

Cours de modélisation et simulation p. 29/83 Constant de temps 1 Constante de temps=1 x 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 t Évolution d un système linéaire autonome d ordre 1 avec A = k = 1, x(0) = 1 et une constante de temps τ = 1.

Cours de modélisation et simulation p. 30/83 Portrait des phases Puisque le nombre de variables d état est n = 1 l espace des phases est unidimensionnel. Notons que il n y a que deux possible configurations: soit les trajectoires convergent sur le point fixe (k < 0), soit elles s éloignent du point fixe (k > 0).

Cours de modélisation et simulation p. 31/83 Systèmes autonomes du second ordre Les systèmes du second ordre sont des systèmes où l espace d état est bidimensionnel. Les trajectoires de ces systèmes dans l espace des phases sont représentées par des courbes dans le plan. Dans le cas d un système linéaire invariant du 2ème ordre, le système autonome (c.-à-d. libre et invariant) correspondant peut être écrit de la manière suivante {ẋ1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ] [ [ẋ1 a11 a 12 = ẋ 2 a 21 a 22 ][ x1 x 2 ] ẋ = Ax Le système est dit non simple si deta = 0. Dans ce cas le système a aussi des points d équilibre autre que l origine. Le système est dit simple si deta 0. Dans ce cas l état (0, 0) est le seul état d équilibre du système autonome.

Cours de modélisation et simulation p. 32/83 Exemple Ce système peut être utilisé pour étudier l évolution de deux populations qui interagissent dans un ecosystème. Soient x 1 et x 2 le nombre des membres de la population 1 et 2, respectivement. Ceci équivaut à supposer que les taux de changement de x 1 et x 2 sont une combinaison linéaire des tailles des populations 1 et 2. Le coefficient a ij représente la contribution que la population j donne au développement de la population i. Cette action peut être constructive a ij > 0 ou destructive a ij < 0. Par exemple a 12 > 0 représente une contribution positive au taux de croissance de x 1 de la part de x 2 : la taille x 1 de la population 1 va croître autant plus rapidement que x 2 est grande. En d autres termes a 12 > 0, a 21 > 0 modélisent une situation de coopération alors que a 12 < 0, a 21 < 0 dénotent une situation de compétitivité. Le parasitisme de 2 sur 1 peut être représenté par a 12 < 0, a 21 > 0

Cours de modélisation et simulation p. 33/83 Les coefficients a ii représentent l effet des individus d une population sur la croissance de la population à laquelle ils appartiennent. Une valeur a ii > 0 signifie que la croissance de i est auto-soutenue, par exemple par l activité reproductive. Une valeur a ii < 0 signifie que la compétition entre individus de l espèce i porte à une réduction du taux de croissance au fur et à mesure que la taille x i augmente. Notons que un modèle linéaire implique que si une population disparaît ( x 1 = 0, x 1 = 0), le même sort est réservé à l autre population.

Le comportement du système autour de l origine peut être déterminé en fonction de valeurs propres de l équation caractéristique. Cours de modélisation et simulation p. 34/83 Équation caractéristique du second ordre L équation caractéristique est [ λ a11 a 12 ] A (λ) = det(λi A) = det a 21 λ a 22 = = (λ a 11 )(λ a 22 ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 +a 22 )λ+(a 11 a 22 a 12 a 21 ) = 0 dont les racines complexes sont Notons que λ 1,2 = (a 11 + a 22 ) ± (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) 2 tra = a 11 + a 22 = Re(λ 1 ) + Re(λ 2 ) deta = a 11 a 22 a 12 a 21 = λ 1 λ 2 = (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 12 a 21 ) = (a 11 a 22 ) 2 + 4a 12 a 21

Cours de modélisation et simulation p. 35/83 Solutions Théorème. Soient x (1) (t) et x (2) (t) deux solutions linéairement indépendantes du système ẋ = Ax, x R 2. Si {c 1, c 2 } est un ensemble de 2 constants (réels ou complexes) alors la solution générale peut être écrite de la manière où c 1 et c 2 dépendent de la condition initiale. x(t) = c 1 x (1) (t) + c 2 x (2) (t) Théorème. Soient x (1) (t) et x (2) (t) deux solutions linéairement independantes du système ẋ = Ax, x R 2 qui ont les vecteurs x (1) (0) et x (2) (0) comme conditions initiales. Si x(0) = c 1 x (1) (0) + c 2 x (2) (0) alors la seule solution qui a x(0) comme condition initiale est x(t) = c 1 x (1) (t) + c 2 x (2) (t)

Cours de modélisation et simulation p. 36/83 Rappel Deux vecteurs a et b sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Toute écriture d un vecteur comme combinaison linéaire de a et b est unique. Condition nécessaire et suffisante pour que n vecteurs in R n soient linéairement indépendantes est que le déterminant de la matrice où les colonnes sont les vecteurs mêmes soit non nul.

Cours de modélisation et simulation p. 37/83 Valeurs propres réelles et distincts Soient λ 1 et λ 2 deux racines réelles et distinctes de l équation caractéristique. Considérons un état vectoriel x(t) à l instant t tel que ẋ(t) ait la même direction que x(t), c.-à-d. ẋ(t) = Ax(t) = λx(t) Ceci signifie que le vecteur x continuera à avoir la même direction tout au long de l évolution du système. Un tel état doit satisfaire la relation Ax = λx et il est donc un vecteur propre de la matrice A. Il s ensuit que chaque état sur un vecteur propre évolue le long de ce vecteur.

Cours de modélisation et simulation p. 38/83 Notons que si le vecteur v R 2 est une solution du système Ax = λx alors aussi kv, k R, sera un vecteur propre. On peut montrer que (a 11 λ 1 )x 1 + a 12 x 2 = 0 est l équation de la droite qui corresponde au vecteur propre v 1 = [v 11, v 12 ] associée à λ 1 et que a 21 x 1 + (a 22 λ 2 )x 2 = 0 est l équation de la droite qui corresponde à la vecteur propre v 2 = [v 21, v 22 ] associée à λ 2. On peut montrer que si λ 1 et λ 2 sont réelles et distinctes x (1) (t) = e λ 1t v 1, x (2) (t) = e λ 2t v 2 sont deux solutions linéairements independantes du système.

Cours de modélisation et simulation p. 39/83 Si λ 1 et λ 2 sont réelles et distinctes la solution générale du système est x(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2 { x1 (t) = c 1 e λ 1t v 11 + c 2 e λ 2t v 21 x 2 (t) = c 1 e λ 1t v 12 + c 2 e λ 2t v 22 où c 1 et c 2 sont deux paramètres qui doivent satisfaire la condition initiale x(t 0 ) = x 0 Le mouvement du système est composé par deux composants exponentielles par rapport au temps et indépendantes. La première est en direction du vecteur propre v 1 et la deuxième en direction du vecteur propre v 2. Ceci nous permet de visualiser qualitativement le comportement du système dynamique en fonction des valeurs propres de la matrice A. Si les deux valeurs propres sont réelles et négatives, les deux composantes du mouvement évoluent de manière exponentiellement négative en direction de l origine, où la vitesse de convergence est dictée par la taille de la valeur propre.

Cours de modélisation et simulation p. 40/83 Si λ 1 < λ 2 < 0 alors, pour t, e λ 1t converge vers zéro plus rapidement que e λ 2t, donc lim t x 2 (t) x 1 (t) = c 2e λ2t v 22 c 2 e λ 2t v 21 = v 22 v 21 c.-à-d. la trajectoire s aligne avec le vecteur propre v 2 qui corresponde à la trajectoire la plus lente. De la même manière si t la trajectoire s aligne avec le vecteur propre v 1 qui corresponde à la trajectoire la plus rapide. Si λ 1 > λ 2 > 0 alors pour t la trajectoire s aligne avec le vecteur propre v 1 qui corresponde à la trajectoire la plus rapide.

Cours de modélisation et simulation p. 41/83 Exemple Soit [ ] 1 3 ẋ = 3 1 x, x(0) = [0.5, 0]. Puisque le polynôme caractéristique est λ 2 2λ 8 = 0, les valeurs propres sont λ = 2± 36 2 = Le vecteur propre associé à λ 1 = 4 est v 1 = (v 11, v 12 ). Nous avons: { 4 2 { v11 + 3v 12 = 4v 11 { 3v12 = 3v 11 A v 1 = λ 1 v 1 3v 11 + v 12 = 4v 12 3v 11 = 3v 12 et donc v 1 = [ 1 ] 1. Le même calcul pour λ 2 donne v 2 = [ 1 ] 1.

Cours de modélisation et simulation p. 42/83 La forme générale de la solution x(t) = [x 1 (t), x 2 (t)] T est donc [ ] [ ] [ ] 1 1 x(t) = c 1 e 2t + c 2 e 4t c1 e 2t + c 2 e 4t = 1 1 c 1 e 2t + c 2 e 4t donc { x1 (t) = c 1 e 2t + c 2 e 4t x 2 (t) = c 1 e 2t + c 2 e 4t Puisque x(0) = [0.5, 0] la condition initiale il faut fixer les paramètres constants c 1 et c 2 de manière à satisfaire x(0) = [0.5, 0]. { c1 + c 2 = 0.5 c 1 + c 2 = 0 c 1 = c 2 = 0.25 { x1 (t) = 0.25e 2t + 0.25e 4t x 2 (t) = 0.25e 2t + 0.25e 4t

Cours de modélisation et simulation p. 43/83 L évolution temporelle des deux composantes de la solution x(t) est 14 14 12 12 10 10 8 8 x 1 x 2 6 6 4 4 2 2 0 0 0.5 1 t 0 0 0.5 1 t

Cours de modélisation et simulation p. 44/83 L évolution temporelle de la solution x(t) dans l espace des phases est 2 1.5 1 0.5 x2 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x1

Cours de modélisation et simulation p. 45/83 Valeurs propres réelles et distincts Re(λ i ) < 0, i: si les deux valeurs propres sont réelles et négatives l état d équilibre est asymptotiquement stable et il est appelé un noeud stable. Re(λ i ) > 0, i : si les deux valeurs propres sont réelles et positives l état d équilibre est instable et il est appelé un noeud instable. λ 1 < 0 < λ 2 : Si l une des valeurs propres est réelle et négative alors que l autre est réelle et positive, il s ensuit que la trajectoire du système converge sur le vecteur propre associé à la valeur propre positive et procède vers l infini le long de cette direction. Dans ce cas l état d équilibre est instable et il est appelé un col ou une selle.

Cours de modélisation et simulation p. 46/83 Noeud stable Soit λ 1 < λ 2 < 0. Deux trajectoires sont orientées comme le vecteur propre v 1 et deux comme le vecteur propre v 2. Les autres trajectoires sont orientées comme v 1 pour t et comme v 2 pour t. v 2 v 1

Cours de modélisation et simulation p. 47/83 Noeud stable [ 2 1 ] A = 1 2 λ 2 = 3, v 2 = [1, 1] λ 1 = 1, v 1 = [1, 1] T λ 1 = 3, λ 2 = 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 48/83 Noeud stable: interprétation En termes de dynamique des populations: a 11 < 0 et a 22 < 0 signifient que il y a compétition à l intérieur de chaque population. a 12 > 0 et a 21 > 0 signifient que il y a collaboration entre les deux populations. Toutefois λ 1 λ 2 > 0 a 11 a 22 > a 12 a 21 c.-à-d. l effet négatif dû à la compétition est supérieur à l effet bénéfique de la coopération. L évolution du système amène à l extinction des deux populations, indépendamment de l état initial.

Cours de modélisation et simulation p. 49/83 Noeud instable Soit λ 1 > λ 2 > 0. Deux trajectoires sont orientées comme le vecteur propre v 1 et deux comme le vecteur propre v 2. La vitesse le long de ces trajectoires dépend de la valeur absolue de λ i, i = 1, 2, donc v 1 est plus rapide que v 2 Les autres trajectoires sont orientées comme v 1 pour t et comme v 2 pour t v 2 v 1

Cours de modélisation et simulation p. 50/83 A = [ ] 2 1 2 3 Noeud instable λ 1 = 1, v 1 = [ 1, 1] T, λ 2 = 4, v 2 = [1, 2] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ 1 =1, λ 2 =4 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 51/83 Noeud instable: interprétation En termes de dynamique des populations: a 11 > 0 et a 22 > 0 signifient que les deux populations sont autoentretenues. a 12 > 0 et a 21 > 0 signifient que il y a collaboration entre les deux populations. Puisque il n y a aucun frein à la croissance, l évolution du système amène à l explosion des deux populations, pour chaque état initial différent de l origine.

Cours de modélisation et simulation p. 52/83 Selle Soit λ 1 < 0 < λ 2. Deux trajectoires sont orientées comme le vecteur propre v 1 et deux comme le vecteur propre v 2. Les autres trajectoires sont orientées comme le vecteur propre v 1 pour t et comme v 2 pour t v 2 v 1

Selle Cours de modélisation et simulation p. 53/83

Cours de modélisation et simulation p. 54/83 A = [ ] 5 9 6 2 Selle λ 1 = 11, v 1 = [3/2, 1] T, λ 2 = 4, v 2 = [ 1, 1] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ 1 =11, λ 2 = 4 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 55/83 Selle: interprétation En termes de dynamique des populations: a 11 > 0 et a 22 > 0 signifient que les deux populations sont auto-entretenues. a 12 > 0 et a 21 > 0 signifient que il y a collaboration entre les deux populations. Toutefois, à différence du noeud instable dans ce cas deta = λ 1 λ 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 < 0 a 11 a 22 < a 12 a 21 c.-à-d. l effet total de la coopération est supérieur à l effet total des deux auto-entretènements. Dans ce cas, c est la coopération qui pousse la croissance des deux populations.

Cours de modélisation et simulation p. 56/83 Système non simple Considérons le cas où deta = λ 1 λ 2 = 0 et la valeur propre λ 2 0. λ 1 = 0 : tous les états qui appartiennent à la droite a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 sont des états d équilibre. Aussi, toutes les trajectoires sont des droites parallèles à la droite v 2. Deux configurations sont possibles λ 2 < λ 1 = 0: ceci implique que tous les états d équilibre sont stables. 0 = λ 1 < λ 2 : ceci implique que tous les états d équilibre sont instables.

Cours de modélisation et simulation p. 57/83 Système non simple: λ 2 < λ 1 = 0 v 2

Cours de modélisation et simulation p. 58/83 Système non simple: λ 2 < λ 1 = 0 [ 0 1 ] A = 0 1 λ 1 = 0,, λ 2 = 1, v 2 = [ 1, 1] La droite des points d équilibre stables est x 2 = 0. 1 λ 1 =0, λ 2 = 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 59/83 Système non simple: 0 = λ 1 < λ 2 A = [ ] 0 1 0 1 λ 1 = 0, λ 2 = 1, v 2 = [1, 1] La droite des points d équilibre instables est x 2 = 0. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ 1 =0, λ 2 =1 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 60/83 Valeurs propres réelles et non distincts Considérons le cas λ 1 = λ 2 = λ 0. Deux configurations peuvent avoir lieu: Matrice A diagonalisable: ceci a lieu si tous les vecteurs sont des vecteurs propres. Chaque droite qui passe par l origine est une trajectoire. Si λ < 0(> 0) nous avons la (in)stabilité asymptotique. L origine est dénommée noeud singulier. Matrice A non diagonalisable: il existe un seul vecteur propre et donc seul une droite qui contient une trajectoire. L origine est dénommée noeud dégénéré. Notons que si λ 1 = λ 2 = 0 le système est non simple, il y a une infinité de points d équilibres instables (multiplicité plus grande que 1) et toutes les trajectoires se trouvent sur des droites parallèles.

Cours de modélisation et simulation p. 61/83 Noeud singulier Chaque droite qui passe par l origine est une trajectoire. v 2

Cours de modélisation et simulation p. 62/83 Noeud singulier [ 1 0 ] A = 0 1 λ 1,2 = 1, Av = λv pour tout v λ 1 = 1, λ 2 = 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 63/83 Noeud dégénéré λ 1 = λ 2 < 0 Il existe un seul vecteur propre et donc une seule droite qui contient une trajectoire rectiligne. v 2

Cours de modélisation et simulation p. 64/83 Noeud dégénéré [ ] 3 4 A = 1 1 λ 1,2 = 1, v 1 = v 2 = [2, 1] La matrice A n est pas diagonalisable. 1 λ 1 =1, λ 2 =1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 65/83 [ ] 2 4 λ 1 = λ 2 = 0 A = 1 2 λ 1,2 = 0, v 1 = v 2 = [2, 1] 1 0.8 λ 1 =0, λ 2 =0 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 66/83 Valeurs propres complexes Considérons le cas λ 1 = a + ib, λ 2 = a ib. La solution générale est { x1 (t) = c 1 e at cos(bt) + c 2 e at sin(bt) x 2 (t) = c 1 e at sin(bt) + c 2 e at cos(bt)

Cours de modélisation et simulation p. 67/83 Valeurs propres complexes Considérons le cas λ 1 = a + ib, λ 2 = a ib. a = 0: les trajectoires sont des ellipses fermées avec période T = 2π b. L origine est dit un centre. a < 0: le système est asymptotiquement stable et les trajectoires convergent vers l origine en suivant des spirales. L origine est dit un foyer stable. a > 0: le système est instable et les trajectoires s éloignent de l origine en suivant des spirales. L origine est dit un foyer instable. Les trajectoires peuvent spiraler autour de l origine dans le sens des aiguilles d une montre ou dans le sens anti-horaire. Notons que la possibilité d avoir des oscillations pour une fonction d entrée nulle (u = 0) est typique des systèmes linéaires.

Cours de modélisation et simulation p. 68/83 Centre A = [ ] 1 2 3 1 λ 1,2 = ± 5i, λ 1 =5.5511e 017+2.2361i, λ 2 =5.5511e 017 2.2361i 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 69/83 Centre: interprétation Dans le cas de racines complexes conjuguées Re(λ 1 ) + Re(λ 2 ) = 0 et λ 1 λ 2 = b 2 > 0. Il s ensuit que a 11 = a 22, c.-à-d. l effet de auto-entretenement de la population 1 est égal et de signe opposé à celui de la population 2 a 12 a 21 = a 11 a 22 λ 1 λ 2 < 0, c.-a.-d. a 12 et a 21 ont des signes opposés. Deux configuration sont donc possibles (a 11 > 0) A = [ ] a11 < 0, > 0 a 11 [ a11 > 0 < 0 a 11 ] La première configuration correspond à une situation de prédation de la population 2 sur la population 1, alors que la deuxième configuration correspond à une situation de parasitisme de la population 1 sur la population 2

Cours de modélisation et simulation p. 70/83 Centre: interprétation (II) Notons que dans le cas de la prédation de 2 sur 1, une augmentation excessive de la population 2 conduirait à une forte diminution de la population 1 et donc à une réduction de ses effets positifs sur la 2. De la même manière une augmentation excessive de la population 1 entraîne une augmentation de la population 2 et une augmentation de ses effets négatifs sur la croissance de 1. Le comportement qui en résulte est cyclique.

Foyer stable Cours de modélisation et simulation p. 71/83

Cours de modélisation et simulation p. 72/83 Foyer stable [ ] 1/3 2 A = 3 1 λ 1,2 = 1/3 ± 5/3 2, λ 1 = 0.33333+2.357i, λ 2 = 0.33333 2.357i 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 73/83 Foyer stable: interprétation Cette situation diffère de la configuration centre analysée précédemment puisque a 11 a été réduit à 1/3. Il s ensuit que l effet compétition interne de la population 2 devient plus important que l effet d auto-entretènement de la population 1 Les deux populations s éteignent après une oscillation amortie avec amplitude décroissante.

Cours de modélisation et simulation p. 74/83 Foyer instable A = [ ] 2 2 2 2 λ 1,2 = 2 ± 2i, λ 1 =2+2i, λ 2 =2 2i 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

Cours de modélisation et simulation p. 75/83 Résumé systèmes autonomes 2eme ordre La classification des points d équilibre peut être résumée de manière compacte en utilisant la trace et le déterminant de la matrice A. Puisque tr(a) = λ 1 + λ 2, det(a) = λ 1 λ 2 et l équation caractéristique peut prendre la forme (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = λ 2 (λ 1 + λ 2 )λ + λ 1 λ 2 = λ 2 tr(a)λ + det(a) = 0 il en suit que λ 1,2 = tr(a) ± (tr(a)) 2 4 deta 2 L ensemble de cas de figure peut donc être résumé par le graphique suivant dans le domaine tr(a), deta où la parabole a équation 4 deta + tr(a) 2.

Cours de modélisation et simulation p. 76/83 det(a) noeuds stables NSS ou NSD Foyers stables Centres Foyers instables NIS ou NID noeuds instables Selles trace(a) NSS: noeuds stables singuliers NSD: noeuds stables degenerés NIS: noeuds instables singuliers NID: noeuds instables degenerés

{ ẋ1 = 2x 1 + x 2 Cours de modélisation et simulation p. 77/83 Dessin qualitatif de l espace des phases Considérons un système linéaire d ordre 2, par exemple ẋ 2 = x 1 + 2x 2 et supposons vouloir tracer l espace des phases de manière qualitative, sans avoir recours à l ordinateur. Voyons les étapes à suivre: 1. Étudier la nature de l équilibre: puisque λ 1 = 1 et λ 2 = 3 l équilibre est un noeud instable. 2. Calculer les invariants: les deux vecteurs propres sont v 1 = [1; 1] T et v 2 = [1; 1] T. Les deux invariants ont pour équations x 2 = x 1 et x 2 = x 1. 3. Calculer les isoclines, c.-à-d. les courbes (dans ce cas les droites) sur lesquelles une des deux dérivées est nulle. Nous obtenons 2x 1 + x 2 = 0 x 2 = 2x 1 x 1 + 2x 2 = 0 x 2 = x 1 /2

Cours de modélisation et simulation p. 78/83 Dessin qualitatif de l espace des phase La direction des trajectoires est donc horizontale (ẋ 2 = 0) sur la droite x 2 = x 1 /2 et verticale (ẋ 1 = 0) sur la droite x 2 = 2x 1 Les isoclines partagent la plan en quatre quadrants: pour chacun d entre eux nous pouvons facilement définir la direction de la trajectoire sur la base des signes de ẋ 2 et ẋ 1. + + dx /dt=0 1 ++ ++ dx /dt=0 2 ++ ++ + dx /dt=0 2 + dx /dt=0 1

Cours de modélisation et simulation p. 79/83 + + dx /dt=0 1 ++ ++ dx /dt=0 2 ++ ++ + dx /dt=0 2 + dx /dt=0 1

{ ẋ1 = x 1 x 2 Cours de modélisation et simulation p. 80/83 Dessin qualitatif de l espace des phases (II) Considérons un autre système ẋ 2 = x 1 x 2 qui a comme valeurs propres λ 1,2 = 1 ± i. L origine est donc un foyer stable et aucun invariant linéaire existe. Les deux isoclines ont les équations suivantes x 2 = x 1 et sur cette droite ẋ 1 = 0 et ẋ 2 = 2x 1. x 2 = x 1 et sur cette droite ẋ 2 = 0 et ẋ 1 = 2x 1.

Cours de modélisation et simulation p. 81/83 dx /dt=0 1 dx 2 /dt=0 + + + + dx 2 /dt=0 ++ ++ dx /dt=0 1

{ ẋ1 = 2x 1 Cours de modélisation et simulation p. 82/83 Dessin qualitatif de l espace des phases (III) Considérons le système ẋ 2 = 4x 1 2x 2 L équation caractéristique a deux solutions identiques λ 1,2 = 2 auxquelles correspond le vecteur propre [0, 1] T. L origine est un noeud stable dégénéré. L invariant est donc l axe x 2 qui est aussi une des deux isoclines (ẋ 1 = 0). La deuxième isocline est la droite x 2 = 2x 1.

Cours de modélisation et simulation p. 83/83 dx 2 /dt=0 + dx /dt=0 1 ++ ++ dx /dt=0 + 2