Cours 2 : algorithme du simplexe

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1 Cours 2 : algorithme du simplexe Christophe Gonzales LIP6 Université Paris 6, France

2 Plan du cours Cours 2 : algorithme du simplexe 2/29 1 Rappels sur l algorithme vu la semaine dernière 2 Définition de l algorithme du simplexe 3 Interprétation géométrique 4 Critères de choix pour les variables entrantes

3 Rappels sur le cours de la semaine dernière (1/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 3/29 Forme standard n max c j x j s.c. j=1 n a ij x j b i (i = 1, 2,..., m) j=1 x j 0 (j = 1, 2,..., n) Algorithme de résolution (1/2) 1 Ajouter des variables d écart x n+1,..., x n+m : n x n+i = b i a ij x j (i = 1, 2,..., m) z = j=1 n c j x j j=1

4 Rappels sur le cours de la semaine dernière (2/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 4/29 Algorithme de résolution (2/2) 2 première solution réalisable : x 0 = (0,..., 0, b 1, b 2,..., b m ) variables en base : x n+1,..., x n+m, hors base : x 1,..., x n 3 s il existe un coefficient positif dans z, soit x i la variable correspondante, sinon aller en 8 4 calculer la valeur maximale de x i de manière à ce que les variables en base restent positives ou nulles. Soit x j une des variables en base qui s annule 5 faire entrer x i en base, faire sortir x j de la base 6 exprimer les variables en base en fonction des variables hors base 7 retourner en 3 8 on est à l optimum. Les variables en base définissent la solution optimale

5 Rappels sur le cours de la semaine dernière (3/10) Problème à résoudre : max x 1 + 5x 2 + x 3 s.c. x 1 + 3x 2 + x 3 3 x 1 + 3x 3 2 2x 1 + 4x 2 x 3 4 x 1 + 3x 2 x 3 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Première étape : ajouter des variables d écart : max x 1 + 5x 2 + x 3 s.c. x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 3 + x 5 = 2 2x 1 + 4x 2 x 3 + x 6 = 4 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0, x 7 0 Cours 2 : algorithme du simplexe 5/29

6 Rappels sur le cours de la semaine dernière (4/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 6/29 Expression de z et des variables en base en fonction des variables hors base : x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 + x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 4x 2 + x 3 x 7 = 2 x 1 3x 2 + x 3 z = x 1 + 5x 2 + x 3 variables en base : x 4, x 5, x 6, x 7 = solution réalisable = (0, 0, 0, 3, 2, 4, 2) 3 coefficients positifs dans z = x 1, x 2 et x 3 = choix (au hasard) de faire rentrer x 1 en base

7 Rappels sur le cours de la semaine dernière (5/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 7/29 x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 + x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 4x 2 + x 3 x 7 = 2 x 1 3x 2 + x 3 z = x 1 + 5x 2 + x 3 4 calcul de la valeur optimale de x 1 : augmenter x 1 = augmenter z ne pas trop augmenter x 1 afin que x 4, x 5, x 6, x 7, restent 0 (x 4 ) 3 x 1 0 (x 5 ) 2 + x 1 0 (x 6 ) 4 2x 1 0 (x 7 ) 2 x 1 0 = x 1 3, x 1 2, x 1 2, x 1 2 = x 1 = 2 = variable à sortir de la base : x 6 ou x 7

8 Rappels sur le cours de la semaine dernière (6/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 8/29 x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 + x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 4x 2 + x 3 x 7 = 2 x 1 3x 2 + x 3 z = x 1 + 5x 2 + x 3 5 choix (au hasard) de faire sortir x 7 de la base = x 1 = 2 3x 2 + x 3 x 7 6 expression des variables en base en fonction des variables hors base : x 4 = 1 2x 3 + x 7 x 5 = 4 3x 2 2x 3 x 7 x 6 = 2x 2 x 3 + 2x 7 x 1 = 2 3x 2 + x 3 x 7 z = 2 + 2x 2 + 2x 3 x 7

9 Rappels sur le cours de la semaine dernière (7/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 9/29 x 4 = 1 2x 3 + x 7 x 5 = 4 3x 2 2x 3 x 7 x 6 = 2x 2 x 3 + 2x 7 x 1 = 2 3x 2 + x 3 x 7 z = 2 + 2x 2 + 2x 3 x 7 3 coefficients positifs dans z : x 2 et x 3 = choix (au hasard) : rentrer x 3 en base = choix de la variable à sortir de la base : (x 4 ) 1 2x 3 0 (x 5 ) 4 2x 3 0 = x (x 6 ) 0 x = min{b i / coeff de x 3 : coeff 0} (x 1 ) 2 + x 3 0 x 3 rentre en base, mais sa valeur est égale à 0 = la valeur de la fonction objectif ne change pas!

10 Rappels sur le cours de la semaine dernière (8/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 10/29 6 expression des variables en base en fonction des variables hors base : x 4 = 1 4x 2 + 2x 6 3x 7 x 5 = 4 7x 2 + 2x 6 5x 7 x 3 = 2x 2 x 6 + 2x 7 x 1 = 2 x 2 x 6 + x 7 z = 2 + 6x 2 2x 6 + 3x 7 3 coefficients positifs dans z : x 2 et x 3 = choix (au hasard) : rentrer x 2 en base : (x 4 ) 1 4x 2 0 (x 5 ) 4 7x 2 0 = x (x 3 ) 2x sort de la base (x 1 ) 2 x 2 0

11 Rappels sur le cours de la semaine dernière (9/10) 6 expression des variables en base en fonction des variables hors base : x 2 = x x x 7 x 5 = x x x 7 x 3 = x x 7 x 1 = x x x 7 z = x 4 + x x rentrer x 6 en base et sortir x 1 : x 2 = x x x 7 x 5 = x x x 7 x 3 = x x 7 = z : coeffs négatifs = optimum x 6 = x x x 7 z = x x x 7 Cours 2 : algorithme du simplexe 11/29

12 Rappels sur le cours de la semaine dernière (10/10) Cours 2 : algorithme du simplexe 12/29 En résumé : plusieurs variables peuvent être candidates à entrer en base = critère de choix à définir plusieurs variables peuvent être candidates à sortir de la base = critère de choix à définir dégénérescence : certaines variables entrant en base peuvent avoir pour valeur 0 = la fonction objectif n augmente pas = éviter que l algorithme ne boucle

13 Notation en tableau (1/5) Cours 2 : algorithme du simplexe 13/29 Principe : placer toutes les variables du même côté x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 + x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 4x 2 + x 3 x 7 = 2 x 1 3x 2 + x 3 z = x 1 + 5x 2 + x 3 x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 3 + x 5 = 2 2x 1 + 4x 2 x 3 + x 6 = 4 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + x 1 + 5x 2 + x 3 = 0

14 Notation en tableau (2/5) Cours 2 : algorithme du simplexe 14/29 La notation en tableau peut s appliquer à toutes les étapes : Avant pivot : dictionnaire x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 5 = 2 + x 1 3x 3 x 6 = 4 2x 1 4x 2 + x 3 x 7 = 2 x 1 3x 2 + x 3 z = x 1 + 5x 2 + x 3 tableau x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 3 + x 5 = 2 2x 1 + 4x 2 x 3 + x 6 = 4 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + x 1 + 5x 2 + x 3 = 0 Après pivot : x 1 entre et x 7 sort dictionnaire x 4 = 1 2x 3 + x 7 x 5 = 4 3x 2 2x 3 x 7 x 6 = 2x 2 x 3 + 2x 7 x 1 = 2 3x 2 + x 3 x 7 z = 2 + 2x 2 + 2x 3 x 7 tableau 2x 3 + x 4 x 7 = 1 3x 2 + 2x 3 + x 5 + x 7 = 4 2x 2 + x 3 + x 6 2x 7 = 0 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + 2x 2 + 2x 3 x 7 = 2

15 Notation en tableau (3/5) Cours 2 : algorithme du simplexe 15/29 Pivot en termes de dictionnaires Faire entrer x i et sortir x j : supp. que x j est défini à gauche des «=» sur la kème ligne 1 exprimer x i en fonction des autres variables sur la kème ligne 2 sur toutes les autres lignes, remplacer les x i par cette expression Pivot en termes de tableaux Faire entrer x i et sortir x j : 1 diviser la seule ligne dont le coeff de x j est 0 (kème ligne) par le coeff associé à x i sur cette ligne = le coeff de x i devient 1 2 pour toute autre ligne r k, soustraire a ri fois la kème ligne = le coeff de x i sur ces lignes devient 0

16 Notation en tableau (4/5) Cours 2 : algorithme du simplexe 16/29 Application du pivot directement sur les tableaux : x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 3 + x 5 = 2 2x 1 + 4x 2 x 3 + x 6 = 4 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + x 1 + 5x 2 + x 3 = 0 pivot : x 1 entre et x 7 sort 2x 3 + x 4 x 7 = 1 3x 2 + 2x 3 + x 5 + x 7 = 4 2x 2 + x 3 + x 6 2x 7 = 0 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + 2x 2 + 2x 3 x 7 = 2 ligne où x 7 est défini : 4ème ligne

17 Notation en tableau (5/5) Cours 2 : algorithme du simplexe 17/29 D un point de vue informatique, stocker uniquement les nombres, pas les chaînes de caractères x i : 2x 3 + x 4 x 7 = 1 3x 2 + 2x 3 + x 5 + x 7 = 4 2x 2 + x 3 + x 6 2x 7 = 0 x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 2 z + 2x 2 + 2x 3 x 7 = 2 = tableau stocké sous forme informatique :

18 Algorithme du simplexe : 1ère version 1 examiner s il existe un nombre positif sur la dernière ligne (excepté la dernière colonne qui vaut z). S il n y en a pas, aller en 6. sinon, soit j l index d une de ces colonnes 2 pour chaque ligne, soit s le nombre dans la colonne la plus à droite et r le nombre dans la colonne j. Déterminer la ligne i ayant le plus petit ratio s/r 0. Si les r de toutes les lignes sont négatives ou nulles, aller en 7 3 diviser la ligne i par son coefficient r 4 pour toutes les lignes i, soit k le nombre stocké sur cette ligne à la colonne j. soustraire à la ligne k fois la ligne i 5 revenir en 1 6 on est à l optimum. Les nombres égaux à 0 sur la dernière ligne (excepté la dernière colonne) déterminent la solution optimale. 7 Le problème n est pas borné, i.e., le max de la fonction objectif est +. Cours 2 : algorithme du simplexe 18/29

19 Interprétation géométrique de l algorithme (1/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 19/29 max x 1 + 3x 2 x 2 4 x 1 3x 2 1 2x 1 3x 2 5 s.c. x 1 x 2 3 2x 1 x 2 7 x 1 + 2x 2 11 x 1 0, x 2 0

20 Interprétation géométrique de l algorithme (2/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 20/29 x 2 + x 3 = 4 x 1 3x 2 + x 4 = 1 2x 1 3x 2 + x 5 = 5 x 1 x 2 + x 6 = 3 2x 1 x 2 + x 7 = 7 x 1 + 2x 2 + x 8 = 11 z + x 1 + 3x 2 = 0 base : x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 = Pivot : on fait entrer x 1 et sortir x 4

21 Interprétation géométrique de l algorithme (3/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 21/29 x 2 + x 3 = 4 x 1 3x 2 + x 4 = 1 3x 2 2x 4 + x 5 = 3 2x 2 x 4 + x 6 = 2 5x 2 2x 4 + x 7 = 5 5x 2 x 4 + x 8 = 10 z + 6x 2 x 4 = 1 base : x 1, x 3, x 5, x 6, x 7, x 8 = Pivot : on fait entrer x 2 et sortir x 5

22 Interprétation géométrique de l algorithme (4/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 22/29 x x x 5 = 3 x 1 x 4 + x 5 = 4 x x x 5 = x x 5 + x 6 = x x 5 + x 7 = x x 5 + x 8 = 5 z + 3x 4 2x 5 = 7 base : x 1, x 2, x 3, x 6, x 7, x 8 = Pivot : on fait entrer x 4 et sortir x 6

23 Interprétation géométrique de l algorithme (5/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 23/29 x 3 + x 5 2x 6 = 3 x 1 x 5 + 3x 6 = 4 x 2 x 5 + 2x 6 = 1 x 4 2x 5 + 3x 6 = 0 x 5 4x 6 + x 7 = 0 3x 5 7x 6 + x 8 = 5 z + 4x 5 9x 6 = 7 base : x 1, x 2, x 3, x 4, x 7, x 8 dégénérescence!!!!! = Pivot : on fait entrer x 5 et sortir x 7

24 Interprétation géométrique de l algorithme (6/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 24/29 x 3 2x 6 x 7 = 3 x 1 x 6 + x 7 = 4 x 2 2x 6 + x 7 = 1 x 4 5x 6 + 2x 7 = 0 x 5 4x 6 + x 7 = 0 5x 6 3x 7 + x 8 = 5 z + 7x 6 4x 7 = 7 base : x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 8 dégénérescence!!!!! = Pivot : on fait entrer x 6 et sortir x 8

25 Interprétation géométrique de l algorithme (7/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 25/29 z x x x 8 = 1 x x x 8 = 5 x x x 8 = 3 x 4 x 7 + x 8 = 5 x x x 8 = 4 x x x 8 = x x 8 = 14 base : x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 = Pivot : on fait entrer x 7 et sortir x 3

26 Interprétation géométrique de l algorithme (8/8) Cours 2 : algorithme du simplexe 26/29 5x 3 + x 7 2x 8 = 5 x 1 2x 3 + x 8 = 3 x 2 + x 3 = 4 5x 3 + x 4 x 8 = 10 7x 3 + x 5 2x 8 = 11 3x 3 + x 6 x 8 = 4 z x 3 x 8 = 15 base : x 1, x 2, x 4, x 5, x 6, x 7 = optimum!!!!!

27 Choix des variables entrantes (1/3) choisir une variable dont le coeff dans la fonction objectif est > 0 = règle ambiguë : plusieurs variables peuvent être candidates But : choisir la variable pour minimiser le nombre d itérations de l algorithme Règle du plus grand coefficient Choisir de faire entrer la variable qui a le plus grand coefficient dans la fonction objectif grand coeff = le taux d augmentation de la fonction objectif est élevé aucune garantie que ce soit optimal : la variable peut être contrainte à prendre une petite valeur = peu de variation de la fonction objectif Cours 2 : algorithme du simplexe 27/29

28 Choix des variables entrantes (2/3) Cours 2 : algorithme du simplexe 28/29 Règle du plus grand accroissement de z Choisir de faire entrer la variable qui fait le plus augmenter la fonction objectif aucune garantie que ce soit optimal : on peut faire beaucoup augmenter localement la fonction objectif et rester coincé plus tard :

29 Choix des variables entrantes (3/3) Cours 2 : algorithme du simplexe 29/29 La règle du plus grand coefficient est plus souvent utilisée que la règle du plus grand accroissement car elle est calculable plus rapidement Dégénérescence Avec les deux règles précédentes, on peut cycler (boucler indéfiniment sur les mêmes itérations)