Examen de thermique. Effet de serre et réchauffement climatique. Master M2 DFE Thermique - D5DFE11

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1 Examen de thermique 18 décembre heures I Effet de serre et réchauffement climatique La principale source de chaleur sur Terre provient de l énergie solaire, transmise sous forme de rayonnement. Ce rayonnement est absorbé par la Terre et converti en chaleur à sa surface. La température à la surface dépend de la quantité de rayonnement solaire incident, de la réflectivité de la planète (l albédo planétaire) et de l effet de serre de l atmosphère. Certains gaz absorbent en effet le rayonnement tellurique (rayonnement émis par la Terre) et le réémettent en direction de cette dernière, réchauffant ainsi sa surface. Sans l effet de serre, la température moyenne sur Terre serait très nettement en dessous de 0 C. Les observations montrent une augmentation rapide de la concentration de certains gaz à effet de serre présents dans l atmosphère. L augmentation de la concentration de ces gaz induit un réchauffement de la surface terrestre. Si l existence d un réchauffement climatique est aujourd hui bien établie, l amplitude du réchauffement futur demeure entachée d incertitudes. 1. Bilan radiatif de la Terre et température effective Le soleil a un rayon R S = km et une température de surface T S = 5800 K tandis que la distance Terre-soleil est d = 1, km. On considère que le soleil se comporte comme un corps noir. Afin de maintenir un climat stable, la Terre de rayon R T est maintenue dans un état d équilibre énergétique. (a) Exprimer la puissance totale P S rayonnée par le soleil. En déduire que le flux solaire par unité de surface, incident au sommet de l atmosphère terrestre à une distance d du soleil, vaut q = 1390 W/m. On rappelle que la constante de Stefan-Boltzmann est σ = 5, W/m /K 4. (b) Le flux q est intercepté par la Terre sur une surface efficace πrt. Montrer que l énergie lumineuse solaire incidente, par unité de surface de la Terre, vaut q/4. (c) Une fraction de ce rayonnement n est pas absorbé par la Terre mais réfléchie vers l espace par réflexion des nuages, de la couverture neigeuse... Cette fraction, notée a, est l albédo planétaire. Pour la Terre, les satellites indiquent une valeur moyenne a = 0, 8. Exprimer la fraction du rayonnement solaire absorbé par la Terre. (d) Faites le bilan radiatif de la Terre en approximant l émission tellurique à celle d un corps noir de température T T. En déduire la température effective T T du système (Terre + Atmosphère).. Principaux gaz à effet de serre De nombreux constituants présents à l état de trace dans l atmosphère sont des gaz à effet de serre. Les gaz les plus importants sont ceux présents en quantités suffisamment importantes pour absorber une fraction significative du rayonnement tellurique comme H O, CO, CH 4, N O, O 3. (a) Calculer à partir de la loi de Wien, en prenant une température moyenne de la Terre égale à sa température effective, la longueur d onde λ m pour laquelle le rayonnement tellurique est maximum. La Terre rayonne dans le visible ou dans l IR? (b) Expliquer en quelques lignes, et en vous servant de la figure 1, pourquoi il y a un effet de serre sur Terre. 1

2 FIGURE 1 Figure du dessus : distribution spectrale des rayonnements solaire et tellurique. En dessous : émissivité monochromatique des gaz à effet de serre constituant l atmosphère terrestre. 3. Modélisation conceptuelle de l effet de serre On considère que l atmosphère peut être assimilée à une couche isotherme, de température T a uniforme, placée au dessus de la surface de température T T. On suppose par ailleurs que l atmosphère est transparente au rayonnement solaire : une fraction a du rayonnement solaire incident n est pas absorbée mais réfléchie vers l espace, cf. albédo planétaire, et est opaque au rayonnement tellurique (la totalité du rayonnement émis par la Terre est absorbée par l atmosphère). On suppose enfin que la surface terrestre et l atmosphère rayonnent une énergie correspondant à celle de corps noirs respectivement à T T et T a. (a) Compléter le schéma de la figure en faisant clairement apparaitre tous les flux de chaleur mis en jeu. (b) Appliquer le bilan énergétique de la couche atmosphérique et le bilan de la surface de la Terre. En déduire les températures T a et T T. Dans le calcul précédent, l approximation d une atmosphère absorbant la totalité du rayonnement tellurique n est pas justifiée (cf. fenêtre atmosphérique dans l IR). En pratique, l atmosphère n absorbe qu une fraction f de l énergie IR incidente. (c) En vertu de la loi de Kirchhoff, quelle est l énergie rayonnée par l atmosphère? (d) Faites un nouveau schéma faisant clairement apparaitre tous les flux de chaleur mis en jeu. (e) Ecrire les nouveaux bilans des échanges radiatifs de l atmosphère et de la Terre. (f) La température moyenne de la surface de la Terre est T T = 88 K. En déduire la fraction f moyenne du rayonnement tellurique absorbé par la couche atmosphérique. 4. Réchauffement climatique L augmentation des concentrations de gaz à effet de serre contribue grandement à augmenter la fraction f du rayonnement tellurique absorbé par l atmosphère, et donc à augmenter la température à la surface de la Terre. La situation d équilibre énergétique de la Terre est perturbée par l ajout d une masse m d un gaz à effet de serre dans l atmosphère, diminuant ainsi le flux sortant de l atmosphère de φ.

3 q 4 T a T T FIGURE Schématisation du modèle radiatif simplifié à une couche atmosphérique de température T a. (a) Exprimer le rayonnement émis, φ out 1, par le système (Terre + Atmosphère) vers l espace avant perturbation. (b) Après perturbation, l efficacité d absorption de l atmosphère est modifiée de f. Exprimer le rayonnement émis, φ out, par le système (Terre + Atmosphère) vers l espace après perturbation. (c) En déduire la variation du flux sortant de l atmosphère φ = φ out 1 φ out = f σt T 4. (d) Si la perturbation f est maintenue, le système (Terre + Atmosphère) atteint un nouvel équilibre radiatif dans lequel la température varie de T T à T T + T T. Ecrire le nouvel équilibre radiatif du système (Terre + Atmosphère). (e) En combinant cette équation avec l équilibre radiatif du système (Terre + Atmosphère) avant perturbation trouvé à la question 3(e), montrer que le réchauffement climatique est donné par T T = T T f 8 (1 f/). (f) En déduire que la différence de température peut s exprimer sous la forme T T = λ φ, où λ est un paramètre de sensibilité climatique. Calculer ce paramètre λ sachant que f = 0, 77 et T T = 88 K. (g) Selon les différents scénarios envisagés, le réchauffement climatique par émission des gaz à effet de serre serait d ici 100 compris entre 1,5 C et 4 C. Si on fixe le réchauffement climatique à T T = C, quelle proportion du rayonnement tellurique serait alors absorbé par l atmosphère terrestre d ici 100? II Etude d un four tunnel Un four tunnel est destiné au traitement thermique de produits manufacturés. Il se compose : - d une sôle de surface S 1 constituée d une couche de matériau réfractaire (e r,λ r ) et d une couche de matériau isolant (e i,λ i ) sur laquelle on dispose une nappe chauffante d épaisseur négligeable dissipant une puissance P par effet Joule. La sôle est donc une surface à flux imposé de température (supposée uniforme) T 1. - d une voûte hémicylindrique de surface S, de rayon R = 0, 5 m et de longueur L = 1 m composée uniquement d une couche de réfractaire (e r,λ r ). La surface intérieure de la voûte est une surface à température uniforme T. 3

4 L h e T e e r R réfractaire T S T i h i nappe chauffante S 1 T 1 e r réfractaire e i isolant h e T e La température de l air ambiant est T e = 0 C et la température de l air intérieur au four est T i. On notera h i le coefficient d échange convectif des surfaces intérieures du four et h e le coefficient relatif aux surfaces extérieures. Enfin, on considère une tranche de four de longueur unitaire afin de pouvoir négliger les pertes des faces avant et arrière du four. Données : e r = e i = 10 cm, λ r = 0, 5 W/m/K, λ i = 0, 05 W/m/K, h i = 50 W/m /K et h e = 10 W/m /K. 1. Les échanges radiatifs ne seront pas pris en compte dans un premier temps. (a) Représenter le schéma analogique traduisant l ensemble des échanges entre le four et l environnement extérieur T e. Faites attention à bien tenir compte du fait que S 1 est une surface à flux imposé P sur votre schéma. (b) En faisant 3 bilans aux noeuds appropriés, calculer les températures T 1 et T ainsi que la puissance P du plan chauffant permettant d atteindre en régime permanent une température d air intérieur T i = 500 C.. On considère les échanges radiatifs entre les deux surfaces S 1 et S. La sôle S 1 est une surface noire tandis que la voûte S est une surface grise d émissivité ϵ = 0, 7. (a) Exprimer le flux radiatif net ϕ net 1 échangé entre les deux surfaces S 1 et S. Linéariser ce flux et montrer qu on peut l exprimer sous la forme ϕ net 1 = h rs 1 (T 1 T ). (b) Evaluer le coefficient d échange radiatif h r en fonction de l émissivité ϵ et des températures T 1 et T calculées à la question 1. (c) Représenter le schéma analogique traduisant l ensemble des échanges entre le four et l extérieur, en tenant compte des échanges radiatifs entre les deux surfaces intérieures. (d) Pour la même puissance P que celle obtenue à la question 1, en déduire les nouvelles valeurs de T 1 et T. 4

5 III Convection mixte entre deux vitrages De nombreux bâtiments sont maintenant construits en verre. Cela pose de graves problèmes d isolation thermique en été. Le double vitrage simple n est pas suffisant. Des solutions sont à l étude, par exemple en doublant la surface vitrée d une autre surface vitrée extérieure permettant de constituer un canal plan dans lequel on peut envoyer un courant d air par le bas pour refroidir. Nous allons simplifier ce problème en une configuration d un canal vertical avec deux parois de températures différentes. La paroi verticale de gauche est à la température uniforme T c (paroi chaude extérieure) tandis que la paroi de droite est à la température T f (intérieur froid du bâtiment). En bas, en entrée, on peut imposer un courant de vitesse caractéristique U. Il s agit donc d étudier un problème de convection mixte (convection naturelle + convection forcée) de l air (P r = 0, 7) dans un canal plan D stationnaire. On pose T 0 = T C+T F qui servira de température de référence pour le terme de Boussinesq. L air est injecté par le bas à la température ambiante T, telle que T C > T > T F, et sort par le haut. Soit D la largeur entre les deux murs. On note β le coefficient de dilatation volumique et on supposera que l équation de la chaleur s écrit 1. Système d équations u T x + v T ( ) = α T x + T. (1) (a) Écrire le système d équations dynamiques pour la vitesse notée u et v. On utilisera l approximation de Boussinesq. Préciser les conditions aux limites pour la vitesse. (b) Énoncer les hypothèses qui ont permis d écrire l équation de la chaleur sous la forme (1). Préciser les conditions aux limites pour la température. On va adimensionner toutes les équations. Pour cela, on pose T = T 0 +(T c T 0 ) T, x = Dx, y = Dy, p = ρu p, u = V u et v = V v, où V est l échelle de vitesse appropriée au cas étudié. (c) On choisit comme échelle de vitesse, l ordre de grandeur de la vitesse injectée par le bas, V U. Montrer alors que le système d équations adimensionnées s écrit : u x + v = 0, u u x + v u = p x + 1 A u v x + v v u T x + v T = 1 C ( ) u + u x = p + BT + 1 ( A) T + T. x, ( ) v + v, x (d) Identifier les nombres A, B et C en fonction des paramètres du problème. On appelle le nombre de Richardson Ri = gβ(t C T 0 )D. U (e) Écrire les conditions aux limites associées. (f) Les nombres A et C sont-ils grands selon vous dans les configuration industrielles? Le nombre B est quelconque, pourquoi? Attention, les nombres A et C changent dans la suite du problème suivant l échelle de vitesse V que l on choisira. (g) Lorsqu il n y a pas de vitesse d injection par le bas (U = 0), quel est le terme moteur des équations? Estimer l ordre de grandeur pertinent de la vitesse V dans ce cas. En déduire à quoi correspond le nombre de Richardson. 5

6 y T C g v T F u -D/ 0 D/ x U,T (h) Lorsqu il n y a pas d écoulement incident, le nombre A est associé à un nombre sans dimension classique. Quel est il?. Cas de convection naturelle pure (a) Écrire le système d équations adimensionnées à résoudre. (b) Si le nombre A est suffisamment grand, il apparait deux couches limites thermiques de convection naturelle qui sont déconnectées. L une qui monte le long d une paroi, l autre qui descend le long de l autre paroi. Identifiez ces deux parois. (c) En vous aidant du cours, comment varie l épaisseur de ces deux couches limites thermique et faites un schéma du champ de vitesse et du champ de température le long de x à une altitude y donnée. 3. Longueur d établissement Si la longueur du canal est assez grande, que l on impose une vitesse d injection par le bas ou non, les deux couches limites envahissent le canal et se rejoignent. (a) Peut-on considérer que les longueurs d établissement du problème dynamique et du problème thermique sont du même ordres de grandeurs et pourquoi? Pour estimer cette longueur d établissement L e, il suffit de comparer l ordre de grandeur des termes v ( v/), gβ (T T 0 ) et ν ( v/ x ). On supposera que y L e, x D, T T 0 = T. (b) Montrer que dans le cas avec la pompe et où β est nul ou négligeable, cette longueur d établissement s écrit L e D Re D. (c) Montrer que dans le cas où la pompe est arrêtée (avec un coefficient de dilatation non nul), la longueur d établissement devient L e D Gr D. 4. Régimes dynamique et thermique établis Lorsque la longueur du canal est bien supérieure à L e, l écoulement devient alors invariant par translation (excepté aux deux extrémités). On fait marcher la pompe et le système final sans dimension devient { 0 = 1 + βg(t C T 0 )L e U 0 = T. x T + v x, 6

7 (a) Résoudre T en tenant compte des conditions aux limites. (b) Si la vitesse d injection U est très grande, le nombre de Richardson est-il grand ou petit? (c) Résoudre le profil de vitesse v compte tenu des conditions aux limites dans le cas où le nombre de Richardson est nul. De quel écoulement classique s agit-il? Comment appelle-t-on ce type de convection? (d) Tracer les profils de vitesse et de température sur un même graphique. (e) Si Ri est non nul, résoudre v en tenant compte que la solution précédente est solution particulière. (f) Représenter la solution complète du profil de vitesse pour des valeurs de Ri de plus en plus grande. (g) Que devient la solution lorsque Ri 1? La tracer. Comment s appelle ce type de convection et quelle est la bonne échelle de vitesse? 7